极坐标与参数方程测试题(精)

《极坐标与参数方程》测试题
一、选择题 (每题 5 分,共 12 题,满分 60 分) 1.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
x ? t2 A、 ? ? 2

) B、 ? ?
x ? 2t ? 1 (t 为参数) ? y ? 4t ? 1

? y ? 2t ? 1

(t 为参数)

C、

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

x ? sin ? D、 ? ?

? y ? 2 sin ? ? 1

(t 为参数) )

2.已知实数 x,y 满足 x 3 ? cos x ? 2 ? 0 , 8 y 3 ? cos2 y ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 y ? ( A.0 B.1 C.-2 )
5? ? ? D、 ? ? 5,? ? 3 ? ?

D.8

?? ? 3.已知 M ? ? 5, ? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ?
?? ? A、 ? 5,? ? 3? ?
? 4? ? B、 ? 5, ? ? 3 ? 2? ? ? C、 ? 5,? ? 3 ? ?

4.极坐标系中,下列各点与点 P(ρ ,θ ) (θ ≠kπ ,k∈Z)关于极轴所在直线 对称的是( ) D. (ρ ,2π +θ )

A. (-ρ ,θ )B. (-ρ ,-θ )C. (ρ ,2π -θ ) 5.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 (
? ?? A、 ? 2, ? ? 3? ? 4? ? B、 ? 2, ? ? 3 ?

?

?

)

?? ? C、 ? 2,? ? 3? ?

4? ? ? D、 ? 2,? ? 3 ? ?

6.直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点 A,B 分别

? x ? 3 ? cos ? 在曲线 C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为( y ? sin ? ?
A.1 B.2 C.3 D.4 )

).

1 ? ?x ? t ? 7.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

D.两条射线 )

? x ? 1 ? 2t 8. 若直线 ? ?t为参数? 与直线4x ? ky ? 1垂直,则常数k ? ( ? y ? 2 ? 3t
1

A.-6

B. ?

1 6

C.6

D.

1 6

9.极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程是( A. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C. x2 ? ( y ? 2)2 ? 4

) B. x2 ? y 2 ? 4 \\\\

D. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4
) .

? x ? 1 ? 2t 10. 直线 ? (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2 ? t ?
A.

12 5

B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

11.已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,P 为空间一点,作 PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂 足,且 PA ? 4 , PB ? 5 ,设点 A、B 到二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 的距离为别为 x, y .则当

? 变化时,点 ( x, y) 的轨迹是下列图形中的

3

3

3

3

(A)

(B)

(C)

(D)

? 1 x? ? ? ? ? 2 12.曲线 2 ? ? 4sin( x ? ) 与曲线 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2

2 t 2 的位置关系是( 2 t 2

) 。

A、 相交过圆心 B、相交 C、相切 二、填空题 (每题 5 分,共 4 题,满分 20 分)

D、相离

13.在极坐标 ?? ,? ? ?0 ? ? ? 2? ? 中,曲线 ? ? 2 sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标为 ____________. 14.在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值 是 .

?

?

? ?x = 1+ cosθ ? x = ?2 2 + 3t 15. 圆 C: ? (θ 为参数)的圆心到直线 l: ? (t 为参数)的距离 ? ? y = sinθ ? y = 1 ? 3t



.
2

16. A: (极坐标参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 已知曲线 C1 、C2 的极坐标方程分别为 ? ? 0, ? ?

?

? x ? 2cos ? , 曲线 C3 的参数方程为 ? (? 3 ? y ? 2sin ?

? ? ?? 为参数,且 ? ? ? ? , ? ) ,则曲线 C1 、 C2 、 C3 所围成的封闭图形的面积 ? 2 2?



.

三、解答题(满分 70 分) 17.(10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? ? y ? sin? . (I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,

且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 2

与直线 l 的位置关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小 值.

? x ? 5cos ? 18. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ? (? 为参数) ? y ? 3sin ? ? x ? 4 ? 2t (Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ? (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t
(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。
3

19. (12 分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与 x 轴非负半轴重合. 直

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 线 l 的参数方程为:? ( t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为:? ? 4 cos? . (1) ?y ? 1 t ? 2 ?
写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,求 PQ 的值.

4

?x ? t 20. (12 分)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ? (t为参数) ,在极坐 ? y ? 2t ? 1
标系 (与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)求圆心 C 到直线 l 的距离。

21. (12 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极
? ?? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? 坐标系.已知点 M 的极坐标为 ? 4 2, ? ,曲线 C 的参数方程为 ? (? 为 4? ? ? ? y ? 2 sin ? ,

参数) . (1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

5

22. (12 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知
2? x2 y 2 ?? ? ? 1 所对应的曲 点 P 的极坐标为 ? 2, ? ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为 ,方程 ? 3 36 16 4? ?

? ? 1 x ? x ? ? 3 线经过伸缩变换 ? 后的图形为曲线 C 。 (Ⅰ)求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角 1 ? y? ? y ? ? 2

坐标系方程(Ⅱ)直线 l 与曲线 C 相交于两点 A, B ,求 PA ? PB 的值。

6

1.C 2.A

3.A

4.C 14.1

5.C 15.2

6.A

试卷答案 7.D 8.A 9.A
2 ? 16. 3

10.B

11.D

12.B

3? ? ? 13. ? 2 , ? 4 ? ?

P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 17.解: (I)把极坐标系下的点 。

?

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?
6

由此得,当

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

18.(1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ?
1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 19.

当 2? ?

?

2

时,面积最大为 30

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (2)把 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 4x ,整理得 t 2 ? 3 3t ? 5 ? 0 ,---6 分 ?y ? 1 t ? 2 ?

7

设其两根分别为 t1 , t 2 , 则 t1 ? t 2 ? 3 3, t1t 2 ? 5 ,---8 分 所以 PQ ? t1 ? t 2 ? 7 .----10 分 20.(1)圆 C 的直角坐标方程是 x2 +y 2 -2 x=0 ; (2)圆心 C 到直线 l的距离d =
3 5 。 5
? π? ? ,得点 M 的直角坐标为(4,4), 4?

21.解: (Ⅰ)由点 M 的极坐标为 ? ? 4 2,

所以直线 OM 的直角坐标方程为 y ? x . (Ⅱ)由曲线 C 的参数方程 ? ?
? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数),

化成普通方程为: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 , 圆心为 A(1,0),半径为 r ? 2 . 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离最小值为

| MA | ?r ? 5 ? 2 .
22.

23.(Ⅰ) y2 ? 2ax, y ? x ? 2 .

………..5 分

8

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( 为参数), t 2 t 2

代入 y 2 ? 2ax , 得到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , 则有 t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) . 因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 解得
a ?1.

………………7 分

…………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)把极坐标系下的点 P (4, ) 化为直角坐标,得 P (0, 4) 2 因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, …………5 分

?

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为,

d?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?

2cos(? ? 2

?
6

)?4

? 2 cos(? ?

?
6

)? 2 2

由此得,当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 ……10 分

25.解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,
? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,

…………(2 分) …………(3 分)

即 (x ?

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2

(II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是
( 2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2

…………(8 分)
9

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 方法 2:?直线l的普通方程为x ? y ? 4 2 ? 0 ,
| 2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

…………(10 分) …………(8 分)

圆心 C 到 直线l 距离是

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 26.见 2012 新课标卷 23

…………(10 分)

10


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