圆锥曲线03圆锥曲线综合1(B级).学生版

圆锥曲线综合 1
内容 曲线与方程的对应关系 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的位置关系 要求层次 重难点

B C

轨迹方程;圆锥曲线与向量综 合;数学思想、方法

中点弦问题
1.1 点差法 对于椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,设弦的两端点以及中点的坐标分别为 a 2 b2
? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? b2 ? a2

A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 、 M ? x0 , y0 ? ,那么

两式相减,得
x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ?0 a2 b2

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
a2 ? b2

?0

(注意,这里连结 当 x1 ? x2 时,两边同除 x1 ? x2 ,得
2 x0 2 y0 y1 ? y2 ? 2 ? ?0 a2 b x1 ? x2

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 与 是减号) a2 b2

于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率 k AB 的关系式:
2 x0 2 y0 ? 2 ? k AB ? 0 a2 b 特别的,当 x0 ? 0 时,我们经常使用以下结论:
y0 b2 ? k AB ? ? 2 x0 a

kOM

kl

在这里 kOM ?

b2 y0 ,于是上式也即 kOM ? k AB ? ? 2 . x0 a

需要注意的是: 当 AB 与 y 轴平行(没有斜率)时, x1 ? x2 ? 0 ,此时 x0 ? x1 ? x2 , y0 ? 0 ; 当 AB 与 x 轴平行(斜率为 0)时, x1 ? x2 ? 0 ,此时 x0 ? 0 , y0 ? y1 ? y2 .
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类似的,对于双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ,有 a 2 b2
y0 b2 ? k AB ? 2 ; x0 a

对于抛物线 y 2 ? 2 px ,有
y0 k AB ? p ;

对于抛物线 x 2 ? 2 py ,有
x0 ? pk AB .

1.2 中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系 在实际应用中,由于关系式
y0 b2 ? k AB ? ? 2 不依赖于弦 AB 端点的具体坐标,所以需要事先确定直线与 x0 a

圆锥曲线有两个不同的交点(这与利用弦心距和半径求圆的弦长时,需要首先保证弦的存在性类似) .下 面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件. 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,将其与椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 联立得, a 2 b2

?a A
2

2

? b2 B 2 ? x 2 ? 2a 2 ACx ? a 2 ? C 2 ? b 2 B 2 ? ? 0

其判别式 △? 4a 2b2 B 2 ? a 2 A2 ? b2 B 2 ? C 2 ? 于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于 a2 A2 ? b2 B2 ? C 2 ? 0 . 另一方面,若此时我们将 l 与椭圆联立,可以得到“中点” M ? x0 , y0 ? 满足的式子:
? y0 ? A ? b2 ? ??? ? ? ? 2 a ? x0 ? B ? ? Ax ? By ? C ? 0 0 ? 0

解得 x0 ? ? 于是

a2 A b2 B ? C , y0 ? ? 2 2 ?C 2 2 a A ? b2 B 2 a A ?b B
2 2

x0 2 y0 2 a 2 A2 b2 B 2 2 ? C ? C2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ?a A ? b B ? ?a A ? b B ?

?

C2 a A ? b2 B 2
2 2

因此利用中点弦问题的解法求出的点 M ? x0 , y0 ? 在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点 的充要条件. 类似的,我们可以得到, M 在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价; M 在椭圆外与直线与圆锥曲线相 离等价.

定点弦问题
第 2 页 共 2 页

2.1 直线参数方程的引入与推广 2.1.1 直线参数方程的引入 在这一小节,我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念,利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的 直线,并将这一做法推广至空间. 平面上的直线 l 可以由直线 l 上的一点 P ? x0 , y0 ? 与表征该直线 l 方向的方向向量 n ? ? p , q ? (其中 ???? ? ? , n ? 0 )确定.容易知道,平面上一点 M ? x , y ? 在直线 l 上的充分必要条件就是向量 PM 与 n 平行(共线) 也即
???? ? PM ? t ? n (其中 t 为实数) 根据平面向量的坐标运算法则,我们有 ? x ? x0 , y ? y0 ? ? ?tp , tq ?

整理有
? x ? x0 ? t ? p ? ? y ? y0 ? t ? q ??? ? PA 这就是平面上直线的参数方程,其中参数 t ? . n

为了方便应用,我们经常取单位方向向量 n ? ? cos ? , sin ? ? ,其中 ? 为直线的倾斜角.这样做的好处 ??? ? 在于此时 PA ? t ,也就是说参数 t 有鲜明的几何意义(参数 t 所对应的点 M 到定点 ? x0 , y0 ? 的距离为 t ) , 缺点在于不方便使用和运算. 在实际解题中,我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率 k ,于是我们也经常取直线的方向向量 为 n ? ?1 , k ? , 此时参数 t 所对应的点 T 到定点 ? x0 , y0 ? 的距离为 n ? t ? 1 ? k 2 ? t , 并且可以很方便的进行 与圆锥曲线的联立. 2.1.2 直线参数方程的推广

平面上的直线方程还可以通过直线 l 上的一点 P ? x0 , y0 ? 和直线的法向量 n ? ? A , B ? 引入.容易知道, ???? ? 平面上一点 M ? x , y ? 在直线 l 上的充分必要条件就是向量 PM 与 n 垂直,也即 ???? ? PM ? n ? 0 根据平面向量的坐标运算法则,我们有 A ? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? 0 整理有
Ax ? By ? ? ? Ax0 ? By0 ? ? 0

记 ? Ax0 ? By0 ? C ,那么就得到直线的一般形式 Ax ? By ? C ? 0 .利用这一引入过程,我们可以很方 ??? ? KP ? n ??? ? 便的推导出平面上点 K ? s , t ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式.事实上, d ? K , l ? ? (向量 KP n 在向量 n 方向上的投影长度) ??? ? 而 n ? ? A , B ? , KP ? ? x0 ? s , y0 ? t ? ,代入得
d ?K , l? ? A ? x0 ? s ? ? B ? y0 ? t ? A ?B
2 2

?

As ? Bt ? C A2 ? B 2

与利用方向向量推导平面上的直线方程类似,我们可以方便的推出空间直线的方程 x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? a b c 其中 ? a , b , c ? 为空间直线的方向向量, ? x0 , y0 , z0 ? 为该直线上的一点. 与利用法向量推导平面上的直线方程类似,我们可以方便的推出空间平面的方程 Ax ? By ? Cz ? D ? 0
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其中 ? A , B , C ? 为空间平面的法向量, D ? ? ? Ax0 ? By0 ? Cz0 ? , ? x0 , y0 , z0 ? 为该空间平面上的一点. 而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式

d ?K , ? ? ?

Au ? Bv ? Cw ? D A2 ? B 2 ? C 2

其中点 K 坐标为 K ? u , v , w? ,平面方程为 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 . 2.2 利用直线参数方程解定点弦问题 直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题 途径. 尤其是当这类问题不方便转化为 x 、y 中的任何一个方向上研究时 (当定点的横纵坐标均不为 0 时) , 利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果. 下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程. 对于通过定点(椭圆 E : 方程
? x ? ?c ? t ? cos ? ? ? y ? t ? sin ?

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点) F1 ? ?c , 0 ? 、倾斜角为 ? 的直线,我们写出直线的参数 a 2 b2

将该方程代入椭圆方程可得
b2 ? t cos ? ? c ? ? a 2 ? t sin ? ? ? a 2b 2 ? 0
2 2

整理得

?b
于是焦点弦长
AB ? t A ? tB
?

2

? c 2 sin 2 ? ? t 2 ? 2b 2 c cos ? ? t ? b 4 ? 0

? 2b c cos ? ?
2

2

? 4b 4 ? b 2 ? c 2 sin 2 ? ?

b 2 ? c 2 sin 2 ?
2

2ab2 b ? c 2 sin 2 ? 在实际应用中,一定要特别注意参数的正负(这取决于参数对应的点与定点的位置关系) .另外,应 ?
该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时,掌握应用求根公式对问题进行化简的方法.

顶点弦问题
顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线(除抛物线外)的一个重要性质: 圆锥曲线 E 上的点 P 与圆锥曲线的一对顶点 A 、 B (对于圆,取直径的两端点)的连线斜率的乘积
k PA ? k PB 为定值.

对于椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,取其左右顶点 A ? ?a , 0 ? , B ? a , 0 ? ,那么对于 P ? x , y ? a 2 b2 kPA ? kPB ? y y y2 ? ? 2 x ? a x ? a x ? a2

将椭圆方程变形,有
? x2 ? b2 y 2 ? b 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ? a 2 ? x 2 ? ? a ? a

代入上式,有
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k PA ? k PB ? ?
类似的,我们可以得到对于双曲线 E :

b2 . a2

x2 y 2 b2 ,有 ; ? ? 1 k ? k ? PA PB a 2 b2 a2

对于圆 E : x 2 ? y 2 ? r 2 ,有 kPA ? kPB ? ?1 .

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例题精讲
题型一:中点弦问题
【例1】 (2010 课标全国卷高考)已知双曲线 E 的中心为原点, F (3 , 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A , B 两点,且 AB 的中点为 N (?12 , ? 15) ,则 E 的方程为( A. )

x y ? ?1 3 6

2

2

B.

x y ? ?1 4 5

2

2

C.

x y ? ?1 6 3

2

2

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

x2 y 2 【例2】 (2010 全国卷Ⅱ高考)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C∶ 2 ? 2 ? 1(a ? 0 , b ? 0) 相交于 B 、 D a b
两点,且 BD 的中点为 M (1, 3) . ⑴求 C 的离心率; ⑵设 C 的右顶点为 A ,右焦点为 F , DF ? BF ? 17 ,证明:过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切.

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【例3】 (2010 天津高考)已知椭圆 菱形的面积为 4.

x2 y 2 3 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的 ? ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b2

⑴ 求椭圆的方程; ⑵ 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A ,B , 已知点 A 的坐标为 (?a , 点 Q0 0) , ( ,y )0 在线段 AB ??? ? ??? ? 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值.

3? , 【例4】 (2010 安徽) 已知椭圆 E 经过点 A ? 2 , 对称轴为坐标轴, 焦点 F1 ,F2 在 x 轴上, 离心率 e ?

1 . 2

⑴求椭圆 E 的方程; ⑵求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; ⑶在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在.请找出;若不存在,说明理由.

第 7 页 共 7 页

题型二:定点弦问题
? x ? 1, 【例5】 (2010 天津高考)已知圆 C 的圆心是直线 ? ( t 为参数)与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 ?y ?1? t
x ? y ? 3 ? 0 相切,则圆 C 的方程为

【例6】 (海淀· 理· 题 19)已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1, 0) , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标 原点,过点 M (4, 0) 的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A,B 两点. ⑴写出抛物线 C2 的标准方程; ???? ? 1 ???? ⑵若 AM ? MB ,求直线 l 的方程; 2 ⑶若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上, 直线 l 与椭圆 C1 有公共点, 求椭圆 C1 的长 轴长的最小值.

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【例7】 (2004 年福建高考)如图, P 是抛物线 C : y ? 一点 Q .

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另 2

⑴若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; ⑵若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S ,与 y 轴交于点 T ,试求
y Q

ST SP

?

ST SQ

的取值范围.

M

T

P l S x

O

题型三:顶点弦问题
【例8】 已知点 P 在双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ( a ? 0 )的右支上( P 与 A2 不重合) , A1 , A2 分别为双曲线的左、 右顶点,且 ?A2 PA1 ? 2?PA1 A2 ,则 ?PA1 A2 ? ( A. 30? B. 27.5? C. 25? ) D. 22.5?

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【例9】 (2010 广东)已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P ? x1 ,y1 ? ,Q ? x1 ,? y1 ? 是 2

双曲线上不同的两个动点. ⑴ 求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程 ⑵ 若过点 ? 0 , h ? , h ? 0 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值.

【例10】 (西城· 理· 题 19)如图,椭圆 C : x2 ?

y2 ? 1 短轴的左右两个端点分别为 A , B ,直线 l : y ? kx ? 1 与 4

x 轴、 y 轴分别交于两点 E , F ,与椭圆交于两点 C , D .

??? ? ??? ? ⑴ 若 CE ? FD ,求直线 l 的方程;

⑵ 设直线 AD , CB 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k1 : k2 ? 2 :1 ,求 k 的值.

第 10 页 共 10 页

【例11】 (2010 年江苏理科 18) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

x2 y 2 右顶点为 A 、 ? ? 1 的左、 9 5

B ,右焦点为 F .设过点 T ? t , m ? 的直线 TA , TB 与此椭圆分别交于点 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,
其中 m ? 0 , y1 ? 0 , y2 ? 0 .
y

A

O

F

B

x

⑴ 设动点 P 满足 PF 2 ? PB2 ? 4 ,求点 P 的轨迹; 1 ⑵ 设 x1 ? 2 , x2 ? ,求点 T 的坐标; 3 ⑶ 设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴的一定点(其坐标与 m 无关) .

【例12】 (2010 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A ? ?1 , 1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直
1 线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M ,N , 问: 是否存在点 P 使得 △PAB 与 △PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

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【例13】 (2010 全国卷Ⅰ高考) 已知抛物线 C∶y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、

B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . ⑴证明:点 F 在直线 BD 上; ??? ? ??? ? 8 ⑵设 FA ? FB ? ,求 △BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

课堂总结
高考数学的圆锥曲线题型变化多端,主要有几类题型,我们本讲主要说:
(1)中点弦问题 在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中,我们其实还有一种非常优秀的方法 ---点差法。对于什 么样的中点弦,我们会使用点差法,而点差法中我们需要注意的问题,比如斜率本身的限制等, 我们需要特殊关注 (2)定点弦问题 弦上定比分点,或者定点分比问题,是我们常见的问题。我们的目标就是避过复杂的运算方法, 转化成横坐标或者纵坐标之间的比例,利用韦达定理处理的更加轻松。 (3)顶点弦问题 顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义,其实并非如此,关于顶点很多问题都是在解析 几何中需要讨论出来的,让我更加清晰的认识到顶点的重要

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课后检测
【习题1】 已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、 B ,则 AB 等于( A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2 )

【习题2】 (2009 年海南宁夏高考) 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F (1, 0) ,直线 l 与抛物线
2) ,则直线 l 的方程为_____________. C 相交于 A , B 两点.若 AB 的中点为 (2 ,

【习题3】 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x2 上, l 是 AB 的垂直平分线.当直线 l 的斜率为 2 时, l 在 y 轴上截距的取值范围为_________.

【习题4】 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l : y ? 4x ? m ,椭圆 C 上有 4 3

不同的两点关于这条直线对称.

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【习题5】 椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离 2 ??? ? ??? ? 为 1 ? e ,直线 l 与 y 轴交于 P 点 ? 0, m ? ,与椭圆 C 交于相异两点 A 、 B ,且 AP ? ? PB
??? ? ??? ? ??? ? ⑴求椭圆方程;⑵若 OA ? ? OB ? 4OP, 求m 的取值范围.

【习题6】 设 A , B 分别是直线 y ?

??? ? 2 5 2 5 x和 y?? x 上的两个动点,并且 AB ? 20 ,动点 P 满足 5 5

??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA? OB.记动点 P 的轨迹为 C ,

⑴求轨迹 C 的方程;
???? ? ???? ⑵若点 D 的坐标为 (0 , 16) , M 、 N 是曲线 C 上的两个动点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范

围.

第 14 页 共 14 页

【习题7】 给定抛物线 C : y 2 ? 4 x , F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A , B 两点. ??? ? ??? ? ⑴ 设 l 的斜率为 1 ,求 OA 与 OB 夹角的余弦值; ??? ? ??? ? ⑵ 设 FB ? ? AF ,若 ? ?[4 , 9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

【习题8】 ( 2010 年朝阳二模)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为
? 3? M ?1, ? .过点 P ? 2, 1? 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B . ? 2?

1 ,且经过点 2

⑴ 求椭圆 C 的方程;
??? ? ??? ? ???? ?2 ⑵ 是否存在直线 l ,满足 PA ? PB ? PM ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

第 15 页 共 15 页

【习题9】 (2009 年崇文一模)已知动圆 P 过点 N

?

5 ,0 并且与圆 M : x ? 5

?

?

?

2

? y 2 ? 16 相外切,动圆

圆心 P 的轨迹为 W ,轨迹 W 与 x 轴的交点为 D . ⑴ 求轨迹 W 的方程; ⑵ 设直线 l 过点 (m , 0) (m ? 2) 且与轨迹 W 有两个不同的交点 A , B ,求直线 l 的斜率 k 的取值 范围;
??? ? ??? ? ⑶在⑵的条件下,若 DA ? DB ? 0 ,证明直线 l 过定点,并求出这个定点的坐标.

【习题10】 ( 2010 年崇文二模)已知椭圆
e?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 短轴 的一个端点 D 0 , 3 ,离心率 a 2 b2

?

?

1 .过 D 作直线 l 与椭圆交于另一点 M ,与 x 轴交于点 A (不同于原点 O ),点 M 关于 x 轴 2

的对称点为 N ,直线 DN 交 x 轴于点 B . ⑴求椭圆的方程; ??? ? ??? ? ⑵求 OA ? OB 的值.
y D N B x O A M

第 16 页 共 16 页

【习题11】 (2009 年福建高考) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A 和上 a 2 b2

顶点 D .椭圆 C 的右顶点为 B .点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与直线
l:x? 10 分别交于 M ,N 两点. 3

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求线段 MN 的长度的最小值.
1 ⑶当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为 ?若存在, 5

确定点 T 的个数;若不存在,说明理由.
y l M

D

S B

A

O N

x

第 17 页 共 17 页

【习题12】 (2010 年东城二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆 a 2 b2 2

的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 设 P(4, 0) , A , B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一 点 E ,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;
???? ? ???? ⑶在⑵的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范围.

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