2018版高中数学北师大版必修四课件:第一章 3 弧度制_图文

第一章 三角函数 §3 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 角度制与弧度制 思考1 在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的? 1 答案 周角的 360 等于1度. 答案 思考2 在弧度制中,1弧度的角是如何规定的,如何表示? 答案 在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角. 答案 思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗? 答案 在半径为1的圆中,1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心 角,又当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常 数,故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关. 答案 梳理 (1)角度制和弧度制 用 度 作为单位来度量角的单位制叫作角度制,规定1度的角等 角度制 1 于周角的 360 在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位 弧度制 符号是rad,读作弧度.以 弧度 作为单位来度量角的单位制叫作 弧度制 (2)角的弧度数的计算 设r是圆的半径,l是圆心角α所对的弧长,则角α的弧度数的绝对值满足 l |α|=r . 知识点二 角度制与弧度制的换算 思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢? 答案 π 180° 利用 1° =180 rad 和 1 rad= π 进行弧度与角度的换算. 答案 梳理 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 360°= 2π rad 弧度化角度 360° 2π rad=_____ 180°= π rad π 1°= 180 rad≈ 0.017 45 rad π rad=_____ 180° 180° 1 rad= ≈ 57.30° =57°18′ π (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 45° 60° ____ 90° 120° _____ 135° 150° 180° _____ 270° 360° 度 0° 1° 30° ____ 弧 度 π 0 180 ___ π 6 ___ π 4 π 3 ___ π 2 2π 3 ___ 3π 4 5π 6 ___ π 3π 2 2π 知识点三 扇形的弧长及面积公式 思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示? 1 答案 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则S=2 lr, l=αr. 答案 梳理 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 απr l= 180° l=αr 扇形的面积 απr2 S= 360° 1 2 1 S= lr=2 αr 2 题型探究 类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°; 解 20π π 20° =180=9. (2)-15°; 解 15π π -15° =-180=-12. 解答 7π (3)12; 解 7π 7 = × 180° = 105° . 12 12 11π (4)- 5 . 解 11π 11 - 5 =- 5 ×180° =-396° . 解答 反思与感悟 将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记 π rad 180° =180°即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以 π 即可. 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度; 解 ?225? 225 π 5π ? ? 112° 30′=? 2 ?° = 2 ×180= 8 . ? ? 5π (2)把-12化成度. 解 ?5π ? 180 5π ? × -12=-? =-75° . ? ?° 12 π ? ? 解答 类型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 已知角α=2 010°. (1)将α改写成 β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角; π 67π 7π 解 2 010° =2 010×180= 6 =5×2π+ 6 , 7π 3π 又 π< 6 < 2 , 7π ∴α 与 6 终边相同,是第三象限的角. 解答 (2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角. 解 7π 与 α 终边相同的角可以写成 γ= 6 +2kπ(k∈Z), 又-5π≤γ<0, 29π ∴当 k=-3 时,γ=- 6 ; 17π 当 k=-2 时,γ=- 6 ; 5π 当 k=-1 时,γ=- 6 . 解答 反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不 是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练2 (1)把-1 480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π; 解 π 74π ∵-1 480° =-1 480×180=- 9 , 74π 16π 16π 而- 9 =-10π+ 9 ,且 0≤α≤2π,∴α= 9 . 16π ∴-1 480° = 9 +2×(-5)π. 解答 2π (2)在[0°,720°]内找出与 5 角终边相同的角. 2π 2π 180 解 ∵ 5 = 5 ×( π )° =72° , 2π ∴终边与 5 角相同的角为 θ=72° +k· 360° (k∈Z), 当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°. 2π ∴在[0° ,720° ]内与 5 角终边相同的角为 72° ,432° . 解答 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 (1)若扇形的中心角为120°,半径为 3,则此扇形的面积为 A.π 3π C. 3 5π B. 4 2 3π D. 9 2π 解析 扇形的中心角为 120° = 3 ,半径为 3, 1 2 1 2π 所以 S 扇形=2|α|r =2×

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