侯伯宇自传

侯伯宇自传
0. 生平(共 627 字) 侯伯宇出生于 1930 年 9 月 11 日,日寇侵占东北的 30 年代。侯伯宇的父亲为黄埔军校一期生,当时由周恩 来介绍入中共。上海第三次起义,为主席团成员,培训工人纠察队,率队攻占南市警察局。又为南昌起义第一 枪的教导团团长。因顾顺章叛变,寻找不到组织,辗转回到国民党部队。抗战时,侯伯宇随父上小学于湘皖等 地,父亲提倡侯伯宇科学救国,做出更好的武器。侯伯宇最后到了荟萃精英的重庆南开中学,专长数学。原子 弹下日本投降,使侯关注到物理。47 年侯高二考上清华,保留学籍。48 年,燕京保送考,侯全国第一,得到全 额奖学金,扣除交纳学费外,还得到可观的生活费。侯考虑上医预这门金饭碗。与同学找仓孝龢老师,地下党 员,问如何选择是好。仓说,如果中国老是这样,学什么都没用,但不会是这样的。于是,侯选定去清华学物 理。48 年,随家去港,转台入台大。觉得其教师、图书均远赶不上清华。侯得悉清华有同学仍去图书馆,就放 弃出国的各机遇,回到北京。美越过 38 线,侯报名参干,被录取学俄文。停战谈判后,侯向高教部部长助理写 信申请得到回去学物理的机会。因开始鞍钢三大建设,缺翻译,侯含泪主动提出去鞍山。到了东北,无论政治、 外文学习,或是翻译工作,侯均名列最前茅。55 年肃反,被鞍山市委列为重点对象。父亲找肃反全国十人小组 的一位打了招呼,侯得以乘 56 年向科学进军号召东风,到全国唯一招插班生的西北大学,侯以自学为主,不久 被全体选为班长。58 年,侯倦于反右的上纲,及带领同学上屋顶轰麻雀,从粪坑捞蛆、数个数,提请早日工作。 交大欲成立加速器专业,西大将侯分配给交大。虽侯学习成绩优异,但因去台问题无结论,政治表现又是中中, 虽侯是反右核心小组成员,交大将侯转为该校矿山机电系分出成立的西安矿业学院。这期间除反右运动外,侯 伯宇抓紧一切时间钻研数理。60 年劳逸结合,恢复了周末与寒暑假,开始了科研工作。

1. 分子链的相互作用 Green 函数 (共 263 字) 这是在 60 年劳逸结合时期,有了星期日与寒暑假,侯挤出时间来钻研的处女作。西安矿业学院同事量化教 师文振翼,约侯论证唐敖庆在吉林大学的量化讨论班,涉及美国科学院院士 Hirshfelder 等未能求得交叠区同类 项合并的式子。侯用回路积分,将各区统一为一个式子,各区用绕回路不同方向积出,均表为三 Bessel 函数积 分。但交叠区的三 Bessel 函数,遍翻苏函数积分表,Erdeyli 高级超越函数等都没给出,只好将这三个 Bessel 函数按幂次级数递推表出。求和出现的项数,以几何级数方式增加,逐级得到简化的递推式。不幸并项得到的 是条件收敛级数。又用边界条件的对称性,选定如何并项为偶次,于是得到收敛级数。

2. 局域坐标系中的旋量球函数及算子,helicity 幅}(共 567 字) 考察从固定中心发出的辐射或在其上的散射,以及从质心系观察的散射与辐射时,既要考察到辐射源、散 射中心的极化,又要考虑到辐射、散射波的极化依赖于方向角与径向距离的关系。通常采用 Clebsch-Gordan 系
ls J 数 Cmm ,将固定坐标系的轨道矩 l 、磁量子数 m、自旋 s、磁量子数 ms 耦合为总动量矩 J 、磁量子数 M,构成 sM

旋量球函数。侯伯宇发现,用从固定系标架到球面局域三足标架的转动矩阵,可直接表达旋量波函数,即所谓 ? ? helicity 幅。 侯伯宇又注意到, 将微分算子 ? 的横向分量作局域系 Hodge 对偶, 得到轨道动量矩算子 l , 再将 l 表 为可观察的总角动量与自旋的差, 就可以利用 helicity 系的量子数直接表出梯度、 旋度等公式。 计算跃迁矩阵时, 先表为始、末态旋量波函数及散射中心的多极旋量算子,再分离变量为角向和径向。角变量部分的三个 D 函数 乘积的积分表示为两个 CG 系数; 径向部分表为与三者的量子数对应的三个 Bessel 型函数乘积的积分。将 Rossi

两本书中各径向、横向多极辐式的繁杂结果直截了当地表为用 CG 系数耦合到一起的已知的径向积分式。 评注:李杨 CP 宇称破缺奖,当时国际上各大加速器中心竞相研究粒子的碰撞反应。侯伯宇仔细推算了《物理 学报》上各有关文章,发现将按沿径向极化等量子数写的波函数的各分量沿固定观察系投影,分类合并后,再 按径向投影,甚为繁杂。采用始终按径向运算的方法。又发现可将微商 ? 的横向作 Hodge 对偶,化为代数运算, 就可简洁写出结果。 60 年代,研究 Yang-Mills 丛,吴杨固定坐标规范,更加复杂。侯在径横向加上场的贡献,结果与 80 年代 Witten 拓扑场论用空间 spin SO(2)左 与 Yang-Mills 的 SU(2)合成的 spin'(4)相当。

3. SU n 群不可约表示的正交归一基底与代数}(共 645 字) Gelfand 和 Tseytlin 于 1950 年给出 su(N)代数表示式后十余年, 其证明虽经多人努力, 未能成功。 侯伯宇 1965 年用玻色湮灭产生算子构成的负素根算子与钩算子,依次构成了从各 Gelfand 正则基降到与它相邻的各低阶相 邻正则基的降算子多项式。同时又用正素根算子及钩算子构成升算子。再用这升算子递升得到各对偶正则基。 侯伯宇利用玻色子与钩的对易法则成功地求得各正则基的归一化系数,从而构成了正交归一、完整的正则基。 然后正确无误地将各正负素根算子表示式表为各子群内的钩因子及相邻子群间的不可约张量因子的乘积。改正 了相角符号中以往文献从 Gelfand 沿袭下来的错误。侯伯宇的方法被用来构成 suq(N)量子群与 Yangian 的 正则 基与代数。 评注:劳逸结合,同时给知识分子脱帽子,并提出向科研进军。侯报考中科院数学研究所张宗燧的研究生。张 见到侯局部系文的稿子惊呼侯为 expert,而且侯的考分最高,张从绝不取岁数大的改为取岁数最大的侯。当时 粒子物理研究弱电统一,用到杨-Mills。高秩 Lie 代数的表示是基本工具。这时 Weyl 基不正交归一,用降算子 构成正交归一的 Gelfand 基,再用升算子作用在 Weyl 基上,得到共轭基。侯注意到相互共轭基的相角的差异, 才如上得到正确的符号。Jimbo 将 Poisson 括号量子化为对易法则,得到量子群的 Gelfand 基。上野将振子改为 q( ? e? )振子,用侯的方法构成了量子群,这实际就是由普适包络代数得量子代数普适 R 矩阵的 Drinfeld-Hopf 代数方法。第八节侯用 quasi twistedHopf 的 p、q 得到椭圆型 RSOS 及得其双标度极限 ? 与交叉参数? 的有质量 场式。代替 Feigin 等采用的 Wakimoto 临界水平量子化。这也是第九节实现双 gerbal motivic 表示的关键。

4.各级微扰展开下自发对称破缺的规范无关性、幺正性及可重整性}(共 758 字) 规范场的自发对称破缺理论有两种相反而相成的方案。其中一种方案明显可重整,但因含非物理粒子,表 观上似违反幺正性。另一种方案只含物理粒子,它明显地幺正,但是表观上却不可重整。 ‘t Hooft 证明了可重 整方案的幺正性及两种方案的 S 矩阵元的等价。这些证明采用泛函积分研究全格林函数。但是研究量子色动力 学各过程时,不可能求出全格林函数,必须用微扰论计算。76 年,侯伯宇采用微扰论,逐步讨论可重整规范下 内线非物理粒子的贡献在同阶图间的各种相消机构。明显地证明互相抵消后,除与环线对应有 ? 4 (0) 项以外,只 剩下与标粒子“外”线的质壳外动量互相依存的部分。当有些“外”线不在质壳上时,这些“外”线实际上是 虚粒子内线,应与更外一层的线相连。如此类推,直到所有的外线都是质壳上的粒子线为止,于是非物理粒子 的规范有关贡献正好全部抵消掉。发散项是整个被积式抵消掉,与正常化及重整化无关,也无须取极限 ? ? 0 , 只剩下物理粒子的贡献,也就是幺正规范。这就明显地证明了物理过程的规范无关性及任意规范的幺正性。于

是, 量子电动力学 Abel 规范有关项按耦合常数幂次各级抵消为规范无关的 Ward-高桥恒等式, 被侯推广到 SU(2) 杨-Mills-Higgs 场。2003 年底,Witten 对极大 helicity 破坏辐作从动量空间到 Penrose 的 twistor(缠量)空间的 Fourier 变换,论证了变得的幅的支集在全纯曲线上,这相当于,生成侯推广的 Ward 恒等式的不变性为 Penrose 变换。 评注: 73 年,侯回到西北大学,教师们厌倦、抵制无止休的争权夺利的路线斗争。侯在给工农兵上课辅导之 外的业余, 科研直到深夜, 得到默许, 甚至于赞赏。 这时, 权威 S.Weinberg 等都纷纷考虑如何计算繁杂的 Feynman 图的同类项合并。侯的此文英文稿遭《中国科学》编委按审稿的意见,是't Hooft 已解决的问题,不采用,但未 退稿。亏得中文稿因《物理学报》所在单位与编辑部的理解,得以刊出。但缺英文稿中 s、t、u 各道求和式子。 这些可用来具体证明 Coach、Witten 等的猜想。

5.规范场的拓扑非平庸的稳定解(磁涡流、单极)的整体宏观量子数及其规范协变量、电、磁荷流等的定域分 布}(共 408 字)

? ? ? 1974 年 't Hooft 提出由有质量 Higgs 场 ? ( x) 与 SU(2)规范场 A( x) 构成的单极。 侯伯宇发现, SU(2)势 A( x) 可
? ? ? ( x) ?? 按照伴随丛 ? ( x) 的方向矢 n 协变地分解为 U(1)规范场 H ( x) 及协变矢量 K ( x) : | ? ( x) |

?

?

? ? ? A( x) ? H ( x) ? K ( x) ? ? ? )n ? ?n ? ? dn ?。 其中 H ( x) ? ( A ? n ? ? ? 正交的第二项, K ( x) ? n ? ? (d ? A?)n ? 它含与 n
? ? ? ? ( x) 局域在 U(1)势 H ( x) 平移下不变 ? ? n ? ( x) 在无 ? ( x) ? [ H ( x), n ? ( x)] ? 0 ; 方向矢 n 整体在 ? A( x )dx 的和乐群下不变。n

? ( x) 覆盖边界的次数,侯明显计算证明它等于 U(1)场强 F(x)穿 穷远边界上的映像对应的 Kronecker 指数也就是 n ? ? ? ? 过空间边界的通量 ?? ;这里 F ? dH ? H ? H 为 U(1)势 H 的曲率。侯伯宇与侯伯元发现 BPS 单极内自对偶 F ( x ) ?
r ??

电磁荷流、序参数的分布及其屏蔽穿透比,如二类超导。

? ( x) ?? 评注:这时,争权夺利愈演愈烈。时张铁生做教育部长,侯将't Hooft 文打印稿和侯伯宇论证 n 的定向 | ? ( x) |
相反对应相反的磁荷的《科学通报》文稿寄兰州段一士。段一士、葛墨林出差到西安时找到侯,介绍在原点得
? ( x) 场在原点正好也就是单极支点,也是 到 Jacobi 的 ? 函数型奇异。侯在春节最终算出,这是和乐群下不变的 n

?

可去奇异,也就是现在 Witten 文的驯服奇异。这是 Floer 和乐理论作为连通和,分析 Gromov-Witten 不变量的 出发点。2008 年,侯在京都报告中采用
? 2 上的驯服分歧,见第九节。 四维时空的胀开 P

6.模空间隐藏对称性的生成代数及由之产生的非定域守恒流}(共 794 字)

在用和乐群平移得到的活动标架中, 将扁西方程下平庸守恒的拓扑磁荷流的生成元, 向与之 Hodge 对偶的、 正交的、导致运动方程守恒的 Noether 电荷流的生成元扭转。将这二流矢按扭转角合成得到非定域流,其边界 项的变更互补,其和为全散度,故守恒。此流生成以扭转角为 loop 参数的 loop 群。又将扭转算子对其复参数作 微伸缩变换,展开得到 Virasoro 型变换。侯又与李卫构成引力度规扭势的仿射群与伸缩 Virasoro 群的半直接积。 它升降多极矩,超出仅由 Kinnerseley 与 Chitre 的仿射型变换生成的 Geroch 群。从而实现可以由四维引力场的 真空平庸解变到静轴或柱对称一切解的 Geroch 猜想。Geroch 构造了有无穷多参数的 Geroch 群。Kinnerseley、 Chitre 变换为 Geroch 群的无穷小形式,但是它不能改变正则坐标,不能改变多极矩,从而并未实现 Geroch 猜 想。而 Hou-Li 变换的确改变正则坐标,起到升降多极矩的作用。因而实现了 Geroch 猜想。变换的构成及各代 数关系推导式被 Julia 引用于关键的扭曲自对偶约束及双谱参数, 用来构成十一维伸缩超引力渐进几乎处处平的 一切整体解。

评注:拓扑场论量子化的路径积分应包括将孤立子空间各 sector 求和,涉及孤立子空间的隐藏对称性。70 年代 初,孤立子的非局域对称性及相应守恒量为研究热点。我国周光召、宋行长、郭汉英、吴可与侯伯宇兄弟、王 佩及吴咏时、葛墨林都做了大量的研究。侯用协变分解,得到 Kac-Moody 型变换,曾被一些同行 称为“侯变换” ,然后他们又称之为“H 变换” ,而 H 是 Riemann-Hilbert 中的 H。侯又进一步做出了 Virasoro 型 变换。J.Schwarz 弦论大会总结,引用大量对称性变换。而实际上,Kac-Moody 型是侯的,同一条类除 Shaposnik 文有关系,Dolan 文源于侯耶鲁文外,其他文章根本不是 Kac-Moody 型。他引用 Virasoro 条,将陈文列为第一, 而陈文是引用侯文而作的。又如不知道只限于 self-dual-Yang-Mills 而不是整个 Yang-Mills 的拉氏函数,这实际 上侯与宋也做出来了。如果是犹太科学家或日本科学家的工作被如此乱引,一定会群起而纠正。关于侯、宋做 的非定域变换亏得花功夫向乔玲丽介绍, 请她协同写出, 才被认知。 而侯宋的含 Wess-Zumino-Witten 项的 self-dual 拉氏量时间上前于 Donaldson,却在投稿莫须有的退回后,束之高阁,我们未再力争,也是我们的不足。 7. 量子化规范场的反常与其大范围拓扑性质}(共 864 字) 周光召在世纪之交谈到,他重新攀登物理事业,于八十年代中,又达到国际最前沿。当时他指导吴可,由 北大宋行长、理论物理所郭汉英与侯伯宇等人合作的工作获得国家自然科学二等奖。侯伯宇的贡献为给出反常 系列整体特征数的继承性以及 3 上同调链的提出与分析。Atiyah 用时空底流形曲率的 A-roof 多项式乘上规范场 陈类构成的解析族指数来分析反常系列,Faddeev 用联络空间的规范群上同调链分析反常系列的拓扑,都没有 给出整体拓扑指数。侯伯宇将流守恒反常、对易反常和 Jacobi 反常的局域微分继承式积分,然后用 Cech 双上 同调理论建立了解析族指数反常系列与规范群上同调链的联系:他先用边缘同调算子 ? 与上同调解析微分算子
? 构成双线性同伦算子
K ? ?? ? ?? ,

又将底流形上的 de Rham 外微分与 K 的和表为 Cartan 型全微分,再将之作用在规范群上同调链上,在底流形上 积分。从而将族指数表为底流形普适覆盖交叠区上积分的交替和,由底流形覆盖网与联络空间上链的对偶,用 Cech 双上同调理论描述了反常递降方程的结构,给出两者统一的反常整体继承特征数。又将单形上同调链的递 降方程推广到非三角剖分有非平庸相交边时的相对上同调,证明了联络 A(x)的仿射空间?(x)与规范群?(x)的陪 集?(x)/??(x)上 ? k (A / G ) ? ? k ?1 (A / G ) 。还将此陪集丛乘上 U(1)线丛,构成普适丛。选择规范 D? A ? 0 使纤维与 底 正 交 。 明 显 构 造 了 微 分 上 同 调 形 式 系 列 , 积 分 得 到 整 体 特 征 的 继 承 递 降 ?(x)/??(x) 上

? k (A / G ) ? ? k ?1 (A / G ) ? ? 。侯伯宇与 Jackiw 同时分别提出 3 上同调链。但侯伯宇先发现结合律反常满足五角
恒等式,且发现 Jacobi 反常的自洽条件是四重对易式,不是 Malcev 代数,澄清了 Jackiw 与 Zumino 的争论。

评注:在给出 Faddeev 规范群上同调的整体量子数的继承性时,侯伯宇、侯伯元发现了协变的 de Rham 上同调 势,其实就是 Cartan 算子。进一步考虑到宇称对称,就是第九节的式子,此项工作的确如周光召所称的回到了 国际最前列。周当 时也说,在国际上要赶超就要按照他们的竞赛规则,注意真正的热点,也就是说弦论。实际上,就是不要闭关 自守,政治挂帅,鼓吹自己的“层子” 。不幸,周光召因对我国科学事业的贡献、铀弹而被重用,离开了理论物 理所,不再过问纯粹理论科研,而此项成果未见得到应有的赞许。与 Calabi-Yau 猜想的结合,造成了弦论的一 次革命,而侯没有理解这在基础科学上根本、深远的意义,误以为该做有实效、可马上观测的理论,而转向了 可积与量子群。 8.可积模型与量子群 (共 1732 字) 侯伯宇等最先用库仑气玻色子方法的 Dotsenko 积分中的单值行为表出极小共形场共形块的辫子矩阵。 又用 积分直接推出 SU(2) WZW 模型的高自旋共形块的聚合与辫子矩阵。证明它们分别用量子群的两种 q-6j 系数表 示。

评注:侯等证明了共形块为三角函数型的,而其单值函数为椭圆函数型。比 Gepner、Qiu 早许多年。但执笔者 只顾做推导。将其中辫子与聚合的五角等式,如何将通常角动量理论中 Biedenharn 的五角等式、六角等式推广 为 q 的,这一重要结果淹没在大量的计算推导中。

有限格点与多体长程作用。 这里,椭圆函数型(如各向异性 XYZ 链)包含三角函数型,有理函数型(如 XXY, XXX 链)为其退化情况。 1982 年 Sklyanin 作出 n=2 椭圆量子代数,Cherednik 85 年试图推广到 n>2。侯伯宇等从顶角模型分离出谱, 构成 n>2 椭圆函数型经典及量子代数。创先构成其循环表示及差分算子表示。侯等用所发现的 sl(n)椭圆型差分 算子表出 RSOS 模型杨 Baxter 表示矩阵,给出转移矩阵 T 的最高权矢 ? 的权函数。求得 T 张量积的本征矢赝真 空与 ? 所差相因子,依赖于对 RSOS 高度 ? 与扭转参数 ? 的关系。再构造高秩 nested Bethe Ansatz,使得 T 乘积 不含不愿有项(unwanted term) ,得与 ? 无关的本征值。取一维零权空间得相对论多体模型。用聚合缠结算子变 换得高自旋链。总之得到了 RSOS、长程多体及自旋链三种椭圆函数型模型的基本方程,即 BA 及其本征值、 本征矢。

评注:侯此文在 Felder 的数学物理大会和数学大会报告之前就已做出。当时曾将结果投给 Communication in Mathematical Physics,审稿人要求做一些修改就可以考虑。撰写人杨仲侠认为是被否定,不肯再写。侯只好找 到国内 Drinfeld-Manin 理论的专家来予以修饰,不料他采用法国做椭圆量子代数的专家的一个不成功的方式将 文章改得面目全非,无法采用,只好将之束之高阁。侯英文打字困难,多花了好多功夫,失去了这一好机会。 未曾加以投出,侯也未坚持,以致大家所公认的为数年后 Moore 的结果。侯本应邀去首尔做这方面报告,因南 韩领事馆工作人员的刁难,最后签证未能赶上飞机,失去了介绍的机会。原计算者得到了很好的结果,淹没在

大量的推导中。侯将此结果拿给周光召看,周认为太数学了。这都是我们的缺陷。

有质量量子代数的可积。侯伯宇等提出采用 Drinfeld 的扭曲 Hopf 代数可从 XYZ 格点的量子代数得到 RSOS 模 型的量子代数,发现 Z n ? Z n 面模型在无穷多格点极限,也就是热力学极限下,既有动力学扭曲又有中心扩张的 量子代数,用动力 学移动了的 Gauss 分解明显求出这流。 将这种格点代数取双标度极限, 或将临界 level 的 Yangian-double 量子化, 二法得到同一种新代数,它描述有质量场的散射关系。并且 Miura 变换得有质量场的 W 代数。给出流代数、W 代数及其顶角算子的双畸变玻色振子式。

评注:Feigin、Frenkel 讨论了 Wp,q,? 动力学 twisted 椭圆型格点 RSOS 代数,对应的是 Asai、Jimbo、Miwa、Pugai 文 ?? ?

r ?1 r ?1 、 ?? ? , ? ? 、 ? ? 与 ? 即通常屏蔽荷的 double-scaling 极限,侯杨做的有质量场代数,得到 r r
2?

? ( gl ? 2 ) 代数。其中 x A?,??

?p

?

i? ?

, q ? p p ? 1 的 ? 、? 是 p、q 的双 scaling 极限。
?

?

1

侯伯宇、侯伯元、马中骐独立于 Kirrilov 与 Reshetikhen,创先且较他们“明显而具体地推得各系数及其对 称性与求和律” ,将二子表示递降各顺序间所差 q 相角求和,得到由 q 系数构成的 Racah 型 C-G 系数。再改变 求和指标得 3j 对称的 Van der Wardaen 型 3j 系数。进一步给出了 q-3j 系数及其三个 j 顺序置换与 q 反转为 1/q 时的关系。发现有聚合、辫子两种 q 拉卡系数及其关系。按照聚合顺序采用不同于原角动量理论的求和顺序成 功推得聚合型系数的 q 乘积式。得 144 个系数的全部对称关系;两拉卡系数满足辫子群与五角结合律;与辫子 矩阵满足 Skein 带图关系。特别是辫子和聚合的五角关系表达得极为清楚。求聚合时所用 求和顺序加以改变,这是侯伯元在春节时算出来的。Gervais 说这正是他研究二维引力等聚合时所需的聚合型。

评注:马中骐在 John Hopkins 会报告介绍此文时,得到与会物理学家的赞扬。因为与大家熟悉的 CG 系数算法 相同,觉得比数学家写得易懂,杨振宁听说也很高兴。但有中国人说这是 Kirrilov 算出来的,而实际上,侯在 京都见到 Kirrilov,他也承认,如前面正文所说,许多是我们具体算出来的。反常会后,侯伯宇去石溪。杨谈到 Kondo 效应可直接算出,值得注意,侯开始做可积模型、量子群。遂与西北大学石康杰、周玉魁、卫华、岳瑞 宏、杨仲侠、范桁、杨文力、赵柳及侯伯元合作,做了以上所讲的切实可靠的工作,特别是椭圆型。但是在国 内得不到有力支持,国外孤军奋战,全靠有些合作者在国外有机会与最前沿的专家交流讨论,得到认可。例如, 周玉魁可与 Zuber 合作,杨文力除与 Sasaki 合作外,还与量子群创始人 Belavin 合作,使我们的工作在艰难地 与京都学派竞争中,虽受到歧视,仍然得到量子群创始、奠基人 Korepin、Semirnov 等一些俄国人的赞许。虽 然对侯侯马之文,Reshetikhin 一度遇到来自中国人的障碍,也给予了肯定。最近,在京都,见第九节,就推广
? 2 ,这里要对侯杨赵丁的有质量场 quasi-Hopf 动力学扭曲直接量子化,用到侯杨的 I、II 型顶角算子的玻色 到P

振子表示式,及相应的 R 矩阵来表达量子 torus 上的 Donaldson-Thomas 不变量。

? 2 上的驯服分歧 (共 1628 字) 9.四维时空的胀开 P

这是我正与吴可等协作的项目。Witten 等未考虑宇称,从而是静止的't Hooft 单极。它的支集为球心。联络 的稳定性条件为有 level (水平) 1 的循环(cyclic)矢量, 取值在次对角线上。 但是应该考虑宇称对称, 如 Kontsevich
? 2 如下. 与 Soibelman。侯发现这样一来,求稳定联络时要考查 P ? 2 是 P2 、即时空、在例外点上???的胀开,如下式: P

? 2 ? P1 | z ? ? z z} {([ z0 : z1 : z2 ],[ z : ?]) ? P 1 2
其例外点为: l? : z0 ? 0 , C:: z1 ? z2 ? 0 。 在双重彷射微分同胚

(t1, t2 ) ? C* ? C* 下
([ z0 : z1 : z2 ],[ z : ?]) ? ([ z0 : t1z1 : t2 z2 ],[t1z : t2?])
固定点为: 在??点 为't Hooft 算子的支集 p1= ([1 : 0 :0], [1 : 0]) , p2= ([1 : 0 : 0], [0 : 1]) 在无穷远线 l? q1= ([0 : 1 : 0], [1 : 0]), q2= ([0 : 0 : 1], [0 : 1]) 上,为标架。

? 2 的例外除子? 有正规奇异性的稳定联络为 侯伯宇提出的在 P

A ? ? ? ? ? ? ead ? ? E??i
i ?0

r

A ? ? ?? ? ? ? e? ad ? ? E??i
i ?0

r

其中 ? ? ?? ? ? d ? ? c 式中:出射波 A ? 入射波 A ? ,分别有支集 p1, p2,沿左右实零光线 z? ? 播。分别在包围出射(入射)谱线 z? ? 0 ( z? ? 0 )的球面 S2 的
z

z1 z 、 z? ? 2 传 z0 z0

?



? 点,有单位指向矢量。 z

? (1) 的级(level)为 1 的表示,相容条件 F ? d A ? A ? A ? 0 的保面积( t t ? 1 )解为: 在A 1 2 r
A ? (F) ? ?[? ?? j ? j ? e
j ?0 r ?1 ??? j

? ?1 ( E ) j , j ?1 ] ? ? ?? (F)c
(2)
d 。 ? 在谱线相交处的全纯反常,取值于 Drinfeld 中心。 d?

( j ?Z m mod r, F ? ? z? ? ? ?1z? ) 式中我们选 ? ? diag (1, ?,?, ? r ) (? ? (?1)1/ r ) , d ? ? 式(2)的解为

? j ? ?? j ,? ?

?i
r

, ? ? ?2 ln cosh

?
2

也是共形仿射户田方程的解。 有驯服分歧的解为

? ? ? log tanh F , ? ? ? log sinh 。

F 2

仿射缠量方程及 monad 构造 有全纯反常 ? ?? (F)c 时的孤子解的单值矩阵:
M
?

?? ( ?d ) z ?d , z? M ? A ?(F )? z
p1

?

?? ? A ? (F)? ( z? )dz? dz?
p2
h

M ? (? ) ? M ? ( ? ) ? ? M ?M
式中 ? ? et 。 复方程:
h

?

?

(? ) E? ? M ?c (? )c (? ) E ?1 ? Re s[ c ]? ?? (F )? (t )c

?

(? ) ? ? M

?1 ?

?

M

d? M
?

?

?

(? )

? [M ?h (? ), M ? [M ?h (? ), M

?

?

(? )] ? 0

??

?

(? )

d?

?

?

(? )] ? 0

实方程

?

d M ?h (? ) d M ?h (? ) ?? ? [M ?h (? ), M ?h (? )] ? [M d? d? ? Re s[C ]? ?? (F )? ? (t )c+ Re s[C ]? ?? (F )? ? (t )c

?

?

(? ), M

?

?

(? )]

评注:复方程为仿射单极及反单极的仿射化小缠子(mini twistor) 。

驯服情况:

Re s[C ]??? (F ) ? ? , Re s[C ]??? (F ) ? ? ?1
Monad

(7)

侯伯宇将这仿射 Monad 的代数结构明显表示为双 master 群 GL(∞,∞)的代数 gl(∞,∞)。 Frenkel 与朱新文两 年前就宣称要做这个代数,尚未见结果。为此先简单介绍熟知的 Kac 无穷维代数书中的复一维 gl(∞)的情况。

再介绍 Frenkel 与朱新文如何推广到复二维 GL(∞,∞),最后写出侯伯宇给的 gl(∞,∞)的明显式。

gl( ∞ ) 是复一维数域 K=C((t)) 的连续内自同构 End(K) 的李代数。 K 的紧开子空间称为格子 (lattice) 。例如
? 为O 的连续内自同构, Tr : gl f 为其离散内自同构的双边理想,即有开的核。 O K ? C [[t ]] ? K 为格子。 gl?
? gl ? ? {( A, X ) ? gl? ? gl? | A ? ? ( X ) ? gl f } ~

式中各 ? 由 ? : K ?O K 诱导而得。 gl ? 给出普适中心扩张。
i p 0 ? gl f ?? ? gl ? ?? ? gl? ? 0 。 ~

~

但由代数的正合系列只能推出对应的群的左正合。于是引进群的满同态 deg:

GL? ? Z
OK gO K deg( g ) ? dim( ) ? dim( ) O K ? gO K O K ? gO K
deg( g ) 的核为 GL0? ? ker(deg) 。它的中心扩张上同调类给出中心扩张 GL? :
^

1 ? C ? ? GL? ? GL? ? 1

^

又可以用几何方法构成 GL? ,用场的行列式丛 L 如下: GL? 的齐性空间为 GrassmannianGr(?),由 Gr(?)的二格 子 L,L'确定 Gr(?)上的行列式丛 L

^

? O )) ? (?top (L? / t N (R ? ? O ))?1 。 det(L | L?) :? ?top (L / t N (R ? K K
线性定域紧致的拓扑空间 V 上的行列式理论 ? 对于 V 中任何格子对于 L1 ? L2 均有同构

(10)

?L1 , L2 : ?(L1 ) ? det( L2 / L1 ) ? ?( L2 )
满足结合律的行列式。 Grebe DV 是这样一个范畴。它的对象是 V 上 ? ,而态射是行列式理论的同构。
dt 产生。 t

令 K=?((t)),其对偶 K*=??((t))dt,设 ClK=Cl(K ? K*) ,它由基底 ?n ? t n , ?n* ? t n

[?n , ?m ]? ? 0 , [?n* ,?m* ]? ? 0 , [?n , ?m* ]? ? ? n,?m 。
则可递进证明 Gr 上 L 丛的截面 ?(Gr, L * )* 可表示为 Clifford 模如下:
* * K Ind Cl ? (O K ?O K dt ) (C | 0?O K ) ? ?(Gr, L ) ? U (Cl K ) ?U (Cl(K ? K* ) ? cI) C K

式中真空矢 C K 满足: Cl(K ? K* )C K ? 0 , Cl(K ? K * ) ? K ? K * 的 level。 现在我们终于可构造仿射 monard 的代数 gl(∞,∞)。它是双复变量 s,t 的、Frenkel,朱新文要求的 level 1 的 Double gerbal 表示 gl f,? 。 这时 Clifford 模的产生子为双指标 m=(m1,m2),其对易律表为双变量 R 矩阵 R(k1,k2),k1=s+t,k2=s-t。 R(k1,k2)为一分割的三维立体杨图, 如 Okounkov、 Reshetikhin 和 Vafa 的三维晶体的双标度极限。 但 Okounkov、 Reshetikhin 和 Vafa 的生成元的自由振子式须改为侯伯宇,杨文力文中的关系式。这时中心的缺陷与边界条件给 出无序,而 Miura 变换变 Monad 为 Monoid。
^

10.结语 (共 231 字) 我的这些工作,除了与我的学生石康杰、杨仲侠、岳瑞宏、赵柳、丁祥茂、范桁、杨文力等,更是与侯伯 元、马中骐、王佩、宋行长(通过行长又与周光召) 、郭汉英、吴可的合作是分不开的,特别是第七节中愉快而 有成效的合作。我的工作得到了一些朋友的理解与支持,例如概览物理卷主编陈佳洱、副主编于渌,以及化学
? 2 这一机遇,以创新湮灭顽疾之苦痛,以创 界的知己老友孙家钟院士。因此,我誓借几何 Langlands 可推广到 P

新来消灭死。誓以我有生之年,在国际竞相攀登科研高峰中顽强攀顶,以作为最后的礼物。


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