一道几何题的推广

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2 0 0 0 年第2 期  

中学数学教学  

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道 几 何 题 的 推 广 
( 邮编: 2 3 8 3 5 1 )  
命题 3 如图 4 , 已知 ̄AA B C中,   B:9 0 。 , A D   是B C边上的周界中线。  

安徽无为县牛埠初中   黄奇侠
文献[ 1 ] 中介 绍了一道有意义的几何题的解法和   思路, 本文给出了该题的三个推 ^  
广。 题 目如下:  

已知 : 如图 1 . 在 AA B C 中,   B:9 0 。 , A D是 B C边 上的中 B   线,  C A D:口 。  
D   C  

求 证 : t a n a ≤ 青 , 当 且 仅  
当B C: AB: AC:3: 4: 5时 

A  

等式成立。   证明 不妨设 AB=1 ,  
B C=n,   B AC=口 ,   B A D 
B   4   D  C  

求 证 . S   ≤ ÷ 。  
现给出它的推论和引申:  
B C边上的点, B D: C D=  

图  

图4  

=y , 则 

命题 1 已知 : 如图 2 , AA B C中,   B: 9 0 。 , D 是  n : m=定值。求证 :  
s i n a ≤  。  

A C =√ 而

, B D=   ±  

一A B=  

A C + B C — A B /   + n 一 1   —— ■一  ——— ~ 。  
an f   ) '   l   - an t a n a : t a n ( J 9 一) , ) :  t




证明   延长 C B到

D  

+ t

口t

B ^ D 

C 

D   , 使B D   =B D. 则 
AD : AD  .  

n 一 1+  







 



 

图2  
AC? A D? s i n 口  

S△A c D   S△A C E ) 一  

AC? A D  ? s i n ZC A D 

+2  

一 一

盟±!=  




n + 2 + n√ 而
一 n + 2+ n √  

。  

?

?


‘ ‘   S i l D - t t ;   :  
?
. .

? s i n  C A D   ≤ 

。  

口2

命题 2 已知 : 如图 3 , △A B C中,   B=9 0   , A D、   C E是中线,a为 A D、 C E 所夹 



( n 一 号 )   +   7 + n  
?

> 0 ,  

? ?

锐角。求证 : t a n a ≤  3 当且 仅 


^  

t a n a ≤ 音 筒 1 1 ( n + 卜√ n   + 1 ) ≤  

当 AB=B C时等式成立。   证明   设  B E C=0   ,  
B AD =0 2 , A B =2 c , 1 3 ( 2 :2 a ,  
C 

2 ( n 2 一 n + 2 + n√ n 2 + 1 )  
∞( 1 1 + 2 n ) √n   + 1 ≥( 2 a + 1 ) ( 7 一 n ) 。  
当a >7时. / 7 一n ≤O .  

则  t a n a:t a n ( 0 1 —0 2 )  


图3   望  二!   璺  
1 +t a n 0 1 ’ t a n 0 2  
2 n   n   3   n   2   C  

显然, ( 1 1 + 2 d ) √n   + 1 >( 2 a + 1 ) ( 7 一 n ) ;  
当a <7时.  
需证( 1 1 + 2 n )   ( n   +1 ) ≥( 2 a +1 )   ( 7 一 n )  
仁 亭 4 8 n  —8 n  —6 9 n+3 6 /o >  

c  
+ 
f  

2 C  
?  
C  

∞( 4 n 一3 )   ( 3 a +4 ) /o > , 显然成立。  

故当 且 仅当n = ÷时, 即B C : A B : A C = 3 : 4 : 5 时  
等式成立。  

壶 ≤ 号 : ÷ 。  
由几何、 算术平均 不等式, 当且仅 当 A B=B C时 
等式成立 。  
州) , 1 9 9 3 ( 1 1 ) 。  

参考文献 
1   胡炳 生。让 几何 图形动 起 来, 中学数 学 ( 苏  
( 收稿 日期 1 9 9 9 —1 2 — 2 O )  


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