2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例试题理

第五章 平面向量 5.4 平面向量应用举例试题 理 北师大版

1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示

a∥b?a=λ b?x1y2-x2y1=0,其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0 a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0, 其中

垂直问题

数量积的运算性质

a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a,b
为非零向量

夹角问题

数量积的定义

a?b cos θ = (θ 为向量 a,b 的 |a||b|
夹角),其中 a,b 为非零向量

长度问题

数量积的定义

|a|= a = x +y ,其中 a=(x,

2

2

2

y),a 为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 设向量 运算 还原 平面几何问题 ― ― → 向量问题― ― →解决向量问题― ― →解决几何问题. 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似, 可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F?s=|F||s|cos θ (θ 为

F 与 s 的夹角).
3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数 量积,向量的共线与垂直求解相关问题. 【知识拓展】 → → → 1.若 G 是△ABC 的重心,则GA+GB+GC=0. 2.若直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线 l 垂直,向量(-B,A)与直线 l 平行.
1

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线.( √ )

(2)若 a?b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a?b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角.( ? ) → → (3)在△ABC 中,若AB?BC<0,则△ABC 为钝角三角形.( ? ) → (4)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点 P 满足:OP → → → =OA+t(AB+AC),t∈R,则点 P 的轨迹方程是 x-y+1=0.( √ )

1.(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三 角形为( ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B

→ → → 解析 AB=(2,-2),AC=(-4,-8),BC=(-6,-6), → → 2 2 ∴|AB|= 2 +?-2? =2 2,|AC|= 16+64=4 5, → |BC|= 36+36=6 2, → 2 → 2 → 2 ∴|AB| +|BC| =|AC| , ∴△ABC 为直角三角形. → → → → 2.已知在△ABC 中,|BC|=10,AB?AC=-16,D 为边 BC 的中点,则|AD|等于( A.6 C.4 答案 D → → → → 解析 在△ABC 中, 由余弦定理可得, AB2+AC2-2AB?AC?cos A=BC2, 又AB?AC=|AB|?|AC → → 2 2 2 2 |?cos A=-16,所以 AB +AC +32=100,AB +AC =68.又 D 为边 BC 的中点,所以AB+AC= → → 2 → 2AD,两边平方得 4|AD| =68-32=36,解得|AD|=3,故选 D. → → 3.(2016?武汉模拟)平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足OP?OA=4, 则点 P 的轨迹方程是____________. 答案 x+2y-4=0 → → 解析 由OP?OA=4,得(x,y)?(1,2)=4,
2

)

B.5 D.3

即 x+2y=4. 4.(2016?银川模拟)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大值 为________. 答案 4 解析 设 a 与 b 夹角为 α , ∵|2a-b| =4a -4a?b+b
2 2 2

=8-4|a||b|cos α =8-8cos α , ∵α ∈[0,π ],∴cos α ∈[-1,1], ∴8-8cos α ∈[0,16],即|2a-b| ∈[0,16], ∴|2a-b|∈[0,4]. ∴|2a-b|的最大值为 4. 5.已知一个物体在大小为 6 N 的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m,且 F 与 s 的夹 角为 60°,则力 F 所做的功 W=________ J. 答案 300 解析 W=F?s=|F||s|cos〈F,s〉 =6?100?cos 60°=300(J).
2

题型一 向量在平面几何中的应用 例1 → → (1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若AC?BE=1,则

AB=________.
→ → (2)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP=OA+ → → λ (AB+AC),λ ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 )

1 答案 (1) (2)C 2 → → → → → 1→ 解析 (1)在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD,∴BE=FD=AD- AB, 2 → → → 又∵AC=AD+AB, → → → → → 1→ ∴AC?BE=(AD+AB)?(AD- AB) 2 →2 1→ → → → 1→2 =AD - AD?AB+AD?AB- AB 2 2

3

1 → 2 → 2 1 → → =|AD| + |AD||AB|cos 60°- |AB| 2 2 1 1 → 1 → 2 =1+ ? |AB|- |AB| =1. 2 2 2 → → 1 ?1 → ? → ∴? -|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|= . 2 ?2 ? → → → → → → → → → (2)由原等式,得OP-OA=λ (AB+AC),即AP=λ (AB+AC),根据平行四边形法则,知AB+AC → 是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍, 所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究 → ? ? → AB AC ? → → + 本例(2)中,若动点 P 满足OP=OA+λ ? ,λ ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通 → ? ? |→ AB | | AC | ? ? 过△ABC 的______. 答案 内心 → ? ? → AB AC ? → → → + 解析 由条件,得OP-OA=λ ? ,即AP=λ → ? ?|→ ? AB| |AC|? → ? → → ? → ? AB + AC ?,而 AB 和 AC 分别表 → ? ?|→ → → |AB| |AC| ? AB| |AC|?

→ → AB AC → → → 示平行于AB,AC的单位向量,故 + 平分∠BAC,即AP平分∠BAC,所以点 P 的轨迹必 → → |AB| |AC| 过△ABC 的内心. 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的 代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求 解. → → → → AB AC AB AC 1 → → → (1)在△ABC 中, 已知向量AB与AC满足( + )?BC=0, 且 ? = , → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC| 则△ABC 为( A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 (2)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则
4

)

→ → |PA+3PB|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5 解析 (1) → → → AC AB AC → → , 分别为平行于AB,AC的单位向量,由平行四边形法则可知 + 为 → → → → |AB| |AC| |AB| |AC|

AB



∠BAC 的平分线.因为( → →

→ AC → + )?BC=0,所以∠BAC 的平分线垂直于 BC,所以 AB=AC. → → |AB| |AC|

AB



? → ? → AB ? AC ? ? ? ??cos∠BAC=1, 又 ? = ?? → ? ?|→ ? ? → → 2 |AB| |AC| ? AB|? ?|AC|?
AB AC
1 π 所以 cos∠BAC= ,又 0<∠BAC<π ,故∠BAC= ,所以△ABC 为等边三角形. 2 3 (2)以 D 为原点,分别以 DA,DC 所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设

DC=a,DP=y.

则 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),

P(0,y),


PA=(2,-y),PB=(1,a-y),
→ → 则PA+3PB=(5,3a-4y), → → 2 2 即|PA+3PB| =25+(3a-4y) , 由点 P 是腰 DC 上的动点,知 0≤y≤a. 3 → → 2 因此当 y= a 时,|PA+3PB| 的最小值为 25. 4 → → 故|PA+3PB|的最小值为 5. 题型二 向量在解析几何中的应用 → → → 例 2 (1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且 A、B、C 三点共线,当 k<0 时, 若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________________. → → 2 2 (2)设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2) +y =3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM?CM=0, 则 =________________________________________________________________________. 答案 (1)2x+y-3=0 (2)± 3



y x

5

→ → → 解析 (1)∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → → → BC=OC-OB=(6,k-5),且AB∥BC, ∴(4-k)(k-5)+6?7=0, 解得 k=-2 或 k=11. 由 k<0 可知 k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2 的直线方程为 y+1=-2(x-2),即 2x+y -3=0. → → (2)∵OM?CM=0,∴OM⊥CM, ∴OM 是圆的切线,设 OM 的方程为 y=kx, 由 |2k| 1+k
2

= 3,得 k=± 3,即 =± 3.

y x

思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向 量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、 斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用 a⊥b?a?b=0(a,b 为非零向量),a∥b?a=λ b(b≠0),可解决垂直、 平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一 种比较简捷的方法. (2016?合肥模拟)如图所示,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于

A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则(PA+PB)?PC的最小值为________.







9 答案 - 2 解析 ∵圆心 O 是直径 AB 的中点, → → → → → → → → ∴PA+PB=2PO,∴(PA+PB)?PC=2PO?PC, → → ∵PO与PC共线且方向相反, 3 3 3 9 ∴当大小相等时,乘积最小.由条件知,当 PO=PC= 时,最小值为-2? ? =- . 2 2 2 2 题型三 向量的其他应用 命题点 1 向量在不等式中的应用

6

y≥x, ? ? 例 3 已知 x,y 满足?x+y≤2, ? ?x≥a,

→ → → → 若OA=(x,1),OB=(2,y),且OA?OB的最大值是最小

值的 8 倍,则实数 a 的值是________. 答案 1 8

→ → → → 解析 因为OA=(x,1),OB=(2,y),所以OA?OB=2x+y,令 z=2x+y,依题意,不等式组 所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),观察图像可知,当目标函数 z=2x+y 过点

C(1,1)时,zmax=2?1+1=3,目标函数 z=2x+y 过点 F(a,a)时,zmin=2a+a=3a,所以 3
1 =8?3a,解得 a= . 8

命题点 2 向量在解三角形中的应用 → → 例 4 (2016?合肥模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 20aBC+15bCA+ → 12cAB=0,则△ABC 最小角的正弦值等于( A. C. 4 5 3 5 B. D. 3 4 7 4 )

答案 C → → → 解析 ∵20aBC+15bCA+12cAB=0, → → → → ∴20a(AC-AB)+15bCA+12cAB=0, → → ∴(20a-15b)AC+(12c-20a)AB=0, → → ∵AC与AB不共线, 4 b= a, ? ? 3 ?? 5 ? ?c=3a,

?20a-15b=0, ? ∴? ? ?12c-20a=0

∴△ABC 最小角为角 A,
7

∴cos A=

b2+c2-a2 2bc

16 2 25 2 a + a -a2 9 9 4 = = , 4 5 5 2? a? a 3 3 3 ∴sin A= ,故选 C. 5 命题点 3 向量在物理中的应用 例 5 如图,一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已 知 F1,F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( )

A.2 7 C.2 答案 A

B.2 5 D.6

解析 如题图所示, 由已知得 F1+F2+F3=0, 则 F3=-(F1+F2), 即 F3=F1+F2+2F1?F2=F1+

2

2

2

2

F2 2+2|F1|?|F2|?cos 60°=28.故|F3|=2 7.
思维升华 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定 义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化. (1)函数 y=sin(ω x+φ )在一个周期内的图像如图所示,M、N 分别是最高点、 → → 最低点,O 为坐标原点,且OM?ON=0,则函数 f(x)的最小正周期是______.

(2)已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不等 → → → → → → 式 0≤OP?OM≤1,0≤OP?ON≤1,则 z=OQ?OP的最大值为________. 答案 (1)3 (2)3

?1 ? 解析 (1)由图像可知,M? ,1?,N(xN,-1), ?2 ?
1 → → ?1 ? 所以OM?ON=? ,1??(xN,-1)= xN-1=0, 2 ?2 ? 解得 xN=2,
8

? 1? 所以函数 f(x)的最小正周期是 2??2- ?=3. ? 2?
→ → → → (2)∵OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1),OQ=(2,3), → → → → → → ∴OP?OM=x+y,OP?ON=y,OQ?OP=2x+3y,
? ?0≤x+y≤1, 即在? ?0≤y≤1 ?

条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识得,当 x=0,y=1

时,zmax=3.

三审图形抓特点 π? ? 典例 (2016?太原一模)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ω x+φ )?ω >0,0<φ < ?一个 2? ?

? π ? 周期内的图像上的四个点,如图所示,A?- ,0?,B 为 y 轴上的点,C 为图像上的最低点, ? 6 ?
E 为该函数图像的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的射影为 ,则 ω ,φ
的值为( ) → π 12

π A.ω =2,φ = 3 1 π C.ω = ,φ = 2 3

π B.ω =2,φ = 6 1 π D.ω = ,φ = 2 6

作出点C的对称点M E为函数图像的对称中心,C为图像最低点 ― ― ― ― ― ― ― ― ― → D、 B两点对称 → CD在x轴上 π CD和MB对称 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → BM在x轴上的射影OF= π― 12 的射影是 12

A(- ,0),

π π 6 ― ― ― ― ― ― → AF= ― → T=π ― → ω =2 4

π y=sin?2x+φ ? φ π ― ― ― ― ― ― ― → = ― →φ= 和y = sin 2― x图象比较 2 6 3

9

解析 由 E 为该函数图像的一个对称中心, 作点 C 的对称点 M, 作 MF⊥x 轴, 垂足为 F, 如图. B π π → 与 D 关于点 E 对称,CD在 x 轴上的射影为 ,知 OF= . 12 12

T π π ? π ? 又 A?- ,0?,所以 AF= = = ,所以 ω =2.同时函数 y=sin(ω x+φ )图像可以看作 4 2ω 4 ? 6 ?
φ φ π π 是由 y=sin ω x 的图像向左平移得到,故可知 = = ,即 φ = . ω 2 6 3

答案 A

→ → → → 2 1.在△ABC 中,(BC+BA)?AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 答案 C → → → → 2 解析 由(BC+BA)?AC=|AC| , → → → → 得AC?(BC+BA-AC)=0, → → → → → → 即AC?(BC+BA+CA)=0,2AC?BA=0, → → ∴AC⊥BA,∴A=90°. → → 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|, 故△ABC 一定是直角三角形. B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

)

1 2.(2016?山东)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉= .若 n⊥(tm+n),则 3 实数 t 的值为( A.4 答案 B 解析 ∵n⊥(tm+n),∴n?(tm+n)=0, 即 tm?n+n =0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n| =0,
2 2

) B.-4 9 C. 4 9 D.- 4

10

3 1 2 2 由已知得 t? |n| ? +|n| =0,解得 t=-4,故选 B. 4 3 3.(2016?南宁模拟)已知向量 a=(cos α ,-2),b=(sin α ,1)且 a∥b,则 sin 2α 等 于( A.3 C. 4 5 ) B.-3 4 D.- 5

答案 D 解析 由 a∥b 得 cos α +2sin α =0, ∴cos α =-2sin α ,又 sin α +cos α =1, 1 4 2 2 2 ∴5sin α =1,sin α = ,cos α = , 5 5 4 2 sin 2α =2sin α cos α =-cos α =- . 5 4.(2016?武汉模拟)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos
2 2

B, 3cos A),若 m?n=1+cos(A+B),则 C 等于(
A. C. π 6 2π 3 B. D. π 3 5π 6

)

答案 C 解析 +B), π π 1 3sin C+cos C=1,2sin(C+ )=1,sin(C+ )= . 6 6 2 π π 7π π 5π 2π 又 <C+ < ,因此 C+ = ,C= . 6 6 6 6 6 3 → → 2 5.已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足PA?PB=x ,则点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案 D → → 解析 ∵PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → 2 2 ∴PA?PB=(-2-x)(3-x)+y =x , ∴y =x+6,即点 P 的轨迹是抛物线. 6.若平面向量 α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻边的平行四边形的面
11
2

依题意得 3sin Acos B+ 3cos Asin B=1+cos(A+B), 3sin(A+B)=1+cos(A

)

B.椭圆 D.抛物线

1 积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2 答案 ?

?π ,5π ? ? 6 ? ?6

解析 如图,向量 α 与 β 在单位圆 O 内,由于|α |=1,|β |≤1,且以向量 α ,β 为邻 1 边的平行四边形的面积为 , 2

1 故以向量 α ,β 为两边的三角形的面积为 , 4 1 → 故 β 的终点在如图所示的线段 AB 上(α ∥AB,且圆心 O 到 AB 的距离为 ),因此夹角 θ 的 2 取值范围为?

?π ,5π ?. 6 ? ?6 ?

→ → 7.在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA?AB=________. 答案 -8 解析 设∠CAB=θ ,AB=BC=a, 由余弦定理得 a =16+a -8acos θ ,∴acos θ =2, → → ∴CA?AB=4?a?cos(π -θ )=-4acos θ =-8. π 8.已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 .以 a,b 为邻边作平行四边 3 形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______. 答案 3
2 2 2 2

解析 ∵|a+b| -|a-b| =4a?b =4|a||b|cos π =4>0, 3
2 2 2

∴|a+b|>|a-b|,又|a-b| =a +b -2a?b=3, ∴|a-b|= 3. 1 3 1 2 9.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x + |a|x +a?bx 在 R 上有极值,则向量 a 3 2 与 b 的夹角的范围是__________.

?π ? 答案 ? ,π ? ?3 ?
解析 设 a 与 b 的夹角为 θ .
12

1 3 1 2 ∵f(x)= x + |a|x +a?bx, 3 2 ∴f′(x)=x +|a|x+a?b. ∵函数 f(x)在 R 上有极值, ∴方程 x +|a|x+a?b=0 有两个不同的实数根, 即 Δ =|a| -4a?b>0,∴a?b< , 4 又∵|a|=2|b|≠0,
2 2 2

a2

a2
∴cos θ = 4 1 a?b 1 < 2= ,即 cos θ < , |a||b| a 2 2 2

?π ? 又∵θ ∈[0,π ],∴θ ∈? ,π ?. ?3 ?
10.已知圆 C:(x-2) +y =4,圆 M:(x-2-5cos θ ) +(y-5sin θ ) =1(θ ∈R),过圆
2 2 2 2

M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE,PF,切点分别为 E,F,则PE?PF的最小值是________.
答案 6 解析 圆(x-2) +y =4 的圆心 C(2,0),半径为 2, 圆 M(x-2-5cos θ ) +(y-5sin θ ) =1,圆心 M(2+5cos θ ,5sin θ ),半径为 1, ∵CM=5>2+1,故两圆相离. 如图所示,设直线 CM 和圆 M 交于 H,G 两点,
2 2 2 2





→ → → → 2 2 则PE?PF最小值是HE?HF,HC=CM-1=5-1=4,HF=HE= HC -CE = 16-4=2 3,

CE 1 sin∠CHE= = , CH 2
1 2 ∴cos∠EHF=cos 2∠CHE=1-2sin ∠CHE= , 2 1 → → → → HE?HF=|HE|?|HF|?cos∠EHF=2 3?2 3? =6. 2 → → → 11.已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M 满足PA?AM=0,AM= 3→ - MQ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 2
13

解 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点, 设 A(a,0),Q(0,b)(b>0), → → → 则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → → 由PA?AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① 3→ → 由AM=- MQ,得 2 3 ?3 3 ? (x-a,y)=- (-x,b-y)=? x, ?y-b??, 2 ?2 2 ? 3 x-a= x, ? ? 2 ∴? 3 3 y= y- b, ? ? 2 2

x a=- , ? ? 2 ∴? y b= . ? ? 3 x? x?

∴b>0,y>0,

把 a=- 代入①,得- ?x+ ?+3y=0, 2 2? 2? 1 2 整理得 y= x (x≠0). 4 1 2 ∴动点 M 的轨迹方程为 y= x (x≠0). 4 12. 已知角 A, B, C 是△ABC 的内角, a, b, c 分别是其所对边长, 向量 m=(2 3sin , cos ), 2 2

x

A

2

A

A n=(cos ,-2),m⊥n.
2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,cos B= 解 (1)已知 m⊥n, 所以 m?n=(2 3sin ,cos )?(cos ,-2) 2 2 2 = 3sin A-(cos A+1)=0, π 1 即 3sin A-cos A=1,即 sin(A- )= , 6 2 π π 5π 因为 0<A<π ,所以- <A- < . 6 6 6 π π π 所以 A- = ,所以 A= . 6 6 3 π 3 (2)在△ABC 中,A= ,a=2,cos B= , 3 3
14

3 ,求 b 的长. 3

A

2

A

A

sin B= 1-cos B=

2

1 6 1- = . 3 3

由正弦定理知 = , sin A sin B 6 2? 3 4 2 sin B 所以 b=a? = = . sin A 3 3 2 13.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q, → 1→ → 1→ 且(PC+ PQ)?(PC- PQ)=0. 2 2 (1)求动点 P 的轨迹方程; → → 2 2 (2)若 EF 为圆 N:x +(y-1) =1 的任意一条直径,求PE?PF的最值. 解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → 1→ → 1→ 由(PC+ PQ)?(PC- PQ)=0, 2 2 → 2 1 → 2 得|PC| - |PQ| =0, 4 1 2 2 2 即(2-x) +(-y) - (8-x) =0, 4 化简得 + =1. 16 12 ∴动点 P 在椭圆上,其轨迹方程为 + =1. 16 12 → → → → → → (2)∵PE=PN+NE,PF=PN+NF, → → 且NE+NF=0. → → →2 →2 2 2 ∴PE?PF=PN -NE =(-x) +(1-y) -1

a

b

x2

y2

x2

y2

y 1 2 2 =16(1- )+(y-1) -1=- y -2y+16 12 3
1 2 =- (y+3) +19. 3 ∵-2 3≤y≤2 3. → → ∴当 y=-3 时,PE?PF的最大值为 19, → → 当 y=2 3时,PE?PF的最小值为 12-4 3. → → 综上,PE?PF的最大值为 19,最小值为 12-4 3.

2

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