wankiztv69:高一数学测试题等差数列(12)

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2002 — 2003 学 年 度 上 学 期

高中学生学科素质训练
高一数学测试题—等差数列(12)

一、选择题: 1、有下列五个命题: ①数列{a n}成等差数列的充要条件是对任意的 n∈N*,a n+1-a n 是非零的常数; ②首项为 a,公差为 d 的等差数列用递推式表示,就是 a 1=a, a n+1 = a n +d( n=1,2,3…) ③等差数列{a n}的通项公式 a n 必是关于 n 的一次函数 ④b 是 a,c 的等差中项的充要条件是 2b=a+c ⑤若等差数列{a n}的公差不为零,则对任意的 m、n、p、q∈N*,总有 a m+a n = a p+a q

? m + n = p + q.
其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C .3 D.4 ( )

2、若 a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列,则

x 2 ? x1 ? y 2 ? y1
D.





A.

2 3

B.

3 4

C .1

4 3
( )

3、等差数列{a n}的前三项为 x-1, x+1, 2x+3,则这个数列的通项公式为 A.a n =2n-5 C.a n =2n-1 B.a n = 2n-3 D.a n =2n+1

4、在等差数列{a n }中,S 4 =1, S 8 =4,则 a 17 +a 18 +a 19+a 20 的值是 A.7 B.8 C .9
-1-

( D.10



5 、 已 知 等 差 数 列 的 首 项 为 31, 若 此 数 列 从 第 16 项 开 始 小 于 1 , 则 此 数 列 的 公 差 d 的取值范围是 A.(-∞,-2) B.[- ( )

15 , -2] 7

C.(-2, +∞)

D.(—

15 ,-2) 7
( )

6、已知无穷等差数列{a n},前 n 项和 S n 中,S 6 <S 7 ,且 S 7 >S 8 ,则 A.在数列{a n }中 a7 最大; B.在数列{a n }中,a 3 或 a 4 最大;

C.前三项之和 S 3 必与前 11 项之和 S 11 相等; D.当 n≥8 时,a n <0. 7 、 一 群 羊 中 , 每 只 羊 的 重 量 数 均 为 整 数 公 斤 数 , 其 总 重 量 为 65 公 斤 , 已 知 最 轻 的 一 只羊重 7 公斤 , 除去一只 10 公斤的羊外 , 其余各只羊的公斤数恰好能组成一个等 差数列,则这群羊共有 A. 6 只 B.5 只 C .8 只 D.7 只 ( )

8、等差数列{a n}中,当 m≠2001 时,有 a 2001 =m , a m = 2001,若 p∈N*且 p>a m,则 a m+p 与 0 的大小关系是 A.a m+p >0 二、填空题: 9、等差数列{a n }中,a 2n ∶a n = (4n-1)∶(2n-1),则 S2n ∶S n = ________. 10 、 已 知 集 合 M={m|m=7n,m ∈ N*,m<100}, 则 M 中 元 素 的 个 数 为 _____, 所 有 元 素的和为______. 11、在等差数列{a n }中,已知 a 1+a 2 +……+a 和 S n =______. 12 、 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 的 和 之 比 为
10 =

( B.a m+p = 0 C.a m+p <0 D.无法确定



p, a

n-9

+a n-8 +……+a n = q,则其前n项的

5n ? 3 ,则该数列的第 9 项之比为_ 2n ? 1

_____ . 三、解答题: 13、己知{a n }为等差数列,a 1=2,a2 =3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构 成一个新的等差数列,求: ①原数列的第 12 项是新数列的第几项? ②新数列的第 29 项是原数列的第几项? 14、已知等差数列{a n }的公差是正数,且 a 3 ·a7 =-12, a4 +a 6 =-4,求它的前 20 项的和 S 20 .
-2-

15、设等差数列{a n }的前n项的和为 S n ,且 S 4 =-62, S 6 =-75,求: ①{a n }的通项公式 a n 及前n项的和 S n ;. ②|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |. 16、已知数列{a n },首项 a 1 =3 且 2a n+1=S n ·S n-1 (n≥2). ①求证:{

1 }是等差数列,并求公差; Sn
>a

②求{a n }的通项公式; ③ 数 列 {an } 中 是 否 存 在 自 然 数 k0, 使 得 当 自 然 数 k ≥ k 0 时 使 不 等 式 a 对任意大于等于 k 的自然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由.

k

k+1

高一数学测试题—参考答案
等差数列 一、CBBCB DAC 二、 (9)7 (10)14,735 (11)

( p ? q)n 20

(12)

8 3

三、 (13)分析:应找到原数列的第 n 项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系. 解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,? d ? 1 ? bn ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 .又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ? (4n ? 3) ? 7 ? an ? b4 n?3
4 4 4 4

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项.①当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项.②由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项. 注:一般地,在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入 m 个数,构成一个新的等差数列, 则新数列的公差为

d . 原数列的第 n 项是新数列的第 n+(n-1)m=(m+1)n-m 项. m ?1

(14)分析:可直接用通项公式代入求得 a1 和 d,再代入 S20 公式.也可以利用等差数列的性 质,运用方程的思想来求解. 解: (法一)设公差为 d,则 d>0.由已知可得 ?

?( a1 ? 2d )( a1 ? 6d ) ? ?12 ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? ?4

① ②

由②,有 a1=-2-4d,代入①,有 d2=4,再由 d>0,得 d=2.

? a1 ? ?10. ? S 20 ? 20 ? (?10) ?

20 ? (20 ? 1) ? 2 ? 180 . 2

(法二) :由等差数列的性质可得:a4+a6=a3+a7 即:a3+a7=-4,又 a3·a7=-12,由韦达定理知: a3 , a7 是 方 程 x2+4x - 12=0 的 两 根 . 解 方 程 可 得 , x1= - 6,x2=2
-3-

? d ? 0 ? ?a n ?为递增数列,? a3 ? ?6, a7 ? 2.从而d ?

a 7 ? a3 ? 2, a1 ? ?10, S 20 ? 180 . 7?3

注:这是等差数列中运用方程的思想的典型问题,应注意首项 a1 和公差 d 的特殊作用.(15) 分析: 通过解方程组易求得首项和公差, 再求 an 及 Sn; 解答②的关键在于判断项的变化趋势。 解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ?

?4a1 ? 6d ? ?62 ?6a1 ? 15 d ? ?75

解得:a1=-20,d=3. ① a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ?

(a1 ? a n )n n(?20 ? 3n ? 23) ? 2 2

?


3 2 43 n ? n. 2 2

? a1 ? ?20, d ? 3,? ?a n ? 的项随着n的增大而增大.设a k ? 0且a k ?1 ? 0得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7,即第7项之前均为负数. ?| a1 | ? | a 2 | ( 16 )分析: 3 3 ? | a3 | ? ? ? | a14 |? ?(a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ) ? (a8 ? a9 ? ? ? a14 ) ? S14 ? 2S 7 ? 147 .

证 ?

?1 ? 1 1 ? ?d ( d 是 常 数 ) 解 : ① 由 已 知 当 ? 为 等 差 , 即 证 S n S n ?1 ? Sn ?

n ? 2时,2a n ? S n ? S n ?1得 : 2( S n ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 (n ? 2). ?

2( S n ? S n ?1 ) 1 1 ?1? ? S n S n ?1 S n S n ?1

1 1 1 1 1 1 ? ? (n ? 2) ? { }是以 ? ? 为首项, 公差d ? ? 的等差数列. 2 Sn S1 a1 3 2


?

1 1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1)( ? ) ? .? S n ? (n ? 2).从而a n ? S n S1 3 2 6 5 ? 3n

?3 (n ? 1) ? 1 18 ? S n ? S n ?1 ? (n ? 2).因此a n ? ? 18 2 (3n ? 5)(3n ? 8) ? ( n ? 2) ? ? (3n ? 5)(3n ? 8)
③ 令a k ? a k ?1 ? 0,即(3k ? 2)(3k ? 5)(3k ? 8) ? 0.可得 3 ? k ? 3 或k ? 3 .故只需取k ? 3, 则对
大于或等于3的一切自然数总有a k ? a k ?1成立, 这样的自然数存在最小值3. 2 5 8

-4-


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