高考数学难点突破6-10

难点 6 函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求 值域的各种方法,并会用函数的值域解决实际应用问题. ●难点磁场 (★★★★★)设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1 ). m ?1

(1)证明:当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则 m∈M. (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值. (3)求证:对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1. ●案例探究 [例 1] 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面 的上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传 画所用纸张面积最小?如果要求λ ∈[ ,

2 3 ] ,那么λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积 3 4

最小? 命题意图: 本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题, 同时考查运用所学知识 解决实际问题的能力,属★★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 错解分析:证明 S(λ )在区间[ ,

2 3 ]上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化 3 4

为函数的最值问题来解决. 技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值问 题来解决. 解: 设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16)(λ x+10)= λ x2+(16λ +10)x+160,将 x=

22 10

?

代入上式得: S=5000+44 10 (8 ? +

5

?

),当 8 ? =

5

?

,

即λ = ( <1)时 S 取得最小值.此时高:x= 如果λ ∈[ ,

5 5 8 8

4840

?

=88 cm,宽:λ x=

5 ?88=55 cm. 8

2 3 2 3 ]可设 ≤λ 1<λ 2≤ ,则由 S 的表达式得: 3 4 3 4
5

S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5

?1
)

? 8 ?2 ?

5

?2

)

?1?2

又 ?1?2 ≥

2 5 5 >0, ? ,故 8- 3 8 ?1?2

∴S(λ 1)-S(λ 2)<0,∴S(λ )在区间[ ,

2 3 ]内单调递增. 3 4

从而对于λ ∈[ ,

2 3 2 ],当λ = 时,S(λ )取得最小值. 3 3 4 2 3 2 ] ,当λ = 3 3 4

答: 画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时, 所用纸张面积最小.如果要求λ ∈ [ , 时,所用纸张面积最小. [例 2]已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值. 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.
命题意图: 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题, 着重于学生的综合分析能力以 及运算能力,属★★★★级题目. 知识依托:本题主要通过求 f(x)的最值问题来求 a 的取值范围,体现了转化的思想与分 类讨论的思想. 错解分析:考生不易考虑把求 a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法:解法一运用转化思想把 f(x)>0 转化为关于 x 的二次不等式;解法二运用分 类讨论思想解得.

1 1 时,f(x)=x+ +2 2 2x ∵f(x)在区间[1,+∞ ) 上为增函数,
(1)解:当 a=

7 . 2 x2 ? 2x ? a (2)解法一:在区间[1,+∞ ) 上,f(x)= >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立. x 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ )
∴f(x)在区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3. 解法二:f(x)=x+

a +2,x∈[1,+∞ ) x

当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3. ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决的方法主要有: (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法:配方法、分离变量法、单调性法、图象法、 换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今 后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强. (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决.此类题要求考 生具有较强的分析能力和数学建模能力.

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)函数 y=x2+ A.(-∞,- C.[

1 1 (x≤- )的值域是( 2 x

)

7 ] 4

33 2 ,+∞ ) 2

7 ,+∞ ) 4 3 D.(-∞,- 3 2 ] 2
B.[- ) B.(-∞,-1 ] D.[1,+∞ )

2.(★★★★)函数 y=x+ 1 ? 2 x 的值域是( A.(-∞,1 ] C.R

二、填空题 3.(★★★★★)一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁 路线长 400 千米,为了安全,两列货车间距离不得小于(

V 2 ) 千米 ,那么这批物资全部运 20

到 B 市,最快需要_________小时(不计货车的车身长). 4.(★★★★★)设 x1、 x2 为方程 4x2-4mx+m+2=0 的两个实根, 当 m=_________时, x12+x22 有最小值_________. 三、解答题 5.(★★★★★)某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直 接消耗成本要增加 2500 元,市场对此商品年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)=5x -

1 2 x (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台) 2

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6.(★★★★)已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1] (1)若 f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数 a 的取值范围. 7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周 (按 120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产家 电产品每台所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工时 产值(千元) 空调器 彩电 冰箱

1 2
4

1 3
3

1 4
2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以 千元为单位) 8.(★★★★)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生 成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切圆面积为 S2,记 (1)求函数 f(x)=

BC ? CA =x. AB

S1 的解析式并求 f(x)的定义域. S2

(2)求函数 f(x)的最小值. 参考答案 难点磁场 (1)证明:先将 f(x)变形:f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+

1 ], m ?1

1 >0 恒成立,故 f(x)的定义域为 R. m ?1 1 反之, 若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则只须 x2-4mx+4m2+m+ >0,令Δ <0,即 16m2 m ?1 1 -4(4m2+m+ )<0,解得 m>1,故 m∈M. m ?1 1 (2)解析:设 u=x2-4mx+4m2+m+ ,∵y=log3u 是增函数,∴当 u 最小时,f(x)最小. m ?1 1 1 1 u=(x-2m)2+m+ ,显然, 当 x=m 时, u 取最小值为 m+ ,此时 f(2m)=log3(m+ ) m ?1 m ?1 m ?1
为最小值. (3)证明:当 m∈M 时,m+ ∴log3(m+

1 1 =(m-1)+ +1≥3,当且仅当 m=2 时等号成立. m ?1 m ?1

1 )≥log33=1. m ?1 1 1 1 )上是减函数,m2= 在(-∞,- )上是减函数, 2 2 x

歼灭难点训练 一、1.解析:∵m1=x2 在(-∞,- ∴y=x2+

1 1 在 x∈(-∞,- )上为减函数, 2 x 1 1 7 ∴y=x2+ (x≤- )的值域为[- ,+∞ ) . 2 4 x
答案:B 2.解析:令 1 ? 2 x =t(t≥0),则 x=

1? t2 . 2

1? t2 1 +t=- (t-1)2+1≤1 2 2 ∴值域为(-∞,1 ] .
∵y= 答案:A 二、3.解析:t= 答案:8

400 V 2 400 16V +16?( ) /V= + ≥2 16 =8. V V 20 400

m?2 m?2 ,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2- =(m 4 2 1 17 1 17 - )2- ,又 x1,x2 为实根,∴Δ ≥0.∴m≤-1 或 m≥2,y=(m- )2- 在区间(-∞,1) 4 4 16 16 1 上是减函数,在[2,+∞ ) 上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 m= 为对称轴.故 m=1 时, 4
4.解析:由韦达定理知:x1+x2=m,x1x2=

ymin=

1 . 2 1 2

答案:-1

三、5.解:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x) 差,由题意,当 x≤5 时,产品能全部售出,当 x>5 时,只能销售 500 台,所以

1 ? 1 2 5x ? x 2 ? (0.5 ? 0.25x )( 0 ? x ? 5) ? ? ? ?4.75x ? x ? 0.5(0 ? x ? 5) 2 y= ? ?? 2 ?(5 ? 5 ? 1 ? 52 ) ? (0.5 ? 0.25x )( x ? 5) ? 12 ? 0 . 25 x ( x ? 1) ? ? 2 ?
(2)在 0≤x≤5 时,y=-

1 2 b x +4.75x-0.5,当 x=- =4.75(百台)时,ymax=10.78125(万 2 2a

元) ,当 x>5(百台)时,y<12-0.25?5=10.75( 所以当生产 475 台时,利润最大.

?0 ? x ? 5 ?x ? 5 ? 或? (3)要使企业不亏本,即要求 ? 1 2 x ? 4.75x ? 0.5 ? 0 ?12 ? 0.25x ? 0 ? ?2
解得 5≥x≥4.75- 21.5625 ≈0.1(百台)或 5<x<48(百台)时,即企业年产量在 10 台到 4800 台之间时,企业不亏本. 6.解:(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立,当 a2-1≠0 时,其充要

?a ? 1或a ? ?1 2 ? ?a ? 1 ? 0 ? ,即? 条件是 ? , 5 2 2 a ? 或a ? ?1 ? ?? ? ( a ? 1) ? 4( a ? 1) ? 0 ? 3 ?
∴a<-1 或 a>

5 5 .又 a=-1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意.故 a≤-1 或 a>为 3 3

所求. (2)依题意只要 t=(a2-1)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+∞)上的任何值,则 f(x)的值域为 R,

?a 2 ? 1 ? 0 5 故有 ? ,解得 1<a≤ ,又当 a2-1=0 即 a=1 时, t=2x+1 符合题意而 a=-1 时不合题 3 ?? ? 0
意,∴1≤a≤

5 为所求. 3

7.解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得: x+y+z=360 ①

1 1 1 x ? y ? z ? 120 2 3 4



x>0,y>0,z≥60. 假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下,为求目标函数 S 的 最大值,由①②消去 z,得 y=360-3x. ④ 将④代入①得:x+(360-3x)+z=360,∴z=2x ⑤

∵z≥60,∴x≥30. ⑥ 再将④⑤代入 S 中,得 S=4x+3(360-3x)+2?2x,即 S=-x+1080.由条件⑥及上式知,当 x=30 时, 产值 S 最大, 最大值为 S=-30+1080=1050(千元) .得 x=30 分别代入④和⑤得 y=360 -90=270,z=2?30=60. ∴每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产值为 1050 千元. 8.解:(1)如图所示:设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h=

ab , c
∴S1=π ah+π bh= ∴f(x)=

?ab
c

(a ? b), S2 ? ? (

a?b?c 2 ) ,, 2


S1 4ab( a ? b) ? S 2 c( a ? b ? c ) 2

?a ? b ?a ? b ? cx ?x ? ? c ?? 又? c2 2 ab ? ( x ? 1) 2 2 2 ?a ? b ? c ? 2 ? ?
代入①消 c,得 f(x)=

2( x 2 ? x ) . x ?1

在 Rt△ABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0<A< x=

? ) ,则 2

a?b ? =sinA+cosA= 2 sin(A+ ).∴1<x≤ 2 . c 4 2 2( x ? x ) 2 ? 2[( x ? 1) ? ] +6,设 t=x-1,则 t∈(0, (2)f(x)= x ?1 x ?1

2 -1),y=2(t+

2 )+6 在(0, t

2 -1 ] 上是减函数,∴当 x=( 2 -1)+1= 2 时,f(x)的最小值为 6 2 +8.

难点 7 奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生 深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象. ●难点磁场 (★★★★)设 a>0,f(x)= ∞)上是增函数. ●案例探究 [例 1]已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

ex a ? 是 R 上的偶函数,(1)求 a 的值;(2)证明: f(x)在(0,+ a ex

1 )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任 2

x? y ),试证明: 1 ? xy

(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 . 属★★★★题目. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析:本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果 很难获得. 技巧与方法:对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定 的范围是焦点. 证明: (1)由 f(x)+f(y)=f(

x 2 ? x1 1 ? x1 x 2

x?x x? y ),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0. 1 ? xy 1? x2

∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

x 2 ? x1 x ? x1 <1,由题意知 f( 2 )<0 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. [ 例 2 ] 设 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 并 在 区 间 ( - ∞ ,0) 内 单 调 递 增 , f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y=( 间. 命题意图: 本题主要考查函数奇偶性、 单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定 方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过 本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法. 解:设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.

1 a2 ?3a?1 ) 的单调递减区 2

1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3
由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得 0<a<3.

又 a2-3a+1=(a- ∴函数 y=(

3 2 5 )- . 2 4

1 a2 ?3a ?1 3 ) 的单调减区间是[ ,+∞] 2 2 3 2 3 结合 0<a<3,得函数 y=( ) a ?3a ?1 的单调递减区间为[ ,3). 2 2
●锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有: (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性. 若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性. 同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的“磁场”及“训练”认真体会, 用好数与形的统一. 复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶 性、单调性的应用. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( ) A.f(x)=(x-1)

x ?1 1? x

B.f(x)=

lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2

2 ? ? x ? x ( x ? 0) C.f(x)= ? 2 ? ? ? x ? x ( x ? 0)

D.f(x)=

1 ? sin x ? cos x 1 ? cos x ? sin x

2.(★★★★★)函数 f(x)=

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

的图象(

)

A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x=1 对称 二、填空题 3.(★★★★)函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 4.(★★★★★)若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2), x2,+∞ ) 上单调递增,则 b 的取值范围是_________. 三、解答题 5.(★★★★)已知函数 f(x)=ax+

x?2 (a>1). x ?1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 6.(★★★★★)求证函数 f(x)=

x3 在区间(1,+∞)上是减函数. ( x 2 ? 1) 2

7.(★★★★)设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a. 8.(★★★★★)已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 时,f(x)>0. 2 2
(1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 参考答案 难点磁场 (1)解:依题意,对一切 x∈R,有 f(x)=f(-x),即

ex a 1 1 ? x ? x +aex.整理,得(a- ) a e ae a

(ex-

1 1 )=0.因此,有 a- =0,即 a2=1,又 a>0,∴a=1 x e a 1 1 1 ? x ? ( e x2 ? e x1 )( x ? x ? 1) x1 2 1 e e e 2

(2)证法一:设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= e x1 ? e x2 ?

? e x1 ( e x2 ? x1 ? 1)

1 ? e x1 ? x2 e x1 ? x2

由 x1>0,x2>0,x2>x1,∴ e x2 ? x1 ? 1 >0,1-e x1 ? x2 <0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 - - - - 证法二: 由 f(x)=ex+e x, 得 f′(x)=ex-e x=e x? (e2x-1).当 x∈(0,+∞)时, e x>0,e2x-1>0. 此时 f′(x)>0,所以 f(x)在[0,+∞)上是增函数. 歼灭难点训练 一、 1. 解析: f( - x)= ?
2 ? ?x ? x 2 ? ?? x ? x

( x ? 0)

2 ? ?? ( x ? x ) ?? 2 ( x ? 0) ? ?? ( ? x ? x )

( x ? 0) ( x ? 0)

= - f(x) ,故 f(x)

为奇函数. 答案:C 2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C 二、3.解析:令 t=|x+1|,则 t 在(-∞,-1 ] 上递减,又 y=f(x)在 R 上单调递增,∴y=f(|x+1|) 在(-∞,-1 ] 上递减. 答案:(-∞,-1 ] 4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x, ∴b=-a(x1+x2),又 f(x)在[x2,+∞ ) 单调递增,故 a>0.又知 0<x1<x,得 x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0. 答案:(-∞,0) 三、5.证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0,

∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ? x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0 ∴

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1

于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数. (2)证法一:设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 a x0 ? ?

x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0< x0 ? 1



x0 ? 2 1 <1,即 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根. x0 ? 1 2
证法二:设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,若-1<x0<0,则

x0 ? 2 <-2, a x0 <1,∴f(x0)< x0 ? 1

-1 与 f(x0)=0 矛盾, 若 x0<-1,则 没有负数根. 6.证明:∵x≠0,∴f(x)=

x0 ? 2 >0, a x0 >0, ∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾, 故方程 f(x)=0 x0 ? 1

1 1 1 , ? ? 2 2 2 1 2 ( x ? 1) x( x ? 1) x(1 ? 2 ) x x3 x4
2
2

设 1<x1<x2<+∞,则

1 x2

?

1 x1
2

? 1,1 ?

1 x2
2

?1?

1 x1
2

?0.

? x 2 (1 ?

1 x2
2

) 2 ? x1 (1 ?

1 x1
2

) 2 ? 0. ?

1 x 2 (1 ? 1 x2
2

? )2

1 x1 (1 ? 1 x1
2

)2

∴f(x1)>f(x2),

f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)

7.证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(-x)=f(x2-x1)= =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f[x-(-a)]=

f ( x 2 ) f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 ?? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 )

f ( ? a ) f ( x) ? 1 ? f ( a ) f ( x) ? 1 f ( x) ? 1 ? ? ( f (a) ? 1) . f ( ? a ) ? f ( ? x) ? f ( a ) ? f ( x) f ( x) ? 1

f ( x) ? 1 ?1 f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 1 ? f ( x ? 2a ) ? f [( x ? a ) ? a ] ? ? ?? f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 f ( x ). ?1 f ( x) ? 1
∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=

1 =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数. ? f ( x ? 2a )

8.(1)证明:设 x1<x2,则 x2-x1-

1 1 1 >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2

∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-

1 1 )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2
∴f(x)是单调递增函数. (2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.

难点 8 奇偶性与单调性(二)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出 . 本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(2)=0,解不等式[ f log2(x2+5x+4)] ≥0. ●案例探究 [例 1] 已知奇函数 f(x)是定义在(-3, 3)上的减函数, 且满足不等式 f(x-3)+f(x2-3)<0, 设不等式解集为 A,B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值. 命题意图: 本题属于函数性质的综合性题目, 考生必须具有综合运用知识分析和解决问 题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最 值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为 xcos 不等式,利用数形结合进行集合运 算和求最值.

?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?0 ? x ? 6 解:由 ? 且 x≠0,故 0<x< 6 , 得? 2 ? ? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6
又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-

1 2 13 ) - 知:g(x) 2 4

在 B 上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4. [例 2]已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数

m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈[0,

? ]都成立?若存在,求出符合条件 2

的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图: 本题属于探索性问题, 主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运 算能力,属★★★★★题目. 知识依托: 主要依据函数的单调性和奇偶性, 利用等价转化的思想方法把问题转化为二 次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析: 考生不易运用函数的综合性质去解决问题, 特别不易考虑运用等价转化的思 想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数.于是不 等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0. 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数 g(t) =t2-mt+2m-2=(t- 1]上的值恒为正,又转化为函数 g(t)在[0,1]上的最小值为正.

m 2 m2 )- +2m-2 在 [0, 4 2

m <0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符; 2 m2 m 当 0≤ ≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=- +2m-2>0 4 2
∴当

? 4-2 2 <m<4+2 2 ,


4-2 2 <m≤2.

m >1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1.∴m>2 2

综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 2 . ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭 知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力. (2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价 转化和数形结合的思想方法, 把问题中较复杂、 抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决. 特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x,则 f(7.5) 等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 2.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, a 的取值范围是( ) A.(2 2 ,3) C.(2 2 ,4) B.(3, 10 ) D.(-2,3)

二、填空题 3.(★★★★)若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集 为_________. 4.(★★★★)如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=-f(x), 试比较 f(

1 2 ),f( ),f(1)的大小关系_________. 3 3

三、解答题 5.(★★★★★)已知 f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上的增 减性并加以证明. 6.(★★★★)已知 f(x)=

a ? 2x ?1 (a∈R)是 R 上的奇函数, 1? 2x

(1)求 a 的值; - (2)求 f(x)的反函数 f 1(x); (3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f 1(x)>lg


1? x . k 7 +cos2x)对 4

7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数 f(x)满足 f(m-sinx)≤f( 1 ? 2m - 任意 x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围. 8.(★★★★★)已知函数 y=f(x)= 有最小值 2,其中 b∈N 且 f(1)<

ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x) bx ? c

5 . 2

(1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不 存在,说明理由. 参考答案 难点磁场 解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2). 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 2 或 log2(x +5x+4)≤-2 ② 2 由①得 x +5x+4≥4 ∴x≤-5 或 x≥0 ③ 由②得 0<x2+5x+4≤

? 5 ? 10 1 ? 5 ? 10 得 ≤x<-4 或-1<x≤ 2 2 4



由③④得原不等式的解集为

? 5 ? 10 ? 5 ? 10 ≤x≤-4 或-1<x≤ 或 x≥0} 2 2 歼灭难点训练 一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)= f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 答案:B
{x|x≤-5 或

2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0. ∴f(a-3)<f(a2-9).

?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9
答案:A

∴a∈(2 2 ,3).

?x ? 0 ?x ? 0 二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0 ? ? 或? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?? 或? ?? 或? ? f ( x ) ? f ( ?3) ? f ( x ) ? f (3) ? x ? ?3 ? x ? 3
∴x∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 4.解析:∵f(x)为 R 上的奇函数 ∴f( -

1 1 2 2 1 )=-f(- ),f( )=-f(- ),f(1)=-f(-1),又 f(x)在(-1,0)上是增函数且- > 3 3 3 3 3

2 >-1. 3 1 2 1 2 )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1). 3 3 3 3 1 2 答案:f( )<f( )<f(1) 3 3
∴f(-

三、5.解:函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数,设 x1<x2<0,因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知 f(x) (0,+∞)上是减函数,于是 有 f(-x1)<f(-x2),即 f(x1)<f(x2),由此可知,函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 6.解:(1)a=1. (2)f(x)=

2x ?1 - 1 ? x (-1<x<1 ) . (x∈R) ? f -1(x)=log2 x 2 ?1 1? x

1 ? x >log 1 ? x ? log (1-x)<log k,∴当 0<k<2 时,不等式解集为{x|1-k 2 2 2 k 1? x <x<1 } ;当 k≥2 时,不等式解集为{x|-1<x<1 } .
(3)由 log2

? ?m ? sin x ? 4 ?m ? 4 ? sin x ? 7 ? ? 2 即? 7. 解: ? 1 ? 2m ? ? cos x ? 4 ,对 x 7 4 m ? 1 ? 2m ? ? ? sin2 x ? sin x ? 1 ? ? 4 ? 7 ? 2 m ? sin x ? 1 ? 2 m ? ? cos x ? 4 ?
∈R 恒成立,

?m ? 3 ? ?? 3 1 m ? 或m ? ? 2 2 ?

∴m∈[

3 1 ,3]∪{ }. 2 2

8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

1 a ax 2 ? 1 a 1 ? x? ≥2 ,当且仅当 x= 时等号成立, 2 bx b bx a b

于是 2

a 5 a ?1 5 b2 ?1 5 1 2 =2, ∴ a = b , 由 f (1) < 得 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2, 2 b 2 2 2 2 b b

又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+

1 . x

(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上, 并且关于(1, 0) 的对称点(2-x0,-y0)也在 y=f(x)

? x0 2 ? 1 ? y0 ? ? x0 图象上,则 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y 0 ? 2? x 0 ?
消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2 . ∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称.

难点 9 指数函数、对数函数问题
指数函数、 对数函数是高考考查的重点内容之一, 本节主要帮助考生掌握两种函数的概 念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设 f(x)=log2

1 ? x ,F(x)= 1 +f(x). 2? x 1? x


(1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 f 1(n)>
- - -

n ; n ?1

(3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明:方程 F 1(x)=0 有惟一解. ●案例探究 [例 1]已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知 识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法: 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线; 第二问运用方程思想去求得点 A 的坐标. (1)证明:设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为

log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log8 x1 log8 x 2 ? ,点 C、D 坐标分别为 x1 x2

(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1=

log8 x1 log8 x 2 ? 3log8x2,所以 OC 的斜 = 3 log8 x1 , log2 x 2 ? log8 2 log8 2

率:k1=

log2 x1 3 log8 x1 ? , x2 x1 log2 x 2 3 log8 x 2 ? ,由此可知:k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上. x2 x2

OD 的斜率:k2=

(2)解:由 BC 平行于 x 轴知:log2x1=log8x2 即:log2x1=

1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 3

得: x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为( 3 , log8 3 ). [例 2]在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的 10

等腰三角形. (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项的和 最大?试说明理由. 命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思 维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级 题目. 知识依托:指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析:考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口. 技巧与方法:本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运 用相关的知识点去解决问题. 解:(1)由题意知:an=n+ (2)∵函数 y=2000(

1 a n? ,∴bn=2000( ) 2 . 2 10

1

a x ) (0<a<10)递减, ∴对每个自然数 n,有 bn>bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2 10 a a 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )-1>0,解得 a<-5(1+ 2 ) 10 10
或 a>5( 5 -1).∴5( 5 -1)<a<10. (3)∵5( 5 -1)<a<10,∴a=7

7 n? ∴bn=2000( ) 2 .数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数 n≥2,Bn=bnBn-1.于 10
是当 bn≥1 时,Bn<Bn-1,当 bn<1 时,Bn≤Bn-1,因此数列{Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn ≥1 且 bn+1<1,由 bn=2000(

1

7 n? 2 ) ≥1 得:n≤20.8.∴n=20. 10

1

●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法有: (1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象 和性质并能灵活应用. (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力. (3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶 函数 h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( ) -x x A.g(x)=x,h(x)=lg(10 +10 +2)

1 1 [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x] 2 2 x x C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- 2 2 x x D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+ 2 2
B.g(x)= 2.(★★★★)当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )

二、填空题 3.( ★ ★ ★ ★ ★ ) 已 知 函 数

f(x)=

?2 x ( x ? 0) - .则 f- 1(x-1)=_________. ? ?log2 ( ? x ) ( ?2 ? x ? 0)
4.(★★★★★)如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分 钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= - - ae nt,那么桶 2 中水就是 y2=a-ae nt,假设过 5 分钟时,桶 1 和桶 2 的水相等, 则再过_________分钟桶 1 中的水只有

a . 8
三、解答题 5.(★★★★)设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,

点 Q(x-2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围. 6.( ★★★★ ) 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a ≠ 1),(x ∈ (0,+ ∞ )), 若 x1,x2 ∈ (0,+ ∞ ), 判断 [f(x1)+f(x2)]与 f(

1 2

x1 ? x2 )的大小,并加以证明. 2

7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠ 1),求 loga(xy)的取值范围. 8.( ★★★★ ) 设不等式 2(log 1 x)2+9(log 1 x)+9 ≤ 0 的解集为 M ,求当 x ∈ M 时函数
2 2

f(x)=(log2

x )(log x )的最大、最小值. 2 2 8
参考答案

难点磁场 解:(1)由

1? x >0,且 2-x≠0 得 F(x)的定义域为(-1,1),设-1<x1<x2<1,则 1? x
1 ? x2 1 ? x1 1 1 ? ? log2 )+( log2 ) 2 ? x2 2 ? x1 1 ? x2 1 ? x1

F(x2)-F(x1)=(

?

x 2 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? log2 , ( 2 ? x1 )( 2 ? x 2 ) (1 ? x1 )(1 ? x 2 )

∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函数. (2)证明:由 y=f(x)= log2

1? x 2y ?1 1? x ,x ? y 得:2y= , 1? x 2 ?1 1? x

∴f 1(x)=


2x ? 1 - ,∵f(x)的值域为 R,∴f- 1(x)的定义域为 R. x 2 ?1
n 2n ? 1 n 2 1 ? n ? ?1? n ?1? ? 2 n ? 2n ? 1 . n ?1 n ?1 2 ?1 n ?1 2 ?1

当 n≥3 时,f-1(n)>

用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略.

1 1 1 - - - ,∴F 1( )=0,∴x= 是 F 1(x)=0 的一个根.假设 F 1(x)=0 还有一个解 2 2 2 1 1 x0(x0≠ ),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的,故 F-1(x)=0 有惟一解. 2 2
(3)证明: ∵F(0)= 歼灭难点训练 一、1.解析:由题意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) - - 又 g(-x)+h(-x)=lg(10 x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 由①②得:g(x)= ① ②

x x ,h(x)=lg(10x+1)- . 2 2

答案:C 2.解析:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选,又 a>1 时,y=(1-a)x 为 减函数. 答案:B 二、3.解析:容易求得 f-1

?log2 x (x)= ? x ?? 2

( x ? 1) ( x ? 1)

,从而:

?log2 ( x ? 1), ( x ? 2) - f 1(x-1)= ? x?1 ( x ? 2). ?? 2 ,
?log2 ( x ? 1), ( x ? 2) 答案: ? x?1 ( x ? 2) ?? 2 ,
4.解析:由题意,5 分钟后,y1=ae 水只有
-nt

,y2=a-ae

-nt

,y1=y2.∴n=

1 ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的 5

a a - ,则 y1=ae n(5+t)= ,解得 t=10. 8 8

答案:10 三、5.解:(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x-2a,y′=-y.即 x=x′+2a,y=-y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x-3a)的图象上, ∴-y′=loga(x′+2a-3a),即 y′=loga ∴g(x)=loga

1 , x ?a
2

1 . x?a
1 1 = >0,又 a>0 且 a≠1,∴0<a< x ? a ( a ? 3) ? a

(2)由题意得 x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0;

1, ∵ |f(x) - g(x)|=|loga(x - 3a) - loga

1 |=|loga(x2 - 4ax+3a2)|? |f(x) - g(x)|≤ 1, ∴- 1≤ loga(x2 x?a

- 4ax+3a2) ≤ 1, ∵ 0 < a < 1, ∴ a+2>2a.f(x)=x2 - 4ax+3a2 在[ a+2,a+3 ]上为减函数,∴ μ (x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上为减函数,从而[μ (x)]max=μ (a+2)=loga(4-4a),[μ

?0 ? a ? 1 ? (x)]min=μ (a+3)=loga(9-6a),于是所求问题转化为求不等式组 ?loga (9 ? 6a) ? ?1 的解. ?log (4 ? 4a) ? 1 ? a
9 ? 57 4 ,由 loga(4-4a)≤1 解得 0<a≤ , 12 5 9 ? 57 ∴所求 a 的取值范围是 0<a≤ . 12 6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
由 loga(9-6a)≥-1 解得 0<a≤

x1 ? x2 2 ) (当且仅当 x1=x2 时取“=”号), 2 x ? x2 2 当 a>1 时,有 logax1x2≤loga( 1 ), 2
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤(

x ? x2 x ? x2 1 1 logax1x2≤loga( 1 ), (logax1+logax2)≤loga 1 , 2 2 2 2 x ? x2 1 即 [ f(x1)+f(x2)]≤f( 1 )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号) 2 2 x ? x2 2 当 0<a<1 时,有 logax1x2≥loga( 1 ), 2 x ? x2 x ? x2 1 1 ∴ (logax1+logax2)≥loga 1 ,即 [f(x1)+f(x2)] ≥f( 1 )(当且仅当 x1=x2 时取 “=” 2 2 2 2
∴ 号). 7. 解:由已知等式得: loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即 (logax- 1)2+(logay- 1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内,圆弧(u -1)2+(v-1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=-u+k 有公共点,分两类讨论. (1)当 u≥0,v≥0 时,即 a>1 时,结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 ); (2)当 u≤0,v≤0,即 0<a<1 时, 同理得到 2(1- 2 )≤k≤1- 3 .x 综上, 当 a>1 时, logaxy 的最大值为 2+2 2 ,最小值为 1+ 3 ;当 0<a<1 时,logaxy 的最大值为 1- 3 ,最小值 为 2-2 2 . 8.解:∵2( log 1 x)2+9( log 1 x)+9≤0
2 2

∴(2 log 1 x+3)( log 1 x+3)≤0.
2 2

∴-3≤ log 1 x≤-
2

3 . 2
3

即 log 1 (
2
3

1 -3 1 ? ) ≤ log 1 x≤ log 1 ( ) 2 2 2 2 2

1 ? 1 - ∴( ) 2 ≤x≤( ) 3,∴2 2 ≤x≤8 2 2
即 M={x|x∈[2 2 ,8]} 又 f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1. ∵2 2 ≤x≤8,∴

3 ≤log2x≤3 2

∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=-1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0.


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