人教版高中数学全套试题第1章 习题课

习题课 空间几何体
【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构,以三视图为载体,进一步巩固几何体的体 积与表面积计算.
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式.

2.空间几何体的表面积和体积公式.

名称 几何体

表面积

柱体 (棱柱和圆柱)

S 表面积=S 侧+2S 底

锥体 (棱锥和圆锥)

S 表面积=S 侧+S 底

台体 (棱台和圆台)

S 表面积=S 侧+S 上+S




S=________

体积
V=________
V=________ V=_________ ____________
V=43πR3

一、选择题

1.圆柱的轴截面是正方形,面积是 S,则它的侧面积是( )

A.1πS

B.πS

C.2πS

D.4πS

2.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.12

B.23

C.1

D.2

3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为12,则该几何体

的俯视图可以是( )

4.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( )

A.280

B.292

C.360

D.372

5.棱长为 a 的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )

A.a33

B.a43

C.a63

D.1a23

6.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是323π,则

这个三棱柱的体积是( )

A.96 3

B.16 3

C.24 3

D.48 3

二、填空题 7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是________cm3.
9.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面 半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.

三、解答题 10.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视 图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
11.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径 r 取何值时,S 取得最大值?并求出该最大值(结果精确到 0.01 平 方米);
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米的灯笼,请作出用于制作灯笼的三视 图(作图时,不需考虑骨架等因素).

能力提升 12.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m).则该几何体的体积为________m3.

13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC= 6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是___________.

1.空间几何体是高考必考的知识点之一,重点考查空间几何体的三视图和体积、表面 积的计算,尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积,更是近几年高考的热点.
其中组合体的体积和表面积有加强的趋势,但难度也不会太大,解决这类问题的关键是 充分发挥空间想象能力,由三视图得到正确立体图,进行准确计算.
2.“展”是化折为直,化曲为平,把立体几何问题转化为平面几何问题,多用于研究 线面关系,求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等.

习题课 空间几何体 答案

知识梳理

1.2πrl πrl π(r+r′)l

2.Sh

1 3Sh

1 3(S

上+S

下+

S上S下)h

4πR2

作业设计

1.B [设圆柱底面半径为 r,则 S=4r2,

S 侧=2πr·2r=4πr2=πS.]

2.C [由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的底面

直角三角形的直角边长分别为 1 和 2,三棱柱的高为 2,所以该几何体的体积 V=12×1× 2

× 2=1.] 3.C [当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯视图
为 B 中圆时,几何体为底面半径为12,高为 1 的圆柱,体积为π4;当俯视图为 C 中三角形时,

几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,体积为12;当俯视图 为 D 中扇形时,几何体为圆柱的14,且体积为π4.]
4.C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体,上面一个长方体组合而成的几何 体.

∵下面长方体的表面积为 8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表面积 为 8×6×2+2×8×2+2×6×2=152,又∵长方体表面积重叠一部分,∴几何体的表面积 为 232+152-2×6×2=360.]

5.C

[连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为

2 2a

的正四棱锥组成,正四棱

锥的高为2a,则八面体的体积为 V=2×13×( 22a)2·2a=a63.]

6.D [由43πR3=332π,得 R=2.

∴正三棱柱的高 h=4.

设其底面边长为 a,

则13·23a=2,∴a=4 3.

∴V=

3 4 (4

3)2·4=48

3.]

7.130

解析 该几何体是上面是底面边长为 2 的正四棱锥,下面是底面边长为 1、高为 2 的正

四棱柱的组合体,其体积为

V=1×1×2+13×22×1=130. 8.144 解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台=13(82+42+ 82×42)×3 =112,V 正四棱柱=4×4×2=32,故 V=112+32=144. 9.4 解析 设球的半径为 r cm,则 πr2×8+43πr3×3 =πr2×6r.解得 r=4. 10.解 (1)如图所示.

(2)所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥
=4×4×6-13×??12×2×2??×2=2384 (cm3).

11.解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6-88×2r=1.2-2r,∴塑料片面积 S=πr2+2πr(1.2-2r)=πr2+2.4πr-4πr2=-3πr2+2.4πr=-3π(r2-0.8r)=-3π(r-0.4)2 +0.48π.
∴当 r=0.4 时,S 有最大值 0.48π,约为 1.51 平方米. (2)若灯笼底面半径为 0.3 米,则高为 1.2-2×0.3=0.6(米).制作灯笼的三视图 如图.
12.4 解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面三角形的一边长 为 4,且该边上的高为 3,故所求三棱锥的体积为 V=13×12×3×4×2=4 m3. 13.5 2 解析
将△BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上,如图. 连接 A1C 即为 CP+PA1 的最小值,过点 C 作 CD⊥C1D 于 D 点,△BCC1 为等腰直角三 角形, ∴CD=1,C1D=1,A1D=A1C1+C1D=7. ∴A1C= A1D2+CD2= 49+1=5 2.


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