da557.com:山东省师大附中2012-2013学年高二下学期期中考试理科(数学)

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山东师大附中 2011 级第二学年第三学段学分认定考试 数学试题(理)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 120 分.测试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(共 48 分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案.不能答在测试卷上. 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z ? A. 2 ? i
?3 ? i 2?i

的共轭复数是( C. ? 1 ? i

) D. ? 1 ? i )
3 4 ?i

B. 2 ? i

2.设复数 z 满足关系式 z ? | z |? 2 ? i ,那么 z 等于( A. ? 3.若复数 A.
5

3 4

?i

B.

3 4

?i

C. ?

3 4

?i

D.

2 ? bi 1 ? 2i

( b ? R ) 的实部和虚部互为相反数,则 b ? (



2
5

B.

2 3

C. ?

2 3

D.2

4. C 7 ? C 6 ? ( A. C 8
6

) B. C 7
6

C. C 7

4

D. C 6

4

5.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( A. A 8 A 9
8 2



B. A 8 C 9

8

2

C. A 8 A 7

8

2

D. A 8 C 7

8

2

6.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组 队方案共有( A.70 种 7. f ( x ) ? ?
1 2

) B.80 种
2

C.100 种

D.140 种 )

x ? b ln ( x ? 2 ) 在 - 1 , + ? ) ( 上单调递减,则 b 的取值范围是(

A.( - ? , - 1 )
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B.( - 1 , + ? )

? C.( ? ? , 1]

? D. [ ? 1, ? )
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3 2

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8.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 在其定义域上没有极值,则 a 的取值范围是( A. ( ? 1, ) 2 B. [ ? 1, ] 2 C. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? ) D. ( ? ? , ? 1] ? [ 2, ? ) ?
2S a?b?c



9.设 ? A B C 的三边长分别为 a , b , c , ? A B C 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则 r ?

。类比这个结论

可知:四面体 S ? A B C 的四个面的面积分别为 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ,内切球半径为 R ,四面体 S ? A B C 的体积为
V ,则 R ? (

) B.
2V S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 4V S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4

A.

V S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 3V S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4

C.

D.

10.现有五种不同的颜色要对如图中的四个部分进行着色,要求有公共边 块不能用同一种颜色,则不同的着色方法有( A.180 种 B.240 种 C.225 种 ) D.120 种 Ⅱ

Ⅰ Ⅲ Ⅳ

的两

11.7 个人并排站在一排,B 站在 A 的右边,C 站在 B 的右边,D 站在 C 边,则不同的排法种数为( A. A 4 ? A 4
4 4

的右

) C. A 4
4

B. 2 A3 A 4

3

4

D. A 7

3

12.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有( A.12 B.14 C.15 D.16



第Ⅱ卷(非选择题 共 72 分) 注意事项: 1.用钢笔或黑色圆珠笔直接写在答题纸上;作图时,可用 2B 铅笔,要字体工整,笔迹清晰. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.(
1? i 1? i )
4 n ?1

?

(n ? N ? ) 6 6 ? 5 (填>、<、≥、≤中之一)

14.比较大小: 7 ?
2

15.函数 y ? ? x ? 2 x ? 1 与 y ? 1 相交形成一个闭合图形,则该闭合图形的面积是 16.某同学在学习时发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 M:
sin 1 3 ? co s 1 7 ? sin 1 3 co s 1 7
2 2 ? ? ? ?

.

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sin 1 5 ? co s 1 5 ? sin 1 5 co s 1 5
2 2 ? ? ? ?

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sin 1 8 ? co s 1 2 ? sin 1 8 co s 1 2
2 2 2 ? 2 ? ?

?

?

?

?

sin 1 8 ? co s 4 8 ? sin 1 8 co s 4 8
2 ? 2 ? ?

?

sin 2 5 ? co s 5 5 ? sin 2 5 co s 5 5

?

(1) M =

; .

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式为:

三、解答题:本大题共 6 个小题.共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 8 分)求证:
1 lo g 5
19

?

2 lo g 3
19

?

3 lo g 2
19

? 2

18.(本小题 8 分)数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1)写出 a 2 , a 3 , a 4 . (2)求数列 { a n } 的通项公式.

1 2

an ? 1 .

19.(本小题 10 分)已知 f ( x ) 是 R 上的增函数, a , b ? R .证明下面两个命题: (1)若 a ? b ? 0 ,则 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) (2)若 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) ,则 a ? b ? 0 20.(本小题 10 分)设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? 2 ln( 1 ? x )
2

(1)求 f ( x ) 的单调区间 (2)若当 x ? [
1 e ? 1, e ? 1 ] 时,不等式 f ( x ) ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
3 2

21.(本小题 10 分)已知函数 f ( x ) ? mx ? 2 nx ? 12 x 的减区间是 ( ? 2 , 2 ) . (1)试求 m , n 的值; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点 A (1, ? 11 ) 处的切线方程; (3)过点 A (1, t ) ,是否存在与曲线 y ? f ( x ) 相切的 3 条切线,若存在,求出实数 t 的取值范围;若不 存在,请说明理由. 22.(本小题 10 分)已知 a , b 为实数,函数 f ( x ) ? x ? ax , g ( x ) ? x ? bx , 若 f ? ( x ) ? g ? ( x ) ? 0 在区间 D 上
3 2

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恒成立,则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 D 上单调性一致. (1)设 a ? 0 ,若 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 [ ? 1, ?? ) 上单调性一致,求 b 的取值范围. (2)设 a ? 0 , 且 a ? b ,若 f ( x ) 和 g ( x ) 在以 a , b 为端点的开区间上单调性一致,求 | a ? b | 的最大值.

一、选择题 1、D 2、D 3、C 4、D 5、A 6、A 7、C 8、B 9、C 10、A 11、D 12、B 二、填空题 13、i 14、< 15、 三、解答题 17、证明:要证
1 lo g 5
19

4 3

16、

3 4

sin (? ? 3 0 ) ? co s ? ? sin (? ? 3 0 ) co s ?
2 ? 2 ?

?

2 lo g 3
8 19
19

?

3 lo g 2
19

? 2 成立,

只需证 log 即证 log

5 19

? log

9 19

? log

? 2 成立,-----------------3 分
2

5 ? 9 ?8 19

? 2 成立,只需证 5*9*8<19 成立,-------------6 分

因为 5*9*8=360,192=361 显然成立,所以
1 2

1 lo g 5
19

?

2 lo g 3
19

?

3 lo g 2
1 2
19

? 2 .-------------8 分

18、(1)解:因为 a 1 ? 1, a n ? 1 ?
a3 ? 1 2 a2 ? 1 ?

a n ? 1 ,所以 a 2 ?

a1 ? 1 ?

1 2

?1?

3 2



1 3 7 1 1 7 15 ? ?1? , a4 ? a3 ? 1 ? ? ? 1 ? .-------------------3 分 2 2 4 2 2 4 8
n ?1

(2)解法一:猜想: a n ?

2 2
1

?1
n ?1

n

?1?

2 2

?1
n ?1

.下面用数学归纳法证明,

证明:(1)当 n=1 时, a 1 ?

2 2
k ?1

?1
1 ?1

? 1 ,满足上式,显然成立;-------------------4 分

(2)假设当 n=k 时 a k ?
k

2 2k

?1
n ?1

k

?1?

2 2

?1
k ?1

,那么当 n=k+1 时,
k ?1 k

a k ?1 ?

1 2

ak ? 1 ?

1 2 ?1 2 ?1 2 ?1? 2 ? k ?1 ? 1 ? ?1? k k 2 2 2 2
k k

k

?

2

?1

满足上式,

2

即当 n=k+1 时猜想也成立.-------------------7 分

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n ?1

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?1
n

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由(1) (2)可知,对于 n ? n 都有 a n ?
*

2 2

n ?1

?1?

2 2

?1
n ?1

.------------------8 分
1 2 ( a n ? 2 ) ,------------4 分

解法二:因为 a n ? 1 ?

1 2

a n ? 1 ,所以 a n ? 1 ? 2 ? 1 2

1 2

a n ? 1 ? 2 ,即 a n ? 1 ? 2 ?
1 2

设 b n ? a n ? 2 ,则 b n ? 1 ? 所以 b n ? b1 ? q
n ?1

b n ,即 ? b n ? 是以 b1 ? ? 1 ,

为公比的等比数列,
n

? ? 2

1
n ?1

,------------------7 分

所以 a n ? b n ? 2 ?

2 2

?1
n ?1

.-----------------8 分

19、(1)证明:因为 a ? b ? 0 ,所以 a ? ? b , b ? ? a ,---------------------2 分 又因为 f ( x ) 是 R 上的增函数,所以 f ( a ) ? f ( ? b ), f ( b ) ? f ( ? a ) ,---------------------4 分 由不等式的性质可知 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) .---------------------5 分 (2)假设 a ? b ? 0 ,则 a ? ? b , b ? ? a ,---------------------6 分 因为 f ( x ) 是 R 上的增函数,所以 f ( a ) ? f ( ? b ), f ( b ) ? f ( ? a ) , 所以 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) ,---------------------8 分 这与已知 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) 矛盾, 所以假设不正确,所以原命题成立。---------------------10 分 20、(1)解:因为函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? 2 ln( 1 ? x ) ,
2

所以 f ? ( x ) ? 2 (1 ? x ) ?

2 1? x

?

2 (1 ? x ) ? 2
2

1? x

?

2 x( x ? 2) 1? x

,---------------------2 分

令 f ? ( x ) ? 0 ,得 ? 2 ? x ? ? 1或 x ? 0 ,又因为 x ? ? 1 ,所以 x ? 0 , 所以函数 f ( x ) 的递增区间为 ( 0 , ?? ) ;令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 2 或 ? 1 ? x ? 0 , 又因为 x ? ? 1 ,所以 ? 1 ? x ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的递减区间为 ( ? 1, 0 ) . 综上可知,函数 f ( x ) 的递增区间为 ( 0 , ?? ) ,递减区间为 ( ? 1, 0 ) ---------------------4 分 (2)因为当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x ) ? m ? 0 恒成立,即 f ( x ) ? m ,
e 1

由(1)可知 f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上递减,在 ( 0 , ?? ) 上递增,

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当x?[
f( 1 e 1 e ? 1) ? (1 ? 1 e
2

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? 1 ) 或 f ( e ? 1) ;---------------------6 分

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? 1, e ? 1 ] 时, f ( x ) 的最大值为 f ( ? 1) ? 2 ln( 1 ?
2

1 e

1

1 2 1 1 ? 1) ? ( ) ? 2 ln( ) ? 2 ? 2 , e e e e
2 2

f ( e ? 1) ? (1 ? e ? 1) ? 2 ln( 1 ? e ? 1) ? ( e ) ? 2 ln( e ) ? e ? 2 ,
1 e 1 e
2

f ( e ? 1) ? f (

? 1) ? e ? 2 ? (
2

? 2) ?

e ? 4e ? 1
4 2

e

2

? 0 ,---------------------9 分

2 所以 m ? e ? 2 时,即使得当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x ) ? m ? 0 恒成立.-------10 分

1 e

21、解: (1)因为函数 f ( x ) ? mx ? 2 nx ? 12 x 的减区间是 ( ? 2 , 2 ) ,
3 2 2 所以 f ? ( x ) ? 3 mx ? 4 nx ? 12 ? 0 的解集为 ( ? 2 , 2 ) ,所以 m ? 1, n ? 0 .---------------------2 分

3 2 (2)由 (1) 可知, f ( x ) ? x ? 12 x , f ? ( x ) ? 3 x ? 12 , A (1, ? 11 ) 在曲线 y ? f ( x ) 在上, A (1, ? 11 ) 点 当

为切点时,切线的斜率 k ? f ? (1) ? ? 9 , ∴切线方程为 y+11=-9(x-1),即 9x+y+2=0;---------------------4 分 当 A (1, ? 11 ) 不为切点时,设切点为 P(x0,f(x0),这时切线的斜率是 k ? f ? ( x 0 ) ? 3 x 0 ? 12 切线 )
2

方程为 y-f(x0)=f'(x0) (x-x0) ,即 y ? 3 ( x 0 ? 4 ) x ? 2 x 0 . 因为过点 A(1,-11) ,所以 ? 11 ? 3 ( x 0 ? 4 ) ? 2 x 0 , 所以 所以 x0=1 或 x 0 ? ?
1 2 1 47 1 1 45 , ) ,所以 k ? f ? ( ? ) ? 3 ? ? 12 ? ? 2 8 2 4 4 45 4 ( x ? 1) ,即 45x+4y-1=0,---------------------6 分
2 3

2

3

,而 x0=1 为 A 点,

即另一个切点为 p ( ?

切线方程为 y ? 11 ? ?

所以,过点 A(1,-11)的切线方程为 9x+y+2=0 或 45x+4y-1=0。 (3)设过点 A (1, t ) ,存在与曲线 y ? f ( x ) 相切的 3 条切线,切点为 P ( x 0 , y 0 ) , 那么 y 0 ? t ? ( x 0 ? 1)( 3 x 0 ? 12 ) ,即 x 0 ? 12 x 0 ? t ? ( x 0 ? 1)( 3 x 0 ? 12 ) ,即 2 x 0 ? 3 x 0 ? 12 ? t ? 0 . 若过点 A (1, t ) 存在与曲线 y ? f ( x ) 相切的 3 条切线,则 2 x 0 ? 3 x 0 ? 12 ? t ? 0 有三个不同的解.设
g ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 12 ? t , 若要使 2 x 0 ? 3 x 0 ? 12 ? t ? 0 有三个不同的解, g ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 12 ? t 的 即
3 2 3 2
3 2 3 2 2 3 2 3 2

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极大值大于 0,极小值小于 0, g ? ( x ) ? 6 x ? 6 ? 6 x ( x ? 1) ,
? ? g 极大值 ( x ) ? g ? ( 0 ) ? 12 ? t ? 0 . g 极小值 ( x ) ? g ? (1) ? 11 ? t ? 0 .

所以 ? 12 ? t ? ? 11 ---------------------10 分
2 22、解: (1) f ? ( x ) ? 3 x ? a , g ? ( x ) ? 2 x ? b ,由题意知 f ? ( x ) ? g ? ( x ) ? 0 在区间 [ ? 1, ?? ) 上恒成立.

因为 a>0,故 3 x ? a ? 0 ,进而 2 x ? b ? 0 ,即 b ? ? 2 x 在区间 [ ? 1, ?? ) 上恒成立,因此 b 的取值范
2

围是 [ 2 , ?? ) .---------------------3 分
a 3

(2)令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? ? ?

,若 b>0,由 a<0 得 0 ? ( a , b ) ,

又因为 f ? ( 0 ) ? g ? ( 0 ) ? ab ? 0 ,所以函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 ( a , b ) 上不是单调一致的, 因此 b ? 0 .---------------------5 分 那么,当 x ? ( ?? , 0 ) 时, g ? ( x ) ? 0 ,当 x ? ( ?? , ? ?
a 3 a 3
a 3 a 3

) 时 f ?( x ) ? 0 ,

因此当 x ? ( ?? , ? ?
1 3

) 时 f ? ( x ) ? g ? ( x ) ? 0 ,故由题设得 a ? ?
1 3 1 3 1 9 1 3

?

且b ? ? ?



从而 ?

? a ? 0 ,于是 ? 1 3

? b ? 0 ,因此 a ? b ?

,且当 a ? ?

1 3 1 3

, b ? 0 时等号成立, , 0 ) 时 f ?( x ) ? g ?( x ) ? 0 . 1 3

又当 a ? ?

2 , b ? 0 时, f ? ( x ) ? g ? ( x ) ? 6 x ( x ?

) ,从而当 x ? ( ?

故函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 ( ?

, 0 ) 上是单调一致,因此 a ? b 的最大值为

.-----------------10 分

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