浙江省温州中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

温州中学 2014 学年第二学期期中考试

高二数学(理科)试题卷

注意事项:

1、本试卷共两部分,满分 100 分。

2、本试卷全部答案需答在答题纸上。选择题部分必须用 2B 铅笔填涂;非选择题部分必须

用黑色签字笔在每题规定的答题区域内答题,答在试卷和草稿纸上的答案无效。 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)

1. 在复平面内,复数 z ? i(1? 2i) 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.计算 21og63 +log64 的结果是( )

A.log62

B.2

C.log63

3.如果 f ( 1 ) ? x ,则当 x ? 0 且 x ? 1时, f (x) ? ( ) x 1? x

A. 1 x

B. 1 x ?1

C. 1 1? x

D. 1 ?1 x

D.3

4.函数 f (x) ? 1 的图象是( ) y1? x y

1
Ox x ? ?1

1

O

x

x ?1

y
1

O

x

y
2
Ox x ? ?1

A.

B.

C.

D.

? ? 5.设集合

A

?

? ?

x

?

x x

?1 ?1

?

0?? ?



B

?

x

x ?1 ? a

,则“ a ? 1”是“ A ? B ? ? ”的(



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

6.已知二次函数 f(x)图象的对称轴是 x=x0,它在区间[a,b]值域为[f(b),f(a)],则(

)

A. x0 ? b

B. x0 ? a

C. x0 ? (a,b) D. x0 ? (a,b)

7.记实数 x1 , x2 ,, xn 中的最大数为 max ?x1, x2 ,…,xn? ,最小数为 min ?x1, x2 ,…,xn? ,则

? ? ? ? max min x ?1,x2 ? x ?1,? x ? 6 ? ( )

A. 3 4

B.1

8.已知函数

f

(x)

?

????l(oxg?5 (21)?2

x) ?2

数不.可.能.为(
A. 5 个


B. 6 个

C.3

D. 7 2

(x ? 1) ,则关于 x 的方程 f (x ? 1 ? 2) ? a 的实根个

(x ? 1)

x

C. 7 个

D. 8 个

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)

9.命题“ ?x ? 0, 都有 sin x ? ?1”的否定:



10.函数 y ? log1 (x2 ? 3x ? 2) 的递增区间是



2

11.设

f

(x)

?

4x 4x ? 2

,若 0

?

a

? 1,则

f

(a) ?

f

(1? a) =



f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ?L ? f ( 2014) =



2015 2015 2015

2015

12. 若 关 于 x 的 方 程 x2 ? ax ?1? a ? 0 在 区 间 [2, ??) 上 有 解 , 则 a 的 取 值 范 围





13.

已知函数

f

(x)

?

(1)x 3

? log2

x ,0 ? a ? b ? c ,f (a) f (b) f (c) ? 0 ,实数 d

是函数

f (x)

的一个零点.给出下列四个判断:

① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立的是
号)

(填序

14.4 个不同的球放入编号为 1,2,3,4 的三个盒子中,每个盒子中球的个数不大于盒子

的编号,则共有

种方法(用数字作答)。

三.解答题(共 44 分)

? ? 15.(10 分) 设集合 A ? {x 1 ? 2?x ? 4} , B ? x (x ? m ?1)(x ? 2m ?1) ? 0 .
32
(1)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集的个数;
(2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围。

16.(10 分)已知 ( 1 ? 2x)n 的二项展开式中前三项的二项式系数和等于 46。 2
(1)求展开式中 x5 项的二.项.式.系.数.; (2)求展开式中系数最大的项。
17.(11 分)已知函数 f(x)= 2 ? x ;(5 分) x ?1
(1)用定义证明:函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 ,使得 f (x0 ) ? 3x0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。
18.(13 分)已知函数 f (x) ? x2 ?1, g(x) ? a x ?1

(1)若关于 x 的方程 f (x) ? g(x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)设 h(x) ? f (x) ? g(x) ? a 2 ,当 x ?[?2, 2] 时,不等式 h(x) ? 0 恒成立,求实数 a 的
取值范围

期中试卷(理) 二.选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
1. 在复平面内,复数 z ? i(1? 2i) 对应的点位于( B )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2.计算 21og63 +log64 的结果是( B )

A.log62

B.2

C.log63

3.如果 f ( 1 ) ? x ,则当 x ? 0 且 x ? 1时, f (x) ? ( B ) x 1? x

D.3

A. 1 x

B. 1 x ?1

C. 1 1? x

D. 1 ?1 x

4.函数 f (x) ? 1 的图象是( C )

1? x

y

y

1
Ox x ? ?1

1

O

x

x ?1

y
1

O

x

y
2
Ox x ? ?1

A.

B.

C.

D.

? ? 5.设集合

A

?

? ?

x

?

x x

?1 ?1

?

0?? ?



B

?

x

x ?1 ? a

,则“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的( A)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

6.已知二次函数 f(x)图象的对称轴是 x=x0,它在区间[a,b]值域为[f(b),f(a)],则( D )

A. x0 ? b

B. x0 ? a

C. x0 ? (a,b) D. x0 ? (a,b)

7.记实数 x1 , x2 ,, xn 中的最大数为 max ?x1, x2 ,…,xn? ,最小数为 min ?x1, x2 ,…,xn? ,则

? ? ? ? max min x ?1,x2 ? x ?1,? x ? 6 ? ( D )

A. 3 4

B.1

8.已知函数

f

(x)

?

????l(oxg?5 (21)?2

x) ?2

数不.可.能.为(
(A) 5 个


(B) 6 个

C.3

D. 7 2

(x ? 1) ,则关于 x 的方程 f (x ? 1 ? 2) ? a 的实根个

(x ? 1)

x

(C) 7 个

(D)8 个

解析:因为 f(x)=1 时,x=1 或 x=3 或 x= 4 或 x=-4,则当 a=1 时 x ? 1 ? 2 ? 4 或 1 或 3 或

5

x5

-4,又因为 x ? 1 ? 2 ? 0或x ? 1 ? 2 ? -4 ,则当 x ? 1 ? 2=-4 时只有一个

x

x

x

x=-2 与之对应其它情况都有两个 x 值与之对应,所以此时所求方程有 7 个根,当 1<a<2 时因为函数 f(x)与 y=a 有 4 个交点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 8 个解,当 a=2 时函数 f(x)与 y=a 有 3 个交点,每个交点对应两个 x,则此时所求方程有 6 个解,所以 B,C,D 都有可能,则选 A.

二.填空题本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
9.命题“ ?x ? 0, 都有 sin x ? ?1”的否定: ?x ? 0, 使得 sin x ? ?1 .

10.函数 y ? log1 (x2 ? 3x ? 2) 的递增区间是
2

(??,1)

11.



f

(x)

?

4x 4x ?

2

, 若 0? a ?1 , 则

f (a) ? f (1? a) =

1



f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ?L ? f ( 2014) = 1007

2015 2015 2015

2015

12. 若关于 x 的方程 x2 ? ax ?1? a ? 0 在区间[2, ??) 上有解,则 a 的取值范围是 a ? 5 3

13.

已知函数

f (x)

? (1)x 3

? log2

x ,0 ? a ? b ? c ,f (a) f (b) f (c) ? 0 ,实数 d

是函数

f (x)

的一个零点.给出下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立

的是__①____②_③______(填序号)

14.4 个不同的球放入编号为 1,2,3,4 的三个盒子中,每个盒子中球的个数不大于盒子

的编号,则共有

种方法(用数字作答)。

解:(1)三个盒子都放 A44 ? 24

(2)放三个盒子 C42C31A32 ? 108

(3)

放二个盒子 C42 A22

A32 + C43C21C31 =42

(4) 放一个盒子 1 种

所以共有 24+108+42+1=175

三解答题(共 44 分)

? ? 15.(10 分) 设集合 A ? {x 1 ? 2?x ? 4} , B ? x (x ? m ?1)(x ? 2m ?1) ? 0 .
32

(1)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集的个数;
(2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.
? ? 解:化简集合 A= x ? 2 ? x ? 5 ,集合 B ? ?x (x ? m ?1)(x ? 2m ?1) ? 0? .

(1)? x ? Z ,? A ? ?? 2,?1,0,1,2,3,4,5?,即 A 中含有 8 个元素,?A 的非空真子集数

为 28 ? 2 ? 254 个. (4 分)
(2)①m= -2 时, B ? ? ? A ;
②当 m<-2 时,?2m ?1? ? ?m ?1? ? 2 ? m ? 0 ,所以 B= ?2m ?1, m ?1? ,因此,要 B ? A ,

则只要

?2m

? ?

m

?1 ?1

? ?

?2 5

?

?

3 2

?

m

?

6

,所以

m

的值不存在;

③ 当 m> - 2 时 , B= ( m-1,2m+1 ) , 因 此 , 要 B ? A , 则 只 要

?m ?1 ? ?2 ??2m ? 1 ? 5 ? ?1 ? m ? 2 .

综上所述,知 m 的取值范围是:m=-2 或 ?1 ? m ? 2. (6 分)

16.(10 分)已知 ( 1 ? 2x)n 的二项展开式中前三项的二项式系数和等于 46。 2
(1)求展开式中 x5 项的二.项.式.系.数.。(2)求展开式中系数最大的项。

【解】由

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

=46,可得 n

=9,

(1)x5 项的二项式系数为 C95 ? 126 (4 分)

(2)设Tk?1 顶的系数最大。

? ? ∵ ??
?

1 2

?

2x ??9 ?

?

?? 1 ??9 ?2?

1?

4x

9

,∴

??C9k ???C9k

4k 4k

?

C

k 9

?1

4

k

?1

,∴ 7

?

k

?

8

?

C k ?1 9

4 k ?1

即 k =7 或 8,

故展开式中系数最大的项为

T8



T9 ,

T8

?

?? ?

1 2

9
? ? ?

?

C97

?

47

?

x7

? 1152x7



T9

?

?? 1 ??9 ?2?

? C98

? 48

? x8

? 1152x8

(6

分)

17.(11 分)已知函数 f(x)= 2 ? x ; x ?1

(1)用定义证明:函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数;

(2)是否存在负数 x0 ,使得 f (x0 ) ? 3x0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。

解:(1)任取 x1, x2 ? (?1, ??) ,且 x1 ? x2

∴函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数 (5 分)

(2)不存在

假设存在负数 ,使得

成立,则





矛盾,

所以不存在负数 ,使得

成立。 (11 分)

另解:

,由

得:





,所

以不存在。
18.(13 分)已知函数 f (x) ? x2 ?1, g(x) ? a x ?1 (1)若关于 x 的方程 f (x) ? g(x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)设 h(x) ? f (x) ? g(x) ? a2 ,当 x ?[?2, 2] 时,不等式 h(x) ? 0 恒成立,求实数 a
的取值范围
解:(1) x2 ?1 ? a x ?1 即 x ?1 ? 0或 x ?1 ? a ……2 分

?当 a ? 0 时,只有一实数解………4 分

?x2 ? ax ? a2 ? a ?1 1 ? x ? 2

(2)

h(x)

?|

x2

?1|

?a

|

x

?1|

?a2

?

? ??

x

2

?

ax

?

a2

?

a

?1

?1 ? x ? 1 (6 分)

? ?

x2

?

ax

?

a2

?

a

?1

?2 ? x ? ?1

(1)只需 h1(x) ? x2 ? ax ? a2 ? a ?1 ? 0 在 x ?[1,2]恒成立

?h ??h

1 1

(1) ? 0 (2) ? 0

?

a

?

1?

2

13



a

?

1-

13 2

(8

分)

(2) ? x 2 ? ax ? a 2 ? a ? 1 ? 0 恒成立,即 x2 ? ax ? a2 ? a ?1 ? 0

即 h2 (x) ? x2 ? ax ? a2 ? a ?1 ? 0 在 x ? (-1,1) 恒成立
分三种情况

(I)

??? ?

a 2

?

1

??h2 (1) ?

0

?

?a ??a

? ?2 2 ?0

?

a

?

?2

(ii)

??? a ? ?1 ?2 ??h2 (?1) ?

0

?

?a ? ?a

?2 2 ? 2a

?

0

?

a

?

2

(iii)

????1 ? ? ???h2 (?

?
a 2

a ?1 2 )?0

?

-2

?

a

?

-

2 3

可得 a ? 2或a ? - 2 (10 分) 3

(3) h3(x) ? x2 ? ax ? a2 ? a ?1 ? 0 在 ?2 ? x ? ?1 恒成立

???hh33((--12))??00

?

??a 2

? ??a

2

? 3a ?0

?

3

?

0

?

a

?

3

?

2

21



a

?

3-

21 2

(12

分)

? ?a ?

?

1

?

2

13

或a

?

1

-

13 2

综上

??a ?

?

2或a

?

-

2 3

? a ? 3 ? 21 或a ? 1 - 13 (13 分)

2

2

? ?a ?

?

3

? 2

21

或a

?

3

-

2

21


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