高考数学总复习 第四章 第1课时 平面向量的概念及其线性运算课时闯关(含解析) 新人教版

2013 年高考数学总复习 第四章 第 1 课时 平面向量的概念及其 线性运算课时闯关(含解析) 新人教版
一、选择题 1.下列结论中,不正确的是( ) → → → → A.向量AB,CD共线与向量AB∥CD同义 → → → → B.若向量AB∥CD,则向量AB与DC共线 → → → → C.若向量AB=CD,则向量BA=DC D.只要向量 a,b 满足|a|=|b|,就有 a=b 解析:选 D.根据平行向量(或共线向量)定义知 A、B 均正确;根据向量相等的概念知 C 正确,D 不正确. → → → → → 2.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=( ) 1 1 1 1 A.- a+ b B.- a+ b 4 4 2 2 1 3 3 C.a+ b D.- a+ b 2 4 4 1 → → → → → → 3 解析:选 A.由AN=3NC,得 4AN=3AC=3(a+b),又AM=a+ b,所以MN= (a+b)-(a 2 4 1 1 1 + b)=- a+ b. 2 4 4 3.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点,若 → → → AO=λ AB+μ BC,则 λ +μ =( ) 1 A.1 B. 2 1 2 C. D. 3 3 1 1 → → → → 1→ → → 1→ → 1→ 1→ 解析: 选 D.AD=AB+BD=AB+ BC, 2AO=AB+ BC, 即AO= AB+ BC.故 λ +μ = + = 3 3 2 6 2 6 2 .故选 D. 3 → → → 3OA-OB 4. 已知点 O、 A、 B 不在同一条直线上, 点 P 为该平面上一点, 且OP= , 则( ) 2 A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → → 3OA-OB 解析:选 B.由OP= , 2 → → → 得 2OP=3OA-OB, → → → → 即 2(OP-OA)=OA-OB, → → → 即 2AP=BA=-AB, 1→ → 即AP=- AB, 2 ∴点 P 在线段 AB 的反向延长线上.

→ → → → 5.(2012·潍坊调研)在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与 △ABC 的面积之比是( ) 1 1 A. B. 3 2 2 3 C. D. 3 4 → → → → 解析:选 A.∵PA+PB+PC=AB, → → → → ∴PC=AB-PB-PA → → → =BP-BA-PA → → → → =AP-PA=AP+AP → =2AP, ∴A、P、C 共线且 P 为 AC 的三等分点, S△PAB AP 1 ∴ = = . S△ABC AC 3 二、填空题 6.设 e1,e2 是不共线向量,e1-4e2 与 ke1+e2 共线,则实数 k 的值为________. 解析:由题意 e1-4e2=λ (ke1+e2)=kλ e1+λ e2, ? ?kλ =1, 1 ∴? ∴k=- . 4 ?λ =-4. ? 1 答案:- 4 → → → → → 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,则△ABC 的 形状为__________. → → → → → → → → → 解析:OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → OB-OC=CB=AB-AC, → → → → ∴|AB+AC|=|AB-AC|, 故 A、B、C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案:直角三角形 8.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a,b 共线的条件是 __________. ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e ②存在相异实数 λ 、μ ,使 λ a+μ b=0 ③xa+yb → → =0(实数 x,y 满足 x+y=0) ④已知梯形 ABCD 中,AB=a,CD=b 解析:由①得 10a-b=0,故①对; 由②得 λ a=-μ b,λ =0 时,b=0 成立, μ λ ≠0 时,a=- b 成立,故②对; λ 对于③,当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③不对; → → → → 对于④,若 AB∥CD,则AB与CD共线,若 AD∥BC,则AB与CD不共线,故④不对,因此① ②正确. 答案:①②

三、解答题

9.如图所示,D、E 分别是△ABC 中,AB、AC 边的中点,M、N 分别是 DE、BC 的中点, → → → → → 已知BC=a,BD=b,试用 a、b 分别表示DE、CE和MN. 解:由三角形中位线定理知 1 DE BC. 2 → 1→ → 1 故DE= BC,即DE= a. 2 2 → → → → CE=CB+BD+DE 1 1 =-a+b+ a=- a+b. 2 2 → → → → MN=MD+DB+BN 1→ → 1→ = ED+DB+ BC 2 2 1 1 1 =- a-b+ a= a-b. 4 2 4 → → 10.设 i、j 分别是平面直角坐标系 Ox、Oy 正方向上的单位向量,且OA=-2i+mj,OB → =ni+j,OC=5i-j,若点 A、B、C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m、n 的值. → → → 解:AB=OB-OA=(n+2)i+(1-m)j, → → → BC=OC-OB=(5-n)i+(-2)j. → → ∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴AB∥BC, → → 即AB=λ BC, ∴(n+2)i+(1-m)j=λ [(5-n)i+(-2)j],

n+2=λ -n ? ? ∴?1-m=-2λ ? ?m=2n

?m=6 ? ,解得? ? ?n=3

m=3 ? ? 或? 3 n= ? ? 2

.

1 11.(探究选做)如图,在△ABC 中,在 AC 上取点 N,使得 AN= AC,在 AB 上取点 M,使 3 1 1 得 AM= AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使得 MQ= 3 2 → → λ CM 时,AP=QA,试确定 λ 的值. 1→ → → → 1 → → 解:∵AP=NP-NA= (BN+NC)= BC, 2 2



QA=MA-MQ= BM+λ MC,
→ → 又∵AP=QA, 1→ → 1→ ∴ BM+λ MC= BC, 2 2 1 1→ → → → 即 λ MC= (BC-BM)= MC. 2 2 1 ∴λ = . 2

→ →

1→ 2




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