必修四三角函数、三角恒等变形与解三角形练习测试题(已排版,可直接打印)(教师卷)

新余市奥林教育中心《三角函数、三角恒等变形与解三角形》测试题

A组
(1) 若角 ? 的终边过点 P(a,3a)(a ? 0) ,则 sin ? 的值为( ) (A) (2)

3 10 10

(B)

10 10

(C) ?

3 10 10

(D) ?

10 10

y ? 1 ? cos x ( x ??0,2? ? ) 的图象与直线 y ?
(A)0 (B)1 (C)2

3 的交点的个数为( ) 2
(D)3

a (3)在△ ABC 中, A ? 60?, b ? 1, S ? ABC ? 3 ,则 的值为( ) sin A 8 3 26 3 2 39 (A) (B) (C) (D) 2 7 81 3 3
(4)化简 1 ? sin 20? 的结果是( ) (A) cos10? (B) cos10? ? sin10? (C) sin10? ? cos10? (D) ?(cos10 ? ? sin10 ?) (5)在△ ABC 中,若 a ? 18, b ? 24, A ? 44? ,则此三角形解的情况为( ) (A)无解 (B)两解 (C)一解 (D)解的个数不能确定 (6)若 sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为( ) (A) 1 ? m2 (B) ? 1 ? m2 (C)

m2 ? 1

(D) ? m2 ? 1

(7)有以下四种变换方式:

1 ; 4 2 ? 1 ② 向右平行移动 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 ; 8 2 1 ? ③ 每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平行移动 个单位长度; 2 8 1 ? ④ 每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向左平行移动 个单位长度. 2 8
① 向左平行移动 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的

?

?? ? 其中能将函数 y ? sin x 的图象变为函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象的是( ) 4? ?
(A)①和④ (B)①和③ (C)②和④ (D)②和③ ABC 中,若 (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? 3bc ,则 A =( ) (8)在△ (A) 150? (B) 120? (C) 60? (D) 30?

7sin ? ? 3cos? 1 的值为 . 4sin ? ? 5cos? 3 (10)函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ?? ? ? ? 0,? ? 0) 在一个周期的区间上的图象如图, 则 A= ,? = ,? = .
(9)已知 tan ? ? ? ,则 11)已知 tan ? ? 2 , tan ? ? ? ,其中 0 ? ? ? (1)求 tan(? ? ? ) ; (2)求 ? ? ? 的值.

1 3

? ?

, ? ? ?? . 2 2

sin 2 x ? 2sin 2 x 7? ?? ? 3 17? ?x? (12)已知 cos ? ? x ? ? , ,求 的值. 1 ? tan x 4 ?4 ? 5 12

(13)一个单摆如图所示,小球偏离铅垂方向的角为 ? (rad), ? 作为时间 t

的函数,满足关系

1 ? ?? ? (t ) ? sin ? 2t ? ? . 2 ? 2?
求:(1)最初时 (t ? 0)? 的值是多少? (2)单摆摆动的频率是多少? (3)经过多长时间单摆完成 5 次完整摆动?

(14) 已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ? ?? (2)画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的图象. ? 2 2?

?? ?? ? ? (15) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos x ? a 的最大值为 1. 6? 6? ? ?
(1)求常数 a 的值;(2)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合.

B组
13? ? ? 15? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 7 7 ? ? ? ? ? ? m ,则 = ? 22? ? ? 20? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ? 3 3 (17) 观 察 以 下 各 等 式 : sin 2 30? ? cos2 60? ? sin30? cos 60? ? , sin 2 20? ? cos2 50? ? sin 20? cos50? ? , 4 4 3 …, . sin 2 15? ? cos2 45? ? sin15? cos45? ? , 归纳得到 4
8? ? (16) 设 tan ? ? ? 7 ?
(18)已知 ? 为第二象限的角,化简: cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

(19)已知 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ?

1 2

1 ; 3

(1)求证: sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? ; (2)求证: tan ? ? 5tan ? .

(20) 如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距离为 0.8m, 60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针转动 ? 角到 OB .设 B 点 与地面距离为 h .(1)求 h 与 ? 的函数解析式;(2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB ,求 h 与 t 的函数解析式;(3)填写下列表格:

? h(m)
t (s) h(m)

0?

30?

60?

90?

120?

150?

180?

0

5

10

15

20

25

30

(21) 一次机器人足球比赛中, 甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速直线运动, 到达点 B 时, 发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示,已知

AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAC ? 45? .若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该
机器人最快可在何处截住足球?

参考答案或提示: (四)三角函数、三角恒等变形与解三角形 A 组 (1)C (2)C 提示:作出 y ? 1 ? cos x ( x ??0,2? ? ) 的图象,直线 y ? (4)B

3 ,数形结合 2

提示: 1 ? sin 20? ? sin 2 10? ? cos2 10? ? 2sin10? cos10? ? (sin10? ? cos10?) 2 ? sin10? ? cos10? , ∵ sin10? ? sin 80? ? cos10? ,∴ 1 ? sin 20? ? cos10? ? sin10? 。

(5)B

提示:∵ b sin A ? b sin 44? ? b sin 45? ? 24 ?

2 ? 12 2 ? 18 ? 24 , 2

∴ b sin A ? a ? b ,∴此三角形有两解 (6)B 提示: sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? ? sin ? ? m , ∴ sin ? ? ?m ,∵ ? 为第三象限角,∴ cos ? ? 0 ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? m2 (7)A (8)C 提示:∵ (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? (b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? a2 ? 3bc , ∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,∴ cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? ? ,又 0? ? A ? 180? ,∴ A ? 60? 2bc 2bc 2

7sin ? ? 3cos ? 7sin ? ? 3cos ? 7 tan ? ? 3 16 cos ? ? ? ?? (9)提示: 4sin ? ? 5cos ? 4 tan ? ? 5 4sin ? ? 5cos ? 11 cos ?
(10) A ? 5, ? ?

?

3 ,? ? ? ? . 8 4

1 2? tan ? ? tan ? 1 3 ?7. ? (11)解 (1)∵ tan ? ? 2 , tan ? ? ? ,∴ tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 3 3 1 2? tan ? ? tan ? 3 ? 1 ,又∵ 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ∵ tan(? ? ? ) ? 2 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 2 3


?
2

?? ? ? ?

3? ? 3? 5? 5? ,在 与 之间,只有 的正切值等于 1,∴ ? ? ? ? . 2 2 2 4 4

? ? 3 ?? ? 3 (12)解 法一 ∵ cos ? ? x ? ? ,∴ cos cos x ? sin sin x ? , 4 4 5 ?4 ? 5
即 cos x ? sin x ?

3 2 ……① 5 7 ……③, 25

又有 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ……②,∴②-①2 得 2sin x cos x ?

17? 7? ,∴ sin x ? 0,cos x ? 0 , ?x? 12 4 7 2 2 ,cos x ? ? ∴联立①③ sin x ? ? ,∴ tan x ? 7 10 10
又∵

? 7 2? ? 7 2? 2 2??? ? 2? ? ??? ? 10 sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x ? 10 ? ? 10 ? ? ? 28 ? ? ∴ sin x 1 ? tan x 1? 7 75 1? cos x
法二 ∵ cos2(

2

?

? 7 ? 7 ? x) ? 2cos2 ( ? x) ? 1 ? ? ,∴ cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x ? ? , 4 4 25 2 25
7 17? 7? 1 ? 7 ?7 x 2 , 又 ∵ , ∴ , ∴ c o s? ? ?x? ? 2x ? 25 12 4 6 6
7 ?1 2 ( 2 5 2 4 ?) ? , ∴ 2 5

即 sin 2 x ?

7 49 ? 2sin 2 x sin 2 x ? 2sin 2 x 49 25 25 ? ? 28 tan x ? ? 7 ,∴ ?? 2sin x ? 1 ? cos2 x ? ,又 sin 2 x 1 ? tan x 1? 7 75 25 1 1 (3)C 提示:∵ S? ABC ? bc sin A ,∴ ?1? c ? sin 60? ? 3 ,∴ c ? 4 2 2
2

又 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ? cos60? ? 13 ,∴ a ? 13 ,



a 13 13 2 39 ? ? ? sin A sin 60? 3 3 2

1 ? ?? 1 ? 1 1 ? 2 1 (13)提示:(1) ? (0) ? sin ? 2 ? 0 ? ? ? sin ? ;(2) f ? ? ? ? ; 2 ? 2? 2 2 2 T 2? 2? ?
(3) t ? 5T ? 5? . (14)解 (1)

f ( x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2 ?
∴T ?

1 ? cos2x ? ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? cos2x ? 1 ? 2 sin(2x ? ) 2 4

2? ?? 2
y
1+ 2

? - 8 ? - 2

1

O
1- 2

? 8

3? 8

? 2

x

(2)五点法作图(略)

(15)解 (1) f ( x) ? (sin x cos

?

? cos x sin ) ? (sin x cos ? cos x sin ) ? cos x ? a 6 6 6 6

?

?

?

? 3sin x ? cos x ? a

? 2sin( x ? ) ? a 6
∴ f ( x)max ? 2 ? a ? 1 ,∴ a ? ?1

?

? 1 ) ? 1 ? 0 ,∴ sin( x ? ) ? , 6 6 6 2 2? ? ? 5? ∴ 2k? ? ? x ? ? 2k? ? , k ?Z ,解得 2k? ? x ? 2k? ? , k ?Z , 3 6 6 6
(2)∵ f ( x) ? 2sin( x ? ) ?1 ,∴ 2sin( x ?

?

?

? ? 2? ∴使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合为 ? x 2k? ? x ? 2k? ? , k ? Z? 3 ? ?
B组

8? ? (16)提示: tan ? ? ? 7 ?

?? ? ? ? ? m ? tan ? ? ? ? ? m , 7? ? ?

13? ? ?? ? 15? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 m ? 3 7 7 ? 7? ? ? 原式= ? = ? ? 22? ? ?? m ?1 ? 20? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 1 7 ? 7? ? 7 ? ? ?
(17)提示:

sin 2 (? ? 15?) ? cos2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) ?

3 或 4

3 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? ,其中 ? ? ? ? 30? ,等等。 4
略证:

sin 2 (? ? 15?) ? cos 2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) 1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? ? ? {sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)] ? sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)]} 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? cos(2? ? 30?) ? ? cos(2? ? 30?) ? [sin 2? ? sin(?30?)] 2 2 2 2 2 (18) 解:∵ ? 1 1 1 1 ? 1 ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? sin 2? ? sin 30? 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 ?1? sin 2? ? cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 4 4 4 4 2 4 3 ? 4
为第二象限的角,∴ sin ? ? 0,cos ? ? 0 , ∵

(1 ? sin ? )2 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 , ? ? ? ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) cos ? ? cos ? cos2 ?

(1 ? cos? )2 1 ? cos? 1 ? cos ? 1 ? cos? (1 ? cos ? )2 , ? ? ? ? 1 ? cos? (1 ? cos? )(1 ? cos? ) sin ? sin ? sin 2 ?
∴ cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? sin ?

(19)证明 (1)∵ sin(? ? ? ) ?

1 1 ,,∴ sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ……① 2 2 1 1 ∵ sin(? ? ? ) ? ,∴ sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ……② 3 3 5 1 联立①②解得 sin ? cos ? ? ,cos? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? ,得证 12 12 sin ? sin ? ?5 (2)由 sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? 得 ,∴ tan ? ? 5tan ? ,得证 cos ? cos ?

(20)解 (1) ∵ h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) , ∴ h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0)

2? ? (2)∵ ? ? ? , ? ? ?t , 60 30
∴? ?

C

?
30

t ,∴ h ? 5.6 ? 4.8cos

?
30

t (t ? 0)

(3) ? h(m)

0?
0.8

30?
1.44

60?
3.2

90?
5.6

120?
8

150?
9.77

180?
10.4

t (s) h(m)

0 0.8

5 1.44

10 3.2

15 5.6

20 8

25 9.77

30 10.4

(21) 解 设该机器人最快可在点 C 处截住足球,点 C 在线段 AD 上,设 BC ? xdm , 由题意, CD ? 2 xdm . AC ? AD ? CD ? (17 ? 2 x)(dm) .在△ ABC 中,由余弦定理, 得

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB?AC cos A





x2 ? (
A ? 17 ?2 x ?7(dm) C

4

2

?

x 2

?

2 .解得 x1 ? 5(dm),? 2 x ( (dm) .∴ ? 1 ) x ?

37 3

7 ?

23 (dm) (不合题意,舍去). 3 答 该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球.
,或 AC ? ?


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