第三章 不等式 章末检测(人教B版必修5) (1)

第三章

章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.原点和点(1,1)在直线 x+y=a 两侧,则 a 的取值范围是( ) A.a<0 或 a>2 B.0<a<2 C.a=0 或 a=2 D.0≤a≤2 2.如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( ) A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2 1 1 3.不等式 < 的解集是( ) x 2 A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 4.设 0<a<1<b,则一定有( ) A.loga b+logb a≥2 B.loga b+logb a≥-2 C.loga b+logb a≤-2 D.loga b+logb a>2 5.在 R 上定义运算 D○×:xD○×y=x(1-y),若不等式(x-a)D○×(x+a)<1 对任意 实数 x 成立,则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 1 3 3 1 C.- <a< D.- <a< 2 2 2 2 6.如果 a>b,则下列不等式成立的个数为( ) 1 1 a 3 3 2 2 a b ① < ;②a >b ;③ a > b ;④2 >2 ;⑤ >1; a b b 1 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ⑥? ?2?ac <?2?bc ;⑦lg(a +1)>lg(b +1); ⑧若 a>b 且 c>d,则 lg(a-d)>lg(b-c). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 x+2y-5≤0, ? ?2x+y-4≤0, 7.若实数 x,y 满足条件? x≥0, ? ?y≥1, 5 2 C.zmax=2 A.zmax= B.zmax=-1 D.zmin=0

目标函数 z=2x-y,则(

)

a+b 1 1 8.下列不等式:①a2+1>2a;②|x+ |≥2;③ ≤2 (a,b 为正实数); ④x2+ 2 ≥1. x x +1 ab 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 1 9.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为( ) x y 3 1 A.2 B. C.1 D. 2 2

10.若正数 a,b 满足 ab-(a+b)=1,则 a+b 的最小值为( ) A.2+2 2 B.2 2-2 C. 5+2 D. 5-2 2 ? x - x - 2>0 ? 11.若不等式组? 2 的整数解只有-2,则 k 的取值范围是( ?2x +?5+2k?x+5k<0 ? A.-3≤k<2 B.-3<k<2 C.k<-2 D.k≥-3 2ab 12.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 的最大值为( ) |a|+2|b| 2 5 2 5 2 A. B. C. D. 15 4 5 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) x-1 13.不等式 2 >0 的解集是________. x -x-30 x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 14.已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≤0

)

y 则 的最大值为________. x

15.函数 f(x)=(2-a2)x+a 在区间[0,1]上恒为正,则实数 a 的取值范围是________. 16.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 v 千米,为了安全,两列货车的间距不得小于?20?2 千米,那么这批货物全部运到 B 市,最快 ? ? 需要________小时. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)设 a、b∈R,解关于 x 的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.

18.(12 分)若 x<y<0,试比较代数式:(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.

19.(12 分)解不等式: log 1 (3x2-2x-5)≤ log 1 (4x2+x-5).
2 2

20.(12 分)已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范 围.

21.(12 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方 形的休闲区 A1B1C1D1 和环公园人行道(阴影部分)组成. 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比

A 1B 1 =x,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解 B1C1

析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?

22. (12 分)某营养学家指出, 成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物, 0.06 kg 的蛋白质,0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物,0.07 kg 蛋白质, 0.14 kg 脂肪, 花费 28 元. 而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物, 0.14 kg 蛋白质, 0.07 kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食 用食物 A 和食物 B 多少千克?

第三章
1.B 2.B 3.D

章末检测

2-x x-2 1 1 1 1 [ < ? - <0? <0? >0?x<0 或 x>2.] x 2 x 2 2x 2x 4.C [∵0<a<1<b,∴loga b<0,logb a<0, 且 loga b· logb a=1,∴loga b+logb a≤-2.] 5.C [(x-a)D○×(x+a)=(x-a)(1-x-a)<1 ?-x2+x+(a2-a-1)<0 恒成立 1 3 ?Δ=1+4(a2-a-1)<0?- <a< .] 2 2 6.C [其中只有②和④是正确的.] 3 ? 7.C [如图,当 z=2x-y 过 A? ?2,1?时,

3 zmax=2× -1=2.] 2

8.C [a2+1-2a=(a-1)2≥0,即 a2+1≥2a,①不正确. 1 ?x+1?=|x|+ 1 ≥2 |x|· =2,②正确. ? x? |x| |x| a+b 因为 a,b 为正实数,所以 a+b≥2 ab? ≥2,③不正确. ab 1 1 x2+ 2 =x2+1+ 2 -1 x +1 x +1 1 ≥2 ?x2+1?·2 -1≥1,④正确.] x +1 9.C [因为 a>1,b>1,ax=by=3,a+b=2 3, 所以 x=loga3,y=logb3. a+b?2 1 1 1 1 ?2 3?2 + = + =log3a+log3b=log3ab≤log3? x y loga3 logb3 ? 2 ? =log3? 2 ? =1,当且仅当 a= b 时,等号成立.] ?a+b?2 10.A [∵a+b=ab-1≤ - 1, 4 2 ∴(a+b) -4(a+b)-4≥0, 又∵a、b 均为正数, ∴a+b≥2+2 2.] 11.A [x2-x-2>0?x<-1 或 x>2. 2x2+(5+2k)x+5k<0?(2x+5)(x+k)<0. 在数轴上考察它们的交集可得-3≤k<2.] 12.B [由题意知 a2=(1+2b)(1-2b), 1 ∴a2+4b2=1≥2 4a2b2=4|ab|,∴|ab|≤ , 4 2ab 2|ab| 2|ab| ∴ ≤ ≤ |a|+|2b| |a|+2|b| 2 2|ab| 2 2 = |ab|≤ .当且仅当|a|=2|b|时取等号.] 2 4 13.{x|-5<x<1 或 x>6} 14.

[0,1] 解析 画出不等式组 x+2y-5≤0, ? ?x≥1, ?y≥0, ? ?x+2y-3≤0

y y-0 对应的平面区域, = 表示平面区域上的点 P(x,y)与原点的连线的斜率.A(1,1), x x-0 B(3,0), y ∴0≤ ≤1. x 15.(0,2) 解析 当 2-a2=0,得 a=± 2.由题意知 a= 2时符合题意.当 2-a2≠0 时,f(x)是一 次函数,在[0,1]上也是单调的, ?f?0?>0 ?a>0 ? ? ∴? 即? 2 解得:0<a<2, ?f?1?>0 ?-a +a+2>0 ? ? 综上可知 0<a<2. 16.8 v 400+16×?20?2 ? ? 400 16v 解析 这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t,则 t= = v + v 400 400 16v 400 16v ≥2 v ×400=8(小时),当且仅当 v =400,即 v=100 时等号成立,此时 t=8 小 时. 17.解 原不等式?(a2-b2)x+b2 ≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2 ?(a-b)2x≥(a-b)2x2?(a-b)2(x2-x)≤0 当 a=b 时,x∈R,当 a≠b 时,(a-b)2>0, ∴x2-x≤0,∴0≤x≤1. 综上所述,当 a=b 时,不等式的解集为 R; 当 a≠b 时,不等式的解集为{x|0≤x≤1}. 18.解 ∵(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=(x-y)· (-2xy) ∵x<y,∴x-y<0. ∵x<0,y<0,∴-2xy<0. ∴(x-y)· (-2xy)>0. 2 2 ∴(x +y )(x-y)>(x2-y2)(x+y). 2 2 ? ?3x -2x-5≥4x +x-5 19.解 原不等式等价于? 2 ?4x +x-5>0 ? x +3x≤0 ? ? ?? 5 x<- 或x>1 ? 4 ? -3≤x≤0 ? ? ?? 5 ?x<-4或x>1 ? 5 ?-3≤x<- 4 5? ? 故原不等式的解集为?x|-3≤x<-4?.
? ?
2

20.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a, ①当 a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)= 2a+3,要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得 a≥-3,又 a<-1, ∴-3≤a<-1. ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-2≤a≤1.

又 a≥-1,∴-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为-3≤a≤1. 方法二 由已知得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立, ?Δ>0 令 g(x)=x2-2ax+2-a,即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a≤-1

?

? ?g?-1?≥0

,解得-3≤a≤1.

20 10 (1)设休闲区的宽 B1C1 为 a 米, 则其长 A1B1 为 ax 米, ∴a2x=4 000?a= , x ∴S=(a+8)(ax+20) =a2x+(8x+20)a+160 20 10 =4 000+(8x+20)· +160 x 5 =80 10?2 x+ ?+4 160(x>1). x? ? 5 (2)S≥1 600+4 160=5 760(当且仅当 2 x= ?x=2.5), 即当 x=2.5 时, 公园所占面积 x 最小.此时 a=40,ax=100,即休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米,宽为 40 米. 22.解 据已知数据列出下表: 食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 设每天食用 x kg 食物 A,y kg 食物 B,总成本为 z. 21. 解 0.105x+0.105y≥0.075 ? ?0.07x+0.14y≥0.06 那么? 0.14x+0.07y≥0.06 ? ?x≥0,y≥0 目标函数为 z=28x+21y 7x+7y≥5 ? ?7x+14y≥6 二元一次不等式组①等价于? 14x+7y≥6 ? ?x≥0,y≥0





作出二元一次不等式组②表示的平面区域,如图即可行域.

4 z 由 z=28x+21y,它可以变为 y=- x+ 由图中可行域可以看出,当直线 28x+21y=z 3 21 z 经过点 B 时,截距 最小,此时 z 亦最小. 21

? ?7x+7y=5 解方程组? ?14x+7y=6 ?

?x=7, 得? 4 ?y=7,
1 4? ∴B 点的坐标为? ?7,7?. 1 4 ∴zmin=28× +21× =16. 7 7 1 4 由此可以知,每天食用食物 A 约 kg,食用食物 B 约 kg,可使花费最少为 16 元. 7 7

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