浙江省金华十校08-09学年高二数学下学期期末考试(文).doc

金华十校 2008~2009 学年度第二学期期末考试试卷 高二数学(文科)试题卷
注意事项: 1. 考试时间为 2 小时,试卷总分为 150 分 2. 全卷分“试卷”和“答卷”各一张,本卷答案必须做在答题卷的指定位置上。 3. 答题前请在“答卷”的密封线内填写学校、班级、学号、姓名。 一、选择题:本大题有 20 小题,每小题 5 分,满分共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1. 直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.150° B.120° C.60° D.30°

2 2.如果质点 A 按规律 s ? 3t 运动,则在 t ? 2 时的瞬时速度是

A.4 B.6 C.12 3.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则 A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 4.三是图如右图的几何体是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 5.已知 a, ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确 的是 ... A.若 m // a, a ? ? ? n, 则 m // n C.若 m ? a, m ? ? , 则 a // ?

D.24

B.若 m // n, m ? a, 则 n ? a D.若 m ? a, m ? ? , 则 a ? ?

6.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

7.已知向量 a,b 命题 P :| a |?| b |, 命题 Q : a ? b ,则命题 P 成立是命题 Q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.即不充分又不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 8.椭圆 m 4
A.5 或 3
3

B.8

C.5

D. 5 或 3

9.函数 f ( x) ? x ? ax ? 1在区间(2,+ ? )内是增函数,则实数 a 的取值范围是

C. a ? 12 ??? ? ??? ? ??? ? 10.已知 ? ABC,若对任意 t ? R , | BA ? tBC |?| AC | ,则 A. ?A ? 90 ° C. ?B ? 90 ° C. ?C ? 90 ° D. ?A ? ?B ? ?C ? 60 ° 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分共 28 分 11.抛物线 y 2 ? 4 x 的准方程为 ; ;

A. a ? 12

B. a ? 12

D. a ? 12

12.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ? p 是

13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 2, 2,3,则此球的表面积为 ; 14.曲线 C : y ? ln x ? 4 x 在店 P(1, ?4) 处的切线方程是 ;

15.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点为 F,O 是坐标原点,点 P 在椭圆上,且 | PF |? 4 , 25 16


M 是线段 PF 的重点,则 | OM | =

x2 y 2 16.设双曲线 2 ? 2 ? 1(0 ? a ? b) 的半焦距为 c,直线 l 过 ( a, 0) , (0, b) 两点。已知 a b
原点到直线 l 的距离为

3 c ,则双曲线的离心率为 4



17. 设点 P 是 ?ABC 内以点 (不包括边界) , 且 AP ? mAB ? nAC(m, n ? R) , 则m ?n
2

??? ?

??? ?

??? ?

2

?2m ? 2 n? 3 的取值范围是
三、解答题:本大题共 5 小题,18、19、20、题每小题 14 分,21、22 题每小题 15 分,满分 共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.(本题满分 14 分) 如图,圆 x ? y ? 8 内有以点 P(?1, 2) ,AB 为过点 P 的弦,
2 2

(1) 当弦 AB 的倾斜角为 135°时,求 AB 所在的直线方程及 | AB | ; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 AB 的方程。

19.(本题满分 14 分) 已知向量 OA ? (3, ?4), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? m, ?3 ? m) , (1) 若点 A、B、C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件 (2) 若 ? ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值

??? ?

??? ?

??? ?

20.(本题满分 14 分) 如图所示,在直角梯形 ABCP 中, AP // BC , AP ? AB, AB ? BC ?

1 AP ? 2, D 是 2

AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使得 PD ? 平面 ABCD 。 (1) 求证: AP // 平面 EFG (2) 求直线 AC 与平面 PAD 所成角的大小。

21.(本题满分 15 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? nx ? 2 的图像过点(-1,-6),且函数 g ( x) ? f '( x) ? 5x 的图像

的对称轴为 y 轴。 (1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式及它单调递减区间; (2) 若函数 y ? f ( x) 的极小值在区间 (a ? 1, a ? 1) 内,求 a 的取值范围。

22.(本题满分 15 分) 已知曲线 C 上的动点 P( x, y) 满足到点 F(0,1)的距离比到直线 y ? ?2 的距离小 1。 (1) 求曲线 C 的方程。 (2) 过点 F 在直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点。 (i) 过 A、B 两点分别作曲线的切线,设其交点为 M,证明: MA ? MB ; (ii) 是否在 y 轴上存在定点 Q , 使得无论 AB 怎样运动, 都有 ?AQF ? ?BQF ? 证明你的结论。

金华十校 2008~2009 学年度第二学期期末考试试卷 高二数学(文科)参考答案
一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 8 A 9 D 10 C 答案 B C D B A C 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. x ? ?1 15.3 12 . ?x ? R ,使得 sin x ? 1 16 .2 17. ( ,3)

13. 17 ?

14. y ? ?3x ? 1

3 2

三、解答题:本大题共 5 小题,18,19,20 每小题 14 分,21、22 每小题 15 分,满分 72 分。 18.解:(1)过点 O 作 OG ? AB 于 G,连结 OA,当 a ? 135 ° 时,直线 AB 的斜率为-1,故直线 AB 的方程 x ? y ? 1 ? 0 ,…4 分

? d ? OG ?

| 0 ? 0 ? 1| 2 ? ,又r ? 2 2 2 2
1 15 30 , ? ? 2 2 2

? | GA |? 8 ?

? | AB |? 2 | GA |? 30 ????????7 分
(2)当弦 AB 被点 P 平分时, OP ? AB ,此时 kop ? ?2 ,

? AB 的点斜式方程为 y ? 2 ?

1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 ????????14 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? 19.解:(1)已知向量 OA ? (3, ?4,), OB ? (6, ?3), OC ? (5 ? m, ?(3 ? m))
若点 A 、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,

??? ? ??? ? ? AB ? (3,1) , AC ? (2 ? m,1 ? m) ,故知 3(1-m) ? 2 ? m

? 实数 m ?

1 时,满足的条件。??????????7 分 2 ??? ? ??? ? (2)若 ? ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,则 AB ? AC , 7 ????????14 分 4

?3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 ,解得 m ?

20.解: (1)证明:方法一:连接 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO。

1 1 ? E , F 分别为 PC ,PD 的中点,? EF // CD ,同理 GO // CD ,? EF // GO ?? ?? 2 ?? 2 ? 四边形 EFOG 是平行四边形,? EO ? 平面 EFOG
又在三角形 PAC 中, E , O 分别为 PC,AC 的中点,? PA // EO

又 EO ? 平面 EFOG,PA ? 平面 EFOG,? PA // 平面 EFOG,即 PA // 平面 EFG ?7 分

方法二:连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO。

1 1 ? E , F 分别为 PC,PD 的中点,? EF // CD ,同理? CE // PB ?? 2 ?? 2 1 又 CD // AB, ? EF // AB, EG ? EF ? E , PB ? AB ? B,?平面 EFG // 平面 PAB ?? ?? 2 又 PA ? 平面 PAB ,? PA // 平面 EFG (2)由已知底面 ABCD 是正方形,? AD ? DC ,又? PD ? 面 ABCD

?CD ? PD, 又 PD ? AD ? D
? CD ? 平面 PCD,? 直线 AC 与平面 PAD 所成角即为 ?CAD 由 CD ? AB ? AD 可知 ?CAD 为 45°,????????14 分 21.解:(1)点(-6,-1)代入,得 m ? n ? ?3

g ( x) ? f '( x) ? 6x ? 3x2 ? 2mx ? n ? 6x ? 3x2 ? (2m ? 6) x ? n
? 2m ? 6 ? 0, 得 m ? ?3, n ? 0 2?3

f '( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) ? 0, 得 0 ? x ? 2
故 f ( x) 的单调递减区间是(0,2)??????????8 分 (2) x ? 2 时, y ? f ( x) 有极小值 f (2) ? ?6

a ? 1 ? ?6 ,且 a ? 1 ? ?6 得 ?7 ? a ? ?5 ????????15 分
1 2 2 2 22.解: (1)依题意有 ( y ? 1) ? x ?| y ? 2 | ?1 ,显然 y ? ?2 ,得 ( y ? 1) ? x ? y ? 1 ,

化简得 x ? 4 y ;?4 分
2

(2)(i)? 直线 AB 与 x 轴不垂直,设 l AB : y ? kx ? 1, A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )

? y ? kx ? 1 ? 2 由? 1 2 可得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 , ? ? 恒成立????7 分 y? x ? ? 4
抛物线方程为 y ?

x x2 , 求得 y ' ? 2 4

所以过抛物线上 A、B 两点切线斜率分别为 k AM ?

x1 x , k BM ? 2 2 2

? k AM k BM ?

x1 x2 1 ? ? x1 x2 ? ?1 即 MA ? MB ??????????10 分 2 2 4

(ii)设点 Q(0, t ) ,此时 k AQ ?

y1 ? t y ?t , kBQ ? 2 , x1 x2

由(i)可知 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4

x1 x2 ?t ?t x x ( x ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 4 故 k AQ ? k B1 ? 4 = 1 2 1 ? 0 对一切 k 恒成立 x1 x2 4 x1 x2
即: k (1 ? t ) ? 0 故当 t ? ?1 ,即 Q(o, ?1) ,使得无论 AB 怎样运动,都有 ?AQF ? ?BQF ????15 分


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