一轮复习同角三角函数基本关系式与诱导公式(教师版)

第2讲
最新考纲

同角三角函数基本关系式与诱导公式

sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,cos α=tan

π α;2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α,π±α,-α 的正弦、余弦、正切 的诱导公式.

知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sin_α -cos_α tan_α 三 -α -sin_α cos_α -tan_α 四 π-α sin_α -cos_α -tan_α 函数名改变,符号看象限 五 π 2-α cos_α sin_α 六 π 2+α cos_α -sin_α

函数名不变,符号看象限

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.(×) (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.(√) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是 π 指2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.(√) π (4)若 α≠kπ+2(k∈Z),则 cos2α= 1 .(√) 1+tan2α

2.tan 300° +sin 450° 的值为( A.1+ 3 C.-1- 3 解析

) B.1- 3 D.-1+ 3

tan 300° +sin 450° =tan(360° -60° )+sin(360° +90° )=tan(-60° )+sin

90° =-tan 60° +1=1- 3. 答案 B ) 1 B.-5 2 D.5 1 ?5π ? ?π ? ∵sin? 2 +α?=sin?2+α?=cos α,∴cos α=5.故选 C. ? ? ? ? C ) B.- 12 13

?5π ? 1 3.(2015· 广州调研)已知 sin? 2 +α?=5,那么 cos α=( ? ? 2 A.-5 1 C.5 解析 答案

5 4.已知 α 是第二象限角,sin α=13,则 cos α=( A.- 5 C.13 解析 答案 12 由平方关系,得 cos α=- 1-sin2α=-13. B 5 13

12 D.13

5.已知 tan θ =2,则 sin θcos θ=________. 解析 答案 sin θcos θ= 2 5 sin θ· cos θ tan θ 2 2 = 2 =5. 2 2 = 2 sin θ+cos θ tan θ+1 2 +1

考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【 例 1 】 (1) 已 知 tan α = 2 , 则 2sin α-3cos α = 4sin α-9cos α

____________________________________________________.

(2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2 θ=( 4 A.-3 3 C.-4 解析 (1) 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2 2

) 5 B.4 4 D.5

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ (2)由于 tan θ=2,则 sin θ+sin θcos θ-2cos θ= = sin2θ+cos2θ tan2θ+tan θ-2 22+2-2 4 = 2 =5. tan2θ+1 2 +1 答案 (1)-1 (2)D

规律方法

若已知正切值, 求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值,则可以

通过分子、 分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式,代 入正切值就可以求出这个分式的值,这是同角三角函数关系中的一类基本题型. 【训练 1】 若 3sin α+cos α=0,则 10 A. 3 2 C.3 解析 1 3sin α + cos α = 0 ? cos α≠0 ? tan α =- 3 , 1 的值为( cos2α+2sin αcos α 5 B.3 D.-2 1 = cos α+2sin αcos α
2

)

cos2α+sin2α 1+tan2α = cos2α+2sin αcos α 1+2tan α ? 1? 1+?-3?2 ? ? 10 = 2 =3. 1- 3 答案 A

1 π π 【例 2】 (1)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ=8,且4<θ<2,则 cos θ-sin θ 的值为________. π 1 (2)已知-2<α<0,sin α+cos α=5,则 1 的值为( cos α-sin2α
2

)

7 A.5 25 C. 7 解析 π π (1)当4<θ<2时,sin θ>cos θ,

7 B.25 24 D.25

∴cos θ-sin θ<0, 又(cos θ - sin θ)2 = 1 - 1 3 2sin θcos θ=1-4=4, 3 ∴cos θ-sin θ=- 2 . (2) 法一 联立 深度思考 第(2)小题有两种解法,其一结合平方关系解方程

组求 sin α 与 cos α;其二求 cos α-sin α;你用到的哪一种?但作 为选择题本题还可以根据已有的结论猜测 sin α 与 cos α.

1 ? ?sin α+cos α= , 5 ? ? ?sin2α+cos2α=1,

① ②

1 由①得,sin α=5-cos α,将其代入②, 整理得 25cos2α-5cos α-12=0. π 因为-2<α<0, 3 ? ?sin α=-5, 所以? 4 ?cos α=5, ? 于是 1 1 25 = = . cos2α-sin2α ?4?2 ? 3?2 7 ?5? -?-5? ? ? ? ? 1 因为 sin α+cos α=5,

法二

24 ?1? 所以(sin α+cos α)2=?5?2,可得 2sin αcos α=-25. ? ? 24 49 π 而(cos α-sin α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+25=25,又-2<α<0,所 以 sin α<0,cos α>0,

7 所以 cos α-sin α=5.于是 =

1 cos α-sin2α
2

1 25 =7. ?cos α+sin α??cos α-sin α? 3 (1)- 2 (2)C

答案

规律方法

求解此类问题的关键是:通过平方关系,对称式 sin α+cos α,

sin α-cos α,sin αcos α 之间可建立联系,若令 sin α+cos α=t,则 sin αcos α= t2-1 2 2 ,sin α-cos α=± 2-t (注意根据 α 的范围选取正、负号),这种关系在三 角函数式的化简、求值、证明中十分有用. 【训练 2】 已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 2 C. 2 解析 法一 ?sin α-cos α= 2, 由? 2 2 ?sin α+cos α=1, )

2 B.- 2 D.1

得:2cos2α+2 2cos α+1=0, 2 即( 2cos α+1)2=0,∴cos α=- 2 . 3π 3π 又 α∈(0,π),∴α= 4 ,∴tan α=tan 4 =-1. 法二 因为 sin α-cos α= 2,

π? π? ? ? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 3π 因为 α∈(0,π),所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 法三 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.因

3π 3π 为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= 2 ,所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 答案 A

考点二 利用诱导公式化简三角函数式
【例 3】 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )

=________. (2)设 f(α)= 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ?= (1 + 2sin α ≠ 0) ,则 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

________. 解析 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin 1 050°

= - sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° + 300° )sin(2×360° +330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° = - sin(180° - 60° )cos(180° + 30° ) - cos(360° - 60° )· sin(360° - 30° ) = sin 3 3 1 1 60° cos 30° +cos 60° sin 30° = 2 × 2 +2×2=1. (2)∵f(α)= = ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = , 2sin2α+sin α sin α?1+2sin α? tan α 1 1 = = π? π= 3. ? 23π? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? tan 6 ? ? ? ? (2) 3 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求: (1)基本思 1

? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 答案 (1)1

规律方法

路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成单角三角函数;③整理得 最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少, 次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【 训 练 3 】 (1)sin( - 1 071° )sin 99° + sin( - 171° )sin( - 261° ) + tan( - 1 089° )tan(-540° )=________. 3π? ? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? (2)化简: =________. cos?-α-π?sin?-π-α? 解析 (1)原式=(-sin 1 071° )· sin 99° +sin 171° ·

sin 261° +tan 1 089° · tan 540° =-sin(3×360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3×360° +9° )· tan(360° +180° )

=sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180° =0+0=0. (2)原式= -tan α· cos α· ?-cos α? cos?π+α?· ?-sin?π+α??

sin α cos α cos α· tan α· cos α· cos α = = =-1. -cos α· sin α -sin α 答案 (1)0 (2)-1

考点三 利用诱导公式求值
?π ? 1 ?π ? 【例 4】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______. ? ? ? ? 3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ? 解析 ?π ? ?π ? π (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

π ?π ?π ?? ?π ? ? 1 -α??=sin? ?3-α?= . ∴cos?6+α?=cos?2-? 3 ? ?? ? ? ? ? 2 ? ?π ? ?5π ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π, ? ? ? ? ?5 ? ? ?5 ?? ∴tan?6π+α?=-tan?π-?6π+α?? ? ? ? ? ?? 3 ?π ? =-tan?6-α?=- 3 . ? ? 答案 1 (1)2 3 (2)- 3 π π 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有3-α 与6

规律方法

π π π π π 2π π 3π +α; 3+α 与6-α; 4+α 与4-α 等,常见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等. 11π? ?7π ? 2 ? 【训练 4】 (1)已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________. ? ? ? ? 1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________. 解析 11π? ? ?11π ? ? ?π ?? (1)cos?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? ? ? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?12+α?, ? ? ?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 + α ? + α ? ? ?= , 而 sin?12+α?=sin?2+? = cos ?12 ?? ? ? ?12 ? 3 ? 11π? 2 ? 所以 cos?α- 12 ?=-3. ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=2. 答案 2 (1)-3 1 (2)2

[思想方法] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其 主要作用是进行三角函数的求值、 化简和证明, 如已知一个角的某一三角函数值, 求这个角的其它三角函数值时,要特别注意平方关系的使用. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1) asin x+bcos x sin x 弦切互化法:主要利用公式 tan x=cos x进行切化弦或弦化切,如 , csin x+dcos x asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切. (2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+ 1 ? π ? cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ?1+tan2θ?=tan 4=?. ? ? [易错防范] 1.诱导公式的应用及注意事项 (1)应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意 角的三角函数值的问题, 都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具 体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值. (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体 题目中出现类似 kπ±α 的形式时,需要对 k 的取值进行分类讨论,从而确定出三 角函数值的正负. 2.化简三角函数应注意的几点

(1)化简不同名的三角函数的式子,解答此类问题的一般规律是利用“化弦 法”,即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦,以达到消元的目的. (2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式), 这种问题是利用 A= a2= |a|(a 是实数)化去根号. (3)化简含有较高次数的三角函数式,此类问题多用因式分解、约分等.

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1. 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 C.± (sin 2-cos 2) 解析 1-2sin?π+2?cos?π-2?= 1-2sin 2cos 2 ) B.sin 2+cos 2 D.cos 2-sin 2

= ?sin 2-cos 2?2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2. 答案 A ) 3 B.-5 3 D.5 2 3 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=5-1=-5. B )

5 2.已知 sin α= 5 ,则 sin4α-cos4α 的值为( 1 A.-5 1 C.5 解析 答案

π 3.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 1 C.-2 解析 3 B. 2 1 D.2

π 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称, 所以 α+β=2kπ+2(k∈Z). 又

π 5π 1 β=-3,所以 α=2kπ+ 6 (k∈Z),即得 sin α=2. 答案 D )

π? ?π ? 3 ? 4.(2014· 肇庆模拟)已知 sin?2+α?=5,α∈?0,2?,则 sin(π+α)=( ? ? ? ? 3 A.5 4 C.5 解析 3 B.-5 4 D.-5

π? 3 4 ?π ? 3 ? 由已知 sin?2+α?=5,得 cos α=5,∵α∈?0,2?,∴sin α=5,∴sin(π ? ? ? ?

4 +α)=-sin α=-5. 答案 D ) 2 2 B.- 3 1 D.-3 ?π ?π ?? ?π ? +α?? ∵cos?4+α?=sin?2-? ?4 ?? ? ? ?

π? 1 ? ?π ? 5.已知 sin?α-4?=3,则 cos?4+α?=( ? ? ? ? 2 2 A. 3 1 C.3 解析

π? 1 ?π ? ? =sin?4-α?=-sin?α-4?=-3. ? ? ? ? 答案 D

二、填空题 1 ?3 ? 6.如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 解析 1 1 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2.

1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ? 答案 1 2

4 5 ? 4 ? 7.sin 3π·cos 6π·tan?-3π?的值是________. ? ?

解析

π? π? ? π? ? ? 原式=sin?π+3?· cos?π-6?· tan?-π-3? ? ? ? ? ? ? π? ? π? ? - cos ? ? ?-tan · · 3? ? 6? ?? π? 3? ?

? =?-sin ?

3 3 ? 3? ? 3? =?- ?×?- ?×(- 3)=- 4 . ? 2? ? 2? 答案 3 3 - 4

5 ? π ? 8.(2015· 长沙一模 )若 cos(2π - α)= 3 ,且 α∈ ?-2,0?,则 sin(π - α)= ? ? ________. 解析 5 由诱导公式可知 cos(2π-α)=cos α= 3 ,sin(π-α)=sin α,由 sin2α

2 +cos2α=1 可得,sin α=± 3, 2 ? π ? ∵α∈?-2,0?,∴sin α=-3. ? ? 答案 2 -3

三、解答题 4 π 9.已知 sin θ=5,2<θ<π. (1)求 tan θ 的值; sin2θ+2sin θcos θ (2)求 的值. 3sin2θ+cos2θ 解 9 (1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=25.

π 3 sin θ 4 又2<θ<π,∴cos θ=-5.∴tan θ=cos θ=-3. (2)由(1)知, sin2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ 8 = =-57. 2 2 2 3sin θ+cos θ 3tan θ+1

1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.



1 (1)∵sin A+cos A=5,①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25, 12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 5 4 =- 3 3.

-5

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) ?π ? 1 ?2π ? 11.若 sin?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?等于( ? ? ? ? 7 A.-9 1 C.3 解析 ?π ? ?π ? π ∵?3+α?+?6-α?= . ? ? ? ? 2 ) 1 B.-3 7 D.9

?π ?π ?? ?π ? +α?? ∴sin?6-α?=sin?2-? ?3 ?? ? ? ? ?π ? 1 =cos?3+α?=3. ? ? 7 ?2π ? ?π ? 则 cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1=-9. ? ? ? ? 答案 A

π? 1 ?π ? ? 12.(2014· 武汉模拟)已知 α∈?2,π?,sin α+cos α=-5,则 tan?α+4?等于 ? ? ? ? ( ) A.7 1 C.7 解析 B.-7 1 D.-7 1 1 由 sin α+cos α=-5两边平方得 1+2sin αcos α=25,∴2sin αcos α=

24 π -25,∵2<α<π,此时 sin α>0,cos α<0,sin α-cos α= ?sin α-cos α?2= 1 sin α + cos α =- ? ? 5, 24 7 1+25=5,联立得? 7 ? ?sin α-cos α=5,

1-2sin αcos α =

3 4 sin α 3 解得 sin α=5,cos α=-5,∴tan α=cos α=-4, π? 1+tan α ? ∴tan?α+4?= = ? ? 1-tan α 答案 C 3 1-4 1+4 1 = 3 7,故选 C.

13.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. 解析 sin21° +sin22° +?+sin290° =sin21° +sin22° +?+sin244° +sin245° +

cos244° + cos243° + ? + cos21° + sin290° = (sin21° + cos21° ) + (sin22° + cos22° )+? 1 91 +(sin244° +cos244° )+sin245° +sin290° =44+2+1= 2 . 答案 91 2

? π π? ?π ? 14.是否存在 α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, ? ? ? ? 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请 说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β,

由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=- 时,由②式知 cos β= , 4 2 π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件.


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