2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案(含答案)

3.1.2 用二分法求方程的近似解 课堂导学 三点剖析 一、用二分法求相应方程的近似解 3 【例 1】 证明方程 x -3x+1=0 在区间(1,2)内必有一根,并求出这个根的近似值(精确到 0.01). 3 证明:令 f(x)=x -3x+1,则 f(x)在区间[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线. ∵f(1)=1-3+1=-1<0, f(2)=8-6+1=3>0, ∴f(1)·f(2)<0, ∴函数 f(x)在区间(1,2)内必有一零点, 3 ∴方程 x -3x+1=0 在区间(1,2)内必有一根 x0. 取区间(1,2)的中点 x1=1.5, 用计算器算得 f(1.5)=-0.125. 因为 f(1.5)·f(2)<0, 所以 x0∈(1.5,2). 再取(1.5,2)的中点 x2=1.75, 用计算器算得 f(1.75)=1.109 375. 因为 f(1.5)·f(1.75)<0, 所以 x0∈(1.5,1.75). 又取(1.5,1.75)的中点 x3=1.625. 用计算器算得 f(1.625)=0.416 015 625. 因为 f(1.5)·f(1.625)<0, 所以 x0∈(1.5,1.625). 取(1.5,1.625)的中点 x4=1.562 5, 用计算器算得 f(1.562 5)=0.127 197 265 625. 因为 f(1.5)·f(1.562 5)<0, 所以 x0∈(1.5,1.562 5). 取(1.5,1.562 5)的中点 x5=1.531 25 时, 用计算器算得 f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875. 因为 f(1.531 25)·f(1.562 5)<0, 所以 x0∈(1.531 25,1.562 5). 取(1.531 25,1.562 5)的中点 x6=1.546 875 时, 用计算器算得 f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875. 因为 f(1.531 25)·f(1.546 875)<0, 所以 x0∈(1.531 25,1.546 875). 同理,可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)<0, x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)· f(1.535 156 25)<0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25). 又当取(1.531 25,1.535 156 25)的中点 x9=1.533 203 125 时, f(1.531 25)·f(1.533 203 125)<0, 即 x0∈(1.531 25,1.533 203 125). 由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125<0.01, 此时区间(1.531 25,1.533 203 125)的两个端点精确到 0.01 的近似值都是 1.53,所 以原方程精确到 0.01 的近似值为 1.53. 二、对二分法再理解 【例 2】有一块边长为 30 cm 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x cm 的小正方 3 形,然后折成一个无盖的盒子,如果要做成一个容积是 1 200 cm 的无盖盒子,那么截去的 小正方形的边长 x 是多少厘米(精确到 0.1 cm)? 解析:盒子的体积 y 和以 x 为自变量的函数解析式为 y=(30-2x) x. 3 2 如果要做成一个容积是 1 200 cm 的无盖盒子,那么有方程(30-2x) x=1 200,其定义域 为{x|0<x<15=. 2 令 f(x)=(30-2x) x-1 200,借助计算机画出函数图象.由图象可以看出,函数 f(x)分别 2 在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点,即方程(30-2x) x=1 200 分别在区间(1,2) 和(9,10)内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解. 取区间(1,2)的中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)=-106.5<0. 因为 f(1.5)·f(2)<0,所以 x0∈(1.5,2). 同理可得 x0∈(1.5,1.75), x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75),x0∈(1.687 5,1.718 75),x0∈(1.687 5,1.703 125),x0∈(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5<0.1, 此时区间(1.687 5,1.695 312 5)的两个端点精确至 0.1 的近似值都是 1.7,所以方 程在区间(1,2)内精确到 0.1 的近似解为 1.7.同理可得方程在区间(9,10)内精确到 0.1 的解为 9.4. 3 故如果要做成一个容积是 1 200cm 的无盖盒子,截去的小正方形的边长大约是 1.7 cm 或 9.4 cm. 温馨提示 用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意:1.计算量大;2.重复相同的计算步骤. 因此,常借助计算器或通过设计一定的计算程序,借助计算机完成计算,在模块三同学们可 以学到. 三、 “精确度为ε ”与“精确到ε ” 【例 3】 借助计算器,分别按下面两种要求,用二分法求函数 f(x)=lnx- 2 2 在区间(2,3) x 内的零点: (1)精确度为 0.1; (2)精确到 0.1. 解析:可证得函数在区间(2,3)上为增函数,由题设有 f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0, 由于 f(2)·f(3)<0,故函数 f(x)在区间(2,3)内有一个零点 x0,即 x0∈(2,3). 下面用二分法求函数 f(x)=lnx- 2 在区间(2,3)内零点的近似值: x 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器算得 f(2.5)≈0.12>0,由于 f(2)·f(2.5) <0,所以 x0∈(2,2.5); 再 取 区

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