泉港五中2014级高一数学第三次月考

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

1. ※ 若 600°角的终边上有一点( ? 4 ,a),则 a 的值是( A. ? 4 3 2. ※ 1 ? sin 2 A. cos
3π 5

)A

B. ? 4 3
3 π 化简的结果是( 5

C. 3 )B C. ? cos )D
3π 5

D. 4 3

B. ? cos

3π 5

D. cos

2π 5

3. ※ 函数 y ? 2 cos x ? 1 的定义域是(
π π? A. ? 2 k π ? , 2 k π ? ? ??k ? Z ? ? 3 3? π π? B. ? ?2kπ? ,2kπ? ??k ? Z ? ? 6 6? π 2π? C. ? ?2kπ? ,2kπ? ??k ? Z ? ? 3 3 ? 2π 2π? D. ? ,2kπ? ?2kπ? ??k ? Z ? ? 3 3 ?
?

3π? ? 4. ※ 函数 y=sin?3x+ 4 ?的图像的一条对称轴是(
?

)

π A.x=-12 π C.x=8

π B.x=-4 5π D.x=- 4

3π π π kπ π 解析:令 3x+ 4 =2+kπ(k∈Z),得 x=-12+ 3 (k∈Z).当 k=0 时,x=-12. 答案:A 5.

?sinπx,x≤2 011, ※ 设 f(x)=? 3 ?f?x-4?,x>2 011,
1 A.2 3 C. 2

则 f(2 012)=( 1 B.-2 3 D.- 2

)

4π? ? 2 008 4π π 3 解析:f(2 012)=f(2 008)=sin 3 π=sin?668π+ 3 ?=sin 3 =-sin3=- 2 . ? ? 答案:D 6. ※ 下列说法中,正确的是( A.第二象限的角是钝角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.-831° 是第二象限角 D.-95° 20′,984° 40′,264° 40′是终边相同的角 解析 A、B 均错,-831° =-720° -111° 是第三象限的角,C 错,∴选 D. 答案 D aπ 7. ※ 若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 6 的值为( A.0 C.1 3 B. 3 D. 3 ) )

aπ 2π π 解析 由题意,得 3a=9,得 a=2,∴tan 6 =tan 6 =tan3= 3. 答案 D 2sinθ-cosθ 8. ※ 若 tanθ=2,则 的值为( sinθ+2cosθ A.0 3 C.4 解析 ∵tanθ=2,∴ 答案 C tanx 9. ※ 函数 f(x)= 的奇偶性是( 1+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) B.1 5 D.4 2sinθ-cosθ 2tanθ-1 2?2-1 3 = = =4. sinθ+2cosθ tanθ+2 2+2 )

D.既不是奇函数也不是偶函数 解析

?x≠kπ+π, 2 要使 f(x)有意义,必须使? ?1+cosx≠0,



π x≠kπ+2,且 x≠(2k+1)π(k∈Z), ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(-x)= tan?-x? tanx =- =-f(x), 1+cos?-x? 1+cosx

tanx ∴f(x)= 是奇函数. 1+cosx 答案 A 10. ※ 函数 f(x)= x-cosx 在(0,+∞)内( A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解析 在同一坐标系里分别作出 y= x和 y=cosx 的图象易知, f(x)=0 有且仅有 一个零点. 答案 B
11. ※ 下列等式成立的是( π 1 A.sin = 3 2 C.sin(- 解析:sin 7π 1 )= 6 2 ) B.cos D.tan 5π 1 =- 6 2 2π = 3 3

)

π 3 5π 3 2π = ,cos =- ,tan =- 3, 3 2 6 2 3

7π 1 sin(- )= . 6 2 答案:C 12. ※ 已知 sinθ =

m-3 4-2m π ,cosθ = ,其中 θ ∈[ ,π ],则下列结论正确的是( m+5 m+5 2

)

A.m∈[3,9] C.m=0 或 m=8 解析:由 sin2θ +cos2θ =1,得( sinθ >0,舍去 m=0,选 D. 答案:D

B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞) D.m=8

m-3 2 4-2m 2 π ) +( ) =1,解得 m=0 或 m=8,又 θ ∈[ ,π ], m+5 m+5 2

π? 13. 函数 f ?x ? ? cos? ? 2 x ? ? 的最小正周期是( ? 6?

)B D. 4π

A.

π 2

B.π
?

C. 2π
2 2?

2π π π? 14. 设函数 f ?x? ? 3sin??x ? ? ? ? 对称, 它的周期是 ? ? ? 0,? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 3

π,则(

)B
? 2? 5 π ? ,0 ? ? 12 ?

1? A. f ?x ? 的图象过点 ? ? 0, ?

B. f ?x ? 的图象的一个对称中心是 ? ? C. f ?x ? 在 ? ? ,
π 2 π? 上是减函数 ?12 3 ? ?

D.将 f ?x ? 的图象向右平移 ? 个单位长度得到函数 y ? 3 sin ?x 的图象 15. 已知角 θ 的终边过点(4,-3),则 cos(π-θ)=( 4 A.5 3 C.5 4 B.-5 3 D.-5 )

4 解析:∵r=5,∴cos(π-θ)=-cosθ=-5. 答案:B θ 16. 若|cosθ|=cosθ,|tanθ|=-tanθ,则2的终边在( A.第一、三象限 )

B.第二、四象限 C.第一、三象限或 x 轴上 D.第二、四象限或 x 轴上 θ 解析 由题意知,cosθ≥0,tanθ≤0,所以 θ 在 x 轴上或在第四象限,故2在第 二、四象限或在 x 轴上. 答案 D
π 17. sin(x+ )=( 2 A.-sinx C.cosx 解析:由诱导公式知选 C. 答案:C 18. 已知 P(- 3,y)为角 β 的终边上的一点,且 sinβ = A.± C.- 1 2 1 2 B. 1 2 13 ,则 y 的值为( 13 ) ) B.sinx D.-cosx

D.±2

解析:由题意得 r= 3+y2,sinβ = = 答案:B

y r

y
3+y
2



13 1 ,解得 y= ,故选 B. 13 2

19. 已知扇形的半径为 r,周长为 3r,则扇形的圆心角等于( A. π 3 B.1 D.3

)

2 C. π 3

解析:弧长 l=3r-2r=r,则圆心角= =1. 答案:B 20. 函数 y=tan(x- π )的定义域是( 3 )

l r

5π A.{x∈R|x≠kπ + ,k∈Z} 6

5π B.{x∈R|x≠kπ - ,k∈Z} 6 5π C.{x∈R|x≠2kπ + ,k∈Z} 6 5π D.{x∈R|x≠2kπ - ,k∈Z} 6 解析:根据正切函数的定义域,令 x- 答案:A 21. 下列各式中,值为正数的是( A.cos2-sin2 C.sin2?tan2 ) B.tan3?cos2 D.cos2?sin2 π π ≠kπ + (k∈Z),即得结论. 3 2

解析:2 弧度和 3 弧度的角都是第二象限角,∴tan3<0,cos2<0,得 tan3?cos2>0,故选 B. 答案:B π 22. 函数 y=sin( -2x)的单调递减区间是( 4 A.[kπ - π 3π ,kπ + ](k∈Z) 8 8 3π 7π ,2kπ + ](k∈Z) 2 8 )

B.[2kπ + C.[kπ +

3π 7π ,kπ + ](k∈Z) 8 8 π 3π ,2kπ + ](k∈Z) 8 8 π π π π π -2x)=-sin(2x- ), 要求的单调递减区间即解- +2kπ ≤2x- ≤ + 4 4 2 4 2

D.[2kπ -

解析: y=sin( 2kπ ,所以 kπ - 答案:A

π 3π ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)

23. ※ 已知∠A 为△ABC 的内角,且 sinA= ,则 A= 24. ※ 函数 y ?
2 ? cos x 的最大值为 2 ? cos x

1 2

. 或

π 6

5π 6

.3

1 25. ※ 已知 α 是第二象限角,且 tan(2π+α)=-2,则 sinα=__________.

1 解析:易知 tanα=-2, ∵α 是第二象限角, 1-cos2α sinα 1 ∴cosα= cosα =-2,得 2 5 5 cosα=- 5 ,sinα= 5 . 5 答案: 5 26. ※ 给出下列命题: π? ?2 ①函数 y=cos?3x+2?是奇函数;
? ?

②存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ③若 α,β 是第一象限角且 α<β,则 tanα<tanβ; 5π? ? π ④x=8是函数 y=sin?2x+ 4 ?的一条对称轴;
? ?

π? ? ?π ? ⑤函数 y=sin?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称.
? ? ? ?

其中正确命题的序号为__________. π? ?2 2 解析 ①y=cos?3x+2?=-sin3x 是奇函数.
? ?

②因为 sinx,cosx 不能同时取最大值 1,所以不存在实数 x 使 sinx+cosx=2 成 立. π? ? π 13π π 3 ③α=3,β= 6 ,则 tanα= 3,tanβ=tan?2π+6?=tan6= 3 ,tanα>tanβ,∴③ ? ? 不成立. 5π? ? π ④把 x=8代入函数 y=sin?2x+ 4 ?,得 y=-1.
? ?

π ∴x=8是函数图象的一条对称轴. π? ? ?π ? ⑤因为 y=sin?2x+3?图象的对称中心在图象上,而?12,0?不在图象上,所以⑤
? ? ? ?

不成立.

答案 ①④

3π? ? 27. 已知 α∈?π, 2 ?,tanα=2,则 cosα=__________.
? ?

?tanα= sinα =2, cosα 解析:依题意得? ?sin2α+cos2α=1,
1 由此解得 cos2α=5; 3π? ? 5 又 α∈?π, 2 ?,因此 cosα=- 5 . ? ? 5 答案:- 5 28. 在△ABC 中,cosA= 3sinA,则角 A 的取值集合是__________. 3 π 解析:由 cosA= 3sinA?tanA= 3 ,∴A=6. π 答案:{6} π? π? ? ? 29. 下列 4 个判断:①α∈?0,2?时,sinα+cosα>1;②α∈?0,4?时,sinα<cosα;③
? ? ? ? ?5π 3π? ?π ? α∈? 4 , 2 ?时,sinα>cosα;④α∈?2,π?时,若 sinα+cosα<0,则|cosα|>|sinα|. ? ? ? ?

其中正确判断的序号是__________. y x x+y 解析:①由三角函数定义知:sinα+cosα=r+ r = r ,又 x+y>r,所以 sinα π? ? 5π 3π +cosα>1;②利用图像易知 α∈?0,4?时,sinα<cosα;③当 4 <α< 2 时,有 cosα
? ? ?π ? ?3π ? >sinα;④当 α∈?2,π?,且 sinα+cosα<0 时,有 α∈? 4 ,π?,则|cosα|>|sinα|. ? ? ? ?

答案:①②④ π? 1 ? ? π ? 30. 已知 sin?α+2?=3,α∈?-2,0?,则 tanα=________.
? ? ? ?

π? ? ? π ? 1 2 2 sinα 解析 sin?α+2?=cosα=3,∵α∈?-2,0?,∴sinα=- 3 ,∴tanα=cosα=-
? ? ? ?

2 2. 答案 -2 2 31. 函数 y = 3cosx(0≤x≤π) 的图象与直线 y =- 3 及 y 轴围成的图形的面积为 ________.
?π ? 解析 如图,由于 y=3cosx(0≤x≤π)的图象关于点?2,0?对称,所以区域(Ⅰ)与 ? ? ?π ? 区域(Ⅱ)也关于点?2,0?成中心对称图形,故区域(Ⅰ)的面积为矩形 ABCD 的面积的 ? ?

1 一半,即2?π?6=3π.

答案 3π 32. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

T 2π π π 4 解析 由图知,4= 3 -3=3,∴T=3π. 2π 4 3 又 T= ω =3π,∴ω=2. 3 答案 2
π 5 2 33. sin(- )+2sin π +3sin π 的值等于 0. 3 3 3 解析:原式=-sin π π π +2sin(2π - )+3sin(π - ) 3 3 3

π π π =-sin +2sin(- )+3sin 3 3 3

π π π =-sin -2sin +3sin 3 3 3 =0. 34. 若函数 y=2tan(2ax- 5 ± . 2 解析:由 π π 5 = ,得 2a=±5,∴a=± . |2a| 5 2 π π ,π ]上的递增区间为[ ,π ]. 2 2 π π ,π ]上的增区间即 y=sinx 在[- ,π ]上的减区 2 2 π π )的最小正周期为 ,则 a= 5 5

15.函数 y=sin(x+π )在[-

解析:∵y=sin(x+π )=-sinx 在[- 间[ π ,π ]. 2

35. 关于函数 f(x)=4sin(2x+

π )(x∈R)有下列命题,其中正确的是①②. 3 π ); 6

①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x- ②y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6

③y=f(x)的最小正周期为 2π ; ④y=f(x)的图象的一条对称轴为 x=- 解析:4sin(2x+ π . 6

π π π π π π )=4sin[ +(2x- )]=4cos(2x- ),又 f(- )=4sin[2?(- )+ 3 2 6 6 6 6

π ]=4sin0=0,故①②正确,③④错误. 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

π? ?3 ? ? sin?α-2?cos?2π+α?tan?π-α? ? ? ? ? 36. ※ (12 分)已知 α 是第三象限角,且 f(α)= . tan?-α-π?· sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 ? 1 ? (2)若 cos?α-2π?=5,求 f(α)的值.
? ?

-cosα· sinα· ?-tanα? 解:(1)f(α)= -tanα· sinα =-cosα.(6 分) 3π? π ? ? ? ?=-sinα, + α (2)∵cos?α- 2 ?=cos?-3· 2
? ? ? ?

52-1 1 2 6 ∴sinα=-5,cosα=- 5 =- 5 . 2 ∴f(α)=5 6.(12 分) π? a ? 37. ※ (13 分)已知函数 f(x)=asin?2ωx+6?+2+b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正周期为
? ?

7 3 π,函数 f(x)的最大值是4,最小值是4. (1)求 ω,a,b 的值; (2)指出 f(x)的单调递增区间. 2π 解:(1)由函数最小正周期为 π,得2ω=π, ∴ω=1.(2 分) a 7 ? a+2+b=4, ? 7 3 又 f(x)的最大值是4,最小值是4,则? a 3 ? - a + + b = ? 2 4, 1 解得 a=2,b=1.(6 分) π? 5 1 ? (2)由(1)知:f(x)=2sin?2x+6?+4.
? ?

(8 分) π π π 当 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),(10 分) π π 即 kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z)时,f(x)单调递增, π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ-3,kπ+6?(k∈Z).
? ?

(13 分)
38. (本小题满分 12 分) (1)计算: lg

1 5 - lg + lg12.5 - log 4 9 × log 27 8 . 2 8

(2)化简: 4 (

8a 3 4 3 27b . ) × 125b 3 a6

39. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={ x | 3 ? x < 6 } ,B={ y | y = ( )x , -3 < x ? -2 } . (1)分别求 A ? B, .

1 2

(2)已知 C={ x | a < x < a + 1} ,若 C ? B,求实数 a 的取值范围. 40. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = (1)求 a 的值. (2)判断 f ( x ) 的单调性,并用定义加以证明. (3)求 f ( x ) 的值域.

a 2 + x 是奇函数. 2 2 +1

41.已知

sin x ? cos x ?3. sin x ? cos x

(1)求 tan x 的值; (2)若 x 是第三象限的角,化简 12.解: (1)∵ ∴
sin x ? cos x ?3, sin x ? cos x

1 ? sin x 1 ? sin x ,并求值. ? 1 ? sin x 1 ? sin x

tan x ? 1 ? 3, tan x ? 1

解之得 tan x ? 2 . (2)∵ x 是第三象限的角,
1 ? sin x 1 ? sin x ? ? ∴ 1 ? sin x 1 ? sin x
2 ?1 ? sin x ?2 ? 1 ? sin x ? ? ?1 ? sin x ?? ?1 ? sin x ? ?1 ? sin x ? ? ?1 ? sin x ?

?

1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x ? ? ? ?2 tan x. ? ? cos x ? cos x cos x cos x

?π ? ?3 ? ?3π ? 42. ※ (12 分)已知 cos?2-α?= 2cos?2π+β?, 3sin? 2 -α? ? ? ? ? ? ? ?π ? =- 2sin?2+β?,且 0<α<π,0<β<π,求 α,β 的值. ? ?



?π ? ?3 ? cos?2-α?= 2cos?2π+β?,即 sinα= 2sinβ① ? ? ? ?

?3 ? ?π ? 3sin?2π-α?=- 2sin?2+β?,即 3cosα= 2cosβ② ? ? ? ?

①2+②2 得 2=sin2α+3cos2α. 又 sin2α+cos2α=1, 1 2 ∴cos2α=2.∴cosα=± 2 . π 3 又∵α∈(0,π),∴α=4,或 α=4π. π 2 3 3 (1)当 α=4时,cosα= 2 ,cosβ= cosα= 2 , 2 π 又 β∈(0,π),∴β=6.

3π 2 (2)当 α= 4 时,cosα=- 2 , cosβ= 3 3 cosα=- 2 , 2

5π 又 β∈(0,π),∴β= 6 . π π 3π 5π 综上,α=4,β=6,或 α= 4 ,β= 6 .
43. (12 分)已知 tanθ =-3 求: (1) sinθ +2cosθ ; cosθ -3sinθ

(2)sin2θ -sinθ ?cosθ 的值. 解:(1)原式= 1 =- . 10 sin2θ -sinθ ?cosθ (2)原式= 1 sin2θ -sinθ cosθ tan2θ -tanθ = = 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 = -3 - -3 -3 2+1
2

tanθ +2 -3+2 = 1-3tanθ 1-3? -3



9+3 6 = . 9+1 5

1 π 44. (12 分)求函数 y= tan(5x+ )的定义域,单调区间及对称中心. 2 4 解:由 5x+ π π kπ π ≠kπ + ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z. 4 2 5 20

1 π 所以函数 y= tan(5x+ )的定义域为 2 4 {x|x≠


5



π ,k∈Z}. 20

π π π 由- +kπ <5x+ < +kπ ,k∈Z, 2 4 2 得



3π kπ π - <x< + ,k∈Z. 5 20 5 20

1 π 所以函数 y= tan(5x+ )的单调区间为 2 4

(



3π kπ π - , + ),k∈Z. 5 20 5 20

π kπ kπ π 由 5x+ = ,k∈Z,得 x= - ,k∈Z. 4 2 10 20

1 π kπ π 所以函数 y= tan(5x+ )的对称中心为( - ,0),k∈Z. 2 4 10 20


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