【数学】知识讲解_等比数列及其前n项和_基础

等比数列及其前 n 项和 编稿:张希勇 【学习目标】 1.掌握等比数列的定义,理解等比中项的概念;掌握等比数列的通项公式及推导; 2.掌握等比数列的性质和前 n 项和公式及公式证明思路;会用它们灵活解决有关等比数列的问题; 3.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题; 4.了解等比数列与指数函数的关系. 【要点梳理】 要点一、等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做 等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) ,即: 要点诠释: ①由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 可不能是 0; ②“从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 q ”,这里的项具有任意性和有序性,常数 是同一个; ③隐含条件:任一项 an ? 0 且 q ? 0 ;“ an ? 0 ”是数列 {an } 成等比数列的必要非充分条件; ④常数列都是等差数列,但不一定是等比数列。不为 0 的常数列是公比为 1 的等比数列; ⑤证明一个数列为等比数列,其依据 要点二、等比中项 如果三个数 a 、 G 、 b 成等比数列,那么称数 G 为 a 与 b 的等比中项.其中 G ? ? ab 。 要点诠释: ①只有当 a 与 b 同号即 ab ? 0 时,a 与 b 才有等比中项,且 a 与 b 有两个互为相反数的等比中项. 当 a 与 b 异号或有一个为零即 ab ? 0 时, a 与 b 没有等比中项。 ②任意两个实数 a 与 b 都有等差中项, 且当 a 与 b 确定时, 等差中项 c ? 与 b 不一定有等比中项,且当 a 与 b 有等比中项时,等比中项不唯一。 ③当 ab ? 0 时, a 、 G 、 b 成等比数列 ?
2

审稿:李霞

an ?1 ? q (q ? 0) . an

an?1 ? q (n ? N *,q ? 0) .利用这种形式来判定,就便于操作了. an

a?b 唯一. 但任意两个实数 a 2

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab 。 a G

④ G ? ab 是 a 、 G 、 b 成等比数列的必要不充分条件。 要点三、等比数列的通项公式 等比数列的通项公式

首相为 a1 ,公比为 q 的等比数列 {an } 的通项公式为:

an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0)
推导过程: (1)归纳法: 根据等比数列的定义

an ? q 可得 an ? an?1q(n ? 2) : an ?1

∴ a2 ? a1q ? a1q2?1 ;

a3 ? a2q ? (a1q)q ? a1q2 ? a1q3?1 ; a4 ? a3q ? (a1q2 )q ? a1q3 ? a1q4?1 ;
……

an ? an?1q ?

? a1qn?1 (n ? 2)

当 n=1 时,上式也成立 ∴归纳得出: an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0) (2)叠乘法: 根据等比数列的定义
王新敞
奎屯 新疆

an ? q 可得: an ?1

a2 ?q, a1 a3 ?q, a2 a4 ?q, a3
……

an ?q, an ?1
把以上 n ? 1 个等式的左边与右边分别相乘(叠乘) ,并化简得: 又 a1 也符合上式

an ? q n ?1 ,即 an ? a1qn?1 (n ? 2) a1

∴ an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0) . (3)迭代法:

an ? an?1q ? an?2q2 ?

? a2 ? qn?2 ? a1qn?1

∴ an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0) . 要点诠释: ①通项公式由首项 a1 和公比 q 完全确定,一旦一个等比数列的首项和公比确定,该等比数列就唯一确 定了. ②通项公式中共涉及 a1 、 n 、 q 、 an 四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量. 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列 {an } 中,第 m 项为 am ,公比为 q ,则:

an ? am ? qn?m
证明:∵ an ? a1 ? qn?1 , am ? a1 ? q m?1 ∴

an a1 ? q n?1 ? ? q n?m am a1 ? q m?1

∴ an ? am ? qn?m 由上可知,等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示,通项公式

an ? a1 ? qn?1 (n ? N *,a1 ? q ? 0) 可以看成是 m ? 1 时的特殊情况。
要点四、等比数列的前 n 项和公式 1 等比数列的前 n 项和公式

?na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ?
推导过程: (1)利用等比性质 由等比数列的定义,有

(q ? 1) (q ? 1)

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1

根据等比性质,有

a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ? q ? (1 ? q)Sn ? a1 ? an q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an

∴当 q ? 1 时, S n ? (2)错位相减法

a1 ? a n q a (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 . 1? q 1? q

等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ①当 q ? 1 时, an ? a1 , Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ②当 q ? 1 时,由 an ? a1q n?1 得:

? an , ? an ? na1 ;

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ?

? a1qn?2 ? a1qn?1 ? a1qn?1 ? a1qn

qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ?

n ?(1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn ? a1 ? anq ? a ( 1 1? q )

a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) ∴ Sn ? 或 Sn ? . 1? q 1? q
?na1 ? 即 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q ? 1? q ?
要点诠释: ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法,适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的 积组成的数列求和问题,要求理解并掌握此法. ②在求等比数列前 n 项和时,要注意区分 q ? 1 和 q ? 1 . ③当 q ? 1 时,等比数列的两个求和公式,共涉及 a1 、 n 、 q 、 an 、 Sn 五个量,已知其中任意三个量, 通过解方程组,便可求出其余两个量. 要点五、等比数列的性质 设等比数列 {an } 的公比为 q ①若 m, n, p, q ? N ? ,且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq , 特别地,当 m ? n ? 2 p 时 am ? an ? a p .
2

(q ? 1) (q ? 1)

②下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , ak ?m , ak ? 2 m ,…组成的新数列仍为等比数列,公比为 q . ③若 {an } , {bn } 是项数相同的等比数列,则 ?a2 n ? 、 ?a2n?1? 、 ?kan ? ( k 是常数且 k ? 0 ) 、{

m

1 }、 an

a m {an } ( m ? N ? , m 是常数)、 ?an ? bn ? 、 { n } 也是等比数列; bn
④连续 k 项和(不为零)仍是等比数列.即 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2 k ,…成等比数列. 要点六、等比数列中的函数关系 等比数列 {an } 中, an ? a1 ? q
n ?1

?

a1 n a ? q ,若设 c ? 1 ,则: an ? c ? q n q q

(1)当 q ? 1 时, an ? c ,等比数列 {an } 是非零常数列。它的图象是在直线 y ? c 上均匀排列的一群 孤立的点. (2)当 q ? 0且q ? 1 时,等比数列 {an } 的通项公式 an ? c ? qn 是关于 n 的指数型函数;它的图象是分 布在曲线 y ?

a1 x ? q ( q ? 0且q ? 1 )上的一些孤立的点. q

①当 q ? 1 且 a1 ? 0 时,等比数列 {an } 是递增数列; ②当 q ? 1 且 a1 ? 0 时,等比数列 {an } 是递减数列; ③当 0 ? q ? 1 且 a1 ? 0 时,等比数列 {an } 是递减数列; ④当 0 ? q ? 1 且 a1 ? 0 时,等比数列 {an } 是递增数列。 (3)当 q ? 0 时,等比数列 {an } 是摆动数列。 要点诠释:常数列不一定是等比数列,只有非零常数列才是公比为 1 的等比数列. 【典型例题】 类型一:等比数列的定义 【高清课堂:等比数列及其前 n 项和 381054 典型例题例 1】 例 1.设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, q ? 1 , 令 bn ? an ? 1

n ?1, 2 , ,

若数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中, 则 6q ? 【答案】9 【解析】由题知 ?an ? 有连续的四项在集合 ??54, ?24,18,36,81 ? 中,则必有-54,-24 为相隔两项,

又∵ q ? 1

?54 9 3 ? ,q ? ?24 4 2 ∴ 6q ? 9
∴ q2 ? 【总结升华】此例中要注意等比数列项的特征,找到关键的两项 ?54, ?24 ,问题就可迎刃而解了. 举一反三: 【变式】如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( A. b ? 3, ac ? 9 C. b ? 3, ac ? ?9 【答案】B ) B. b ? ?3, ac ? 9 D. b ? ?3, ac ? ?9

2an 2 , n ? 1, 2,3, ……, 例 2.已知数列 {an } 的首项为 a1 ? , an ?1 ? 3 an ? 1
【思路点拨】本题的变形中要有极强的目标意识。 证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列. an 2an a ?1 1 1 1 1 , 得, ? n ? ? ? . an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

【解析】由 an ?1 ?



1 1 1 2 1 2 ? 1 ? ( ? 1), 又 a1 ? ,? ? 1 ? an ?1 2 an 3 a1 3
1 1 1 ? 1} 是首项为 ,公比为 的等比数列. an 2 2

∴数列 {

【总结升华】证明一个数列为等比数列,要紧扣定义,这里是采用了转化与化归的策略. 举一反三: 【变式】已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3 ? 0(n ? 2). 判断数列 {an ? 1} 是等比数列,并说明理由 【答案】 {an ? 1} 是等比数列 ∵ a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3 ? 0(n ? 2). ∴ an ? 1 ? ?2(an ?1 ? 1) , ∴数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为-2 的等比数列

类型二:等比数列通项公式的应用 例 3.已知等比数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求 an . 【思路点拨】等比数列的计算,一般优先考虑使用性质,使计算简捷。 【解析】 an ? 2n?1 或 an ? 23?n ;
3 2 法一:∵ a1a3 ? a2 ,∴ a1a2a3 ? a2 ? 8 ,∴ a2 ? 2

从而 ?

? a1 ? a3 ? 5 , 解之得 a1 ? 1 , a3 ? 4 或 a1 ? 4 , a3 ? 1 ? a1a3 ? 4
1 。 2

当 a1 ? 1 时, q ? 2 ;当 a1 ? 4 时, q ? 故 an ? 2n?1 或 an ? 23?n 。

法二:由等比数列的定义知 a2 ? a1q , a3 ? a1q 2 代入已知得 ?
2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 7 2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 8

?a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7, ? a (1 ? q ? q 2 ) ? 7, (1) ? ?? 1 ?? 3 3 (2) ? ? a1q ? 2 ?a1 q ? 8
将 a1 ?

2 代入(1)得 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 2

解得 q ? 2 或 q ?

?a ? 4 ? a1 ? 1 ? 1 由(2)得 ? 或? 1 ,以下同方法一 ?q ? 2 ?q ? ? 2
【总结升华】 ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除 式不为零). 举一反三: 【变式 1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求 a6。 【答案】± 96 法一:设公比为 q,则 768=a1q8,q8=256,∴q=± 2,∴a6=± 96; 法二:a52=a1a9 ? a5=± 48 ? q=± 2,∴a6=± 96。 【变式 2】{an}为等比数列,an>0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。

【答案】64;
2 ∵ a1a89 ? a45 ? 16 ,又 an>0,∴a45=4 3 ∴ a44 a45a46 ? a45 ? 64 。

类型三:等比数列的前 n 项和公式 例 4.求等比数列 1, , , 【答案】

1 1 3 9

的前 6 项和。

364 ; 243 1 ,n ? 6 3

【解析】∵ a1 ? 1 , q ?

? ? 1 ?6 ? 1? ?1 ? ? ? ? 6 ? 3? ? 3 ? ? 1 ? ? 364 ? ? ? ∴ S6 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ?3? ? ? 243 1? 3
【总结升华】等比数列中 a1 , n, q, Sn , an 中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决. 举一反三: 【变式 1】设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 【解析】若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 【答案】 q ? ?
3

4 2

因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1. 由 S3 ? S6 ? 2S9 得,

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q9 ) , ? ? 1? q 1? q 1? q

整理得 q3(2q6-q3-1)=0, 由 q≠0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0, 因 q3≠1,故 q ? ?
3

3 1 4 ,所以 q ? ? 。 2 2

【变式 2】在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 ? an?1 ? 128 , Sn ? 126 ,求 n 和 q 。 【答案】 q ?

1 或 2, n ? 6 ; 2

∵ a2 ? an?1 ? a1 ? an ,∴ a1an ? 128 解方程组 ?

? a1 ? 64 ?a1an ? 128 ,得 ? ? an ? 2 ?a1 ? an ? 66

或?

? a1 ? 2 ? an ? 64

①将 ?

? a1 ? 64 a ? an q 1 代入 Sn ? 1 ,得 q ? , 2 1? q ? an ? 2

由 an ? a1q n?1 ,解得 n ? 6 ; ②将 ?

? a1 ? 2 a ? an q 代入 Sn ? 1 ,得 q ? 2 , 1? q ? an ? 64

由 an ? a1q n?1 ,解得 n ? 6 。 ∴q ?

1 或 2, n ? 6 。 2
8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。 3 2

类型四:灵活运用等比数列的性质 例 5.在

【答案】216; 【思路点拨】等比数列的计算,一般优先考虑使用性质,如果不宜用性质,则回归为基本量 a1、q 的问题, 列出 a1、q 的方程组。 【解析】 法一:设这个等比数列为 {an } ,其公比为 q , ∵ a1 ?

8 27 8 81 9 ? a1q 4 ? ? q 4 ,∴ q 4 ? , q 2 ? , a5 ? 2 3 16 4 3
3

?8? ∴ a2 ? a3 ? a4 ? a1q ? a1q ? a1q ? a ? q ? ? ? ? 3?
2 3 3 1 6

?9? ? ? ? ? 63 ? 216 。 ? 4?
8 27 , a5 ? , 2 3

3

法二:设这个等比数列为 {an } ,公比为 q ,则 a1 ? 加入的三项分别为 a2 , a3 , a4 , 由题意 a1 , a3 , a5 也成等比数列,∴ a3 ?
2

8 27 ? ? 36 ,故 a3 ? 6 , 3 2

2 3 ∴ a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? a3 ? a3 ? 216

【总结升华】法一注重了等比数列中的特征量 q 的求解, ;法二中注重了等比中项的特征. 举一反三: 【变式 1】等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 . 【答案】 10 ∵ {an } 是等比数列,∴ a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? a4 ? a7 ? a5 ? a6 ? 9 ∴ log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? log3 (a1 ? a2 ? a3

a10 ) ? log3 (a5 ? a6 )5 ? log3 95 ? 10

【变式 2】若等比数列 ?an ? 满足 an an?1 ? 16n ,则公比为( ) (A)2 【答案】B 类型五:等比数列前 n 项和公式的性质 例 6.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求:S30=? 【思路点拨】 等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,……,第 n 个 k 项和仍然成等比数列。 【答案】130; 【解析】 法一:S10,S20-S10,S30-S20 构成等比数列,∴(S20-S10)2=S10· (S30-S20) 即 302=10(S30-40),∴S30=130. 法二:∵2S10≠S20,∴ q ? 1 , (B)4 (C)8 (D)16

∵ S10

a1 (1 ? q10 ) a1 (1 ? q 20 ) ? 40 , ? ? 10 , S20 ? 1? q 1? q



a 1 ? q10 1 ? , ∴ q10 ? 3 ,∴ 1 ? ?5 20 1? q 1? q 4

∴ S 30 ?

a1 (1 ? q 30 ) ? (?5)(1 ? 33 ) ? 130 . 1? q

【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷. 举一反三: 【变式 1】等比数列 {an } 中,公比 q=2, S4=1,则 S8=___________. 【答案】17; S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1× (1+24)=17 【变式 2】在等比数列 {an } 中,已知 Sn ? 48 , S2 n ? 60 ,求 S3n 。 【答案】63 【变式 3】等比数列 {an } 中,若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________. 【答案】4; 令 b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知:b1, b2, b3 成等比数列,∴b3=

b22 362 = =4,即 a5+a6=4. b1 324

【变式 4】等比数列 {an } 中,若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。 【答案】448; ∵{an}是等比数列,∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8, ∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56× 8=448. 类型五:等差等比数列的综合应用 例 7.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去 32,则成等差数列.若再将此等差数列的第 二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个数. 【思路点拨】 恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式. 【解析】 法一:设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d. 则 a-d, a, a+d+32 成等比数列,a-d, a-4, a+d 成等比数列.
2 ? .(1) ?a ? (a ? d )(a ? d ? 32)......... ∴? 2 ? .(2) ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ).........

d 2 ? 16 由(2)得 a= ...........(3) 8
由(1)得 32a=d2+32d ..........(4) (3)代(4)消 a,解得 d ? ∴当 d ?

8 或 d=8. 3

8 26 时, a ? ;当 d=8 时,a=10 3 9 2 26 338 ∴原来三个数为 , , 或 2,10,50. 9 9 9
法二:设原来三个数为 a, aq, aq2,则 a, aq,aq2-32 成等差数列,a, aq-4, aq2-32 成等比数列 ∴?
2 ? 1) ?2aq ? a ? aq ? 32........( 2 2 ?(aq ? 4) ? a (aq ? 32)......( 2) ?

由(2)得 a ?

2 ,代入(1)解得 q=5 或 q=13 q?4

2 . 9 2 26 338 ∴原来三个数为 2,10,50 或 , , . 9 9 9
当 q=5 时 a=2;当 q=13 时 a ? 【总结升华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为 a-d, a, a+d; 若三数成等比数列,可设此三数为

x ,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项 a,公比 q 来解 y

决问题反而简便。 举一反三: 【变式 1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4, ,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把 这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列. 【答案】为 2,6,18 或

2 10 50 ,? , ; 9 9 9

【变式 2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和 是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数. 【答案】0,4,8,16 或 15,9,3,1; 设四个数分别是 x,y,12-y,16-x ∴?

1) ?2 y ? x ? 12 ? y.......(
2 2) ?(12 ? y ) ? y(16 ? x).......(

由(1)得 x=3y-12,代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12) ∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0, ∴y2-13y+36=0, ∴ y=4 或 9, ∴ x=0 或 15, ∴四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 【高清课堂:等比数列及其前 n 项和 381054 典型例题例 2】 【变式 3】已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且 a1 ? a2 ? 2(

1 1 ? ), a1 a2

a3 ? a4 ? a5 ?

1 1 1 1 ( ? ? ), 64 a3 a4 a5

(1)求 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

【答案】(1)由题中条件可得

1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2( a ? a q ) ?a1 ? 1 1 1 ? 解得: ? ? ?q ? 2 ?a q 2 ? a q 3 ? a q 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 2 3 4 ? ? 1 64 ? a1q a1q a1q ? ?
∴数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n?1 (2)由(1)知数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n?1 ,

∴ bn ? an 2 ?

1 1 ? 2 ? 4n ?1 ? n ?1 ? 2 2 an 4

∴ Tn ? (40 ? 41 ? …… ? 4n?1 ) ? (

1 1 1 ? 1 ? …… ? n?1 ) ? 2n 0 4 4 4

1 1 ? ( )n 1 ? 4n 4 ? 2n ? ? 1 1? 4 1? 4


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