sun0769com:江西省鹰潭市2015-2016学年高二上学期期末质量检测数学理科试题 Word版含答案

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鹰潭市 2015—2016 学年度上学期期末质量检测 高 二 数 学 试 卷 (理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.注意事项: 1.第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里,第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处,写 在试题卷上的无效. 2.答题前,考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上. 3.考试结束,只交答题卷.

第Ⅰ卷 (选择题共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 个小题,本题满分 60 分) 1、复数 z ? (?2 ? i)i 在复平面内对应的点位于( A.第一象限
3 2

) C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限 (

2. 命题“ ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

)
3 2 B. ? x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0

C. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

3 2 D. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0

3.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行” 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) π D. 2 ) π B. 4 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
x

4.函数 f(x)= e sin x 的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( A.0 5.以抛物线 y ?
2 2

C.1

1 2 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ( 4
B. x ? y ? 2 x ? 0
2 2

A. x ? y ? x ? 0 C. x ? y ? y ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 y ? 0
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F1F2 为直径的圆与 a 2 b2 双曲线渐近线的一个交点为 (1, 2) ,则此双曲线方程为( )
6.已知双曲线

x2 ? y2 ? 1 A. 4
2 2

y2 ?1 B. x ? 2
2

y2 ?1 C. x ? 4
2

x2 ? y2 ? 1 D. 2

7.已知圆的方程为 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,过点 A(2,1) 的直线被圆所截,则截得的最短弦的

长度为( A.

) B. 2 C.

3 2

3 2 2

D. 2 2 )

8.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,2) C.(-3,6)
3

B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

9.若方程 x ? 3x ? m ? 0 在 [0, 2] 上只有一个解,则实数 m 的取值范围是 A. [?2, 2] C. [?2,0) ??2? 10. 我们把由半椭圆 B.(0, 2] D. (??, ?2) ? (2, ??)

y2 x2 x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0 ) 与半椭圆 ? ? 1( x ? 0) 合成的 a2 b2 b2 c2

曲线称作“果圆( ” 其中 a 2 ? b 2 ? c 2 , a ? b ? c ? 0 ) 。 如图, 设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1、 A2 和 B1、 B2 是“果圆”与 x, y 轴的交点, 若△F0F1F2 是腰长为 1 的等腰直角三角形,则 a,b 的值分别为 A.5,4 B. ( )

6 11, 2 C. D. ,1 2 2 , 11 . 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R , f (?1) ? 1 3 , 对 任 意 x ? R , 函 数 导 数 f '( x) ? 3 , 则 , f ( x) ? 3x? 4的解集为( ) 5 A. (?1,1) B. (?1, ??) C. (??, ?1) D. (??, ??)
12 . 已 知 圆

7 ,1 2

M : ( x ? 7)2 ? y2 ? 64

点P为圆M上的动点, 点Q在NP上, ??? ? ??? ? ) GQ?NP=0,则点G的轨迹方程是 (

N( 7 ,, 0 ??? ? ???? 点G在线段MP上,且满足NP=2NQ ,
, 定 点

)

x2 y 2 ? ?1 A. 16 9

x2 y 2 ? ?1 B. 64 57

x2 y 2 ? ?1 C. 16 9

x2 y 2 ? ?1 D. 64 57

第Ⅱ卷 (非选择题共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13.

?

2

?2

4 ? x2 =

.

? x, y ? 0 ? 14. 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
15.已知 F1 , F2 分别为椭圆

.

x2 y 2 ? ? 1(3 ? b ? 0) 的左、右焦点,若存在过 F1 , F2 的圆与直 9 b2


线 x ? y ? 2 ? 0 相切,则椭圆离心率的最大值为

16.设函数 f(x)=kx3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 k 的 值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18—22 题均为 12 分,共计 70 分,解答时应写 出解答过程或证明步骤)

x2 y2 17.已知命题 p :方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :关于 X 的方 m ?1 3 ? m
程 x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实根, (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.

18.已知圆 C: x2 ? y 2 ? 8 y ? 14 ? 0 ,直线 l 过点 (1,1)

(1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程; (2) 当l与圆C交于不同的两点A,B,且 AB =2时,求直线l的方程。

19.已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上的一点 M (3, y0 ) 到焦点 F 的距离等于 5.
2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)若过点 (4, 0) 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求 ?ABO 面
积最小值.

20.已知函数 f(x)=ex-ax-1.

(1)若 a ? 1 ,求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请
说明理由.

21. 已知椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 , 左焦点为 F (?1, 0) , 过点 D (0, 2) 2 2 a b

且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求 k 的取值范围; (3)在 y 轴上,是否存在定点 E ,使 AE ? BE 恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标 和这个定值;若不存在,说明理由.

??? ? ??? ?

22. 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax ? x2 . (Ⅰ)若 x ? 1 为函数 f ( x ) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅲ)证明:对任意正整数 n , ln(n ? 1) ? 2 ?

3 4 n ?1 ? 2 ? ??? ? 2 . 2 2 3 n

鹰潭市 2015—2016 学年度上期期末质量检测 高二数学(理)试卷参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 12 个小题,本题满分 60 分) 1D 2B 3A 4B 5D 6C 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13、 2? 14、 [?3,3] 15、

2 3

16、4

三.解答题(17 题 10 分,18—22 题均为 12 分,共计 70 分. 需要写出解答过程或证明步骤) 17. 解: (1)因为方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 m ?1 3 ? m
.??3 分 .??5 分

3 ? m ? m ?1 ? 0
解得

?1 ? m ? 1

(2)若q为真命题,则? = 4m 2 ? 4(2m ? 3) ? 0, 解得 -1<m<3

.??6分

因为“p ? q”为假命题,“p ? q”为真命题,等价于p, q恰有一真一假 ?7分 ??1 ? m ? 1 当p真q假时, ,则m ??             .?? 8分 ? ?m ? ?1或m ? 3 ?m ? 1或m ? ?1 当p假q真时, ,则1 ? m<3             .??9分 ? 1? m ? 3 ?? 综上所述,实数m的取值范围是[1,3)。        .??10分
18. 解: (1)圆 C: x2 ? y 2 ? 8 y ? 14 ? 0 ,配方,得 x2 ? ( y ? 4)2 ? 2, 圆心 C ? 0,4? ,半径 r ?

2,
-----2 分

① 当直线 l 的斜率不存在时, l : x ? 1 ,此时 l 不与圆相切。 ② 若直线 l 的斜率,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,由 d ? 得 k ? 7或-1 , 所以直线方程为 7 x ? y ? 6 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 (2)由 d 2 ? 12 ? ( 2)2 ,得 d ? 1 , ① 若当直线 l 的斜率不存在时, l : x ? 1 ,满足题意

3? k 1? k 2

? 2
---------4 分 ---------6 分

----------8 分

② 若直线 l 的斜率存在,设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 由 ( 得k ? ?

3? k 1? k
2

)2 ? 1 ? 2

4 ,此时 l : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 x ? 1 3

-------10 分 -------12 分

综上所述 l 方程为 x ? 1 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 19. 解: (1)依题意得 MF ? 3 ? 故此抛物线的方程为 y 2 ? 8x

p ? 5 ,所以 p ? 4 2
---------4 分

(2)设直线 l : x ? ty ? 4. A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y 2 ? 8 x, 联立方程组 ? 消去 x 得 y 2 ? 8ty ? 32 ? 0 , ? x ? ty ? 4,
所以 y1 ? y2 ? 8t , y1 ? y2 ? ?32 所以 S?ABC ?

------6 分

-------8 分

1 ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 2
---------------10 分 --------12 分 ------2 分

? 2 64(t 2 ? 2) ? 16 t 2 ? 2
当 t ? 0 时, S?ABC 取得最小值 16 2 20.解: (1) f′(x)=ex-1, 令 ex-1≥0,则 ex≥1,x≥0. 因此当,f(x)的单调增区间 [0,+∞).

----------5 分

(2)∵f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立.------6 分 ∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立. ∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3.


----------8 分 ---------10 分

当 a=e3 时,f′(x)=ex-e3<0 在 x∈(-2,3)上恒成立, 即 f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上为减函数. ------12 分

21.解: ?c 2 ? ? 2 2 (1)由已知可得? a 2 ,解得a ? 2, b ? 1 ?c ? 1 ? x2 所求的椭圆方程为 ? y 2 ? 1             ?? 2分 2 (2)设点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为y ? kx ? 2. ? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0.         ?? 4分 ? y ? kx ? 2 ? 则? ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 16k 2 ? 24 ? 0 解得:k ? ? 6 6 或k ? . 2 2

所以 k 的取值范围是 (??, ?

6 6 )?( , ??) . 2 2

……6 分

(3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 x2 ? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?

2k 2 ? 4 , 2k 2 ? 1

y1 ? y2 ? (kx1 ? 2) ? (kx2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

4 2k ? 1
2

. ……8 分

设存在点 E (0, m) ,则 AE ? (? x1 , m ? y1 ) , BE ? (? x2 , m ? y2 ) , 所以 AE ? BE ? x1x2 ? m2 ? m( y1 ? y2 ) ? y1 y2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

6 2k 2 ? 1

? m2 ? m ?

4 2k 2 ? 1

?

2k 2 ? 4 2k 2 ? 1
……8 分

?

(2m2 ? 2)k 2 ? m2 ? 4m ? 10 , 2k 2 ? 1

要使得 AE ? BE ? t ( t 为常数),只要
2 2 2

??? ? ??? ?

(2m2 ? 2)k 2 ? m2 ? 4m ? 10 ?t, 2k 2 ? 1

从而 (2m ? 2 ? 2t )k ? m ? 4m ? 10 ? t ? 0 ,

?2m 2 ? 2 ? 2t ? 0, ? 即? 2 ? ?m ? 4m ? 10 ? t ? 0,

(1) (2)

……10 分

由(1)得 t ? m ? 1 ,
2

11 105 ,从而 t ? , 4 16 ??? ? ??? ? 11 105 故存在定点 E (0, ) ,使 AE ? BE 恒为定值 . 4 16
代入(2)解得 m ? 22.(1)因为 令 f'(1)=0,即 , ,解得 a=﹣4,

……12 分

经检验:此时,x∈(0,1) ,f'(x)>0,f(x)递增; x∈(1,+∞) ,f'(x)<0,f(x)递减, ∴f(x)在 x=1 处取极大值.满足题意.---------------------------4 分

(2) 令 f'(x)=0,得 x=0,或 ①当

, ,又 f(x)的定义域为(﹣1,+∞)

,即 a≥0 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;若 x∈

(0,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减; ②当 ,即﹣2<a<0 时,若 x∈(﹣1, ,

则 f'(x)<0,f(x)递减; 若 ,0) ,则 f'(x)>0,f(x)递增;

若 x∈(0,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减; ③当 ④当 (0, 若 ,即 a=﹣2 时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞)内递减, ,即 a<﹣2 时,若 x∈(﹣1,0) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;若 x∈ ,则 f'(x)>0,f(x)递增; ,+∞) ,则 f'(x)<0,f(x)递减;-------------------9 分

(3)由(2)知当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上递减, ∴f(x)≤f(0) ,即 ln(x+1)≤x+x2, ∵ ,∴ ,i=1,2,3,…,n,







.----------------------------12分

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