【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时_图文

阶 段 1

阶 段 3

2.1.2

直线的方程 点斜式
学 业 分 层 测 评

第1课时
阶 段 2

1.掌握直线的点斜式与斜截式方程.(重点、难点) 2.能利用点斜式求直线的方程.(重点) 3.了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系.(易混点)

[ 基础· 初探] 教材整理1 直线的点斜式方程 阅读教材P80~P81,完成下列问题.
y-y1=k(x-x1) 1.过点P1(x1,y1)且斜率为k的直线方程___________________ 叫做直线的

点斜式方程.

x=x1 2.过点P1(x1,y1)且与x轴垂直的方程为______________ .

1.过点(2,3),斜率为-1的直线的方程为________.

【解析】 由点斜式方程得:y-3=-1· (x-2), ∴y-3=-x+2,即y=-x+5.
【答案】 y=-x+5

2.过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________,垂直于x轴的直线方程为 ________. 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y=1,垂直于x轴的直线方程 为x=1.
【答案】 y=1 x=1

3.若直线l过点A(-1,1),B(2,4),则直线l的方程为________.

4-1 【解析】 k= =1,l的方程为y-1=1· (x+1),即y=x+2. 2-?-1?
【答案】 y=x+2

教材整理2

直线的斜截式方程

阅读教材P82探究以上部分内容,完成下列问题.

y=kx+b 斜截式方程:__________________ ,它表示经过点P(0,b),且斜率为k的

截距 . 直线方程.其中b为直线与y轴交点的纵坐标,称其为直线在y轴上的______

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0° 时,过(x0,y0)的直线l的方程为y=y0.(√) (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念.(×) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线.(√) (4)当直线的斜率不存在时,过点(x1,y1)的直线方程为x=x1.(√)

2.已知直线的倾斜角为60° ,在y轴上的截距为-2,则此直线方程为 ________. 【导学号:60420051】
【解析】 k=tan 60° = 3,且过点(0,-2),所以直线方程为y+2= 3(x -0),即 3x-y-2=0.
【答案】 3x-y-2=0

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

利用点斜式求直线的方程
根据下列条件,求直线的方程. (1)经过点B(2,3),倾斜角是45° ; (2)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (3)经过点A(1,1),B(2,3).
【精彩点拨】 先求直线的斜率,再用点斜式求直线的方程.

【自主解答】 (1)∵直线的倾斜角为45° , ∴此直线的斜率k=tan 45° =1, ∴直线的点斜式方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. (2)∵直线与x轴平行, ∴倾斜角为0° ,斜率k=0, ∴直线方程为y+1=0×(x+1), 即y=-1.

3-1 (3)∵直线的斜率k= =2. 2-1 ∴直线的点斜式方程为y-3=2×(x-2), 即2x-y-1=0.

1.求直线的点斜式方程的前提条件是:(1)已知一点P(x0,y0)和斜率k;(2) 斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程. 2.求直线的点斜式方程的步骤是:先确定点,再确定斜率,从而代入公 式求解.

[ 再练一题] 1.求倾斜角为135° 且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(-1,2); (2)在x轴上的截距是-5.

【解】 (1)∵所求直线的倾斜角为135° , ∴斜率k=tan 135° =-1,又直线经过点(-1,2), ∴所求直线方程是y-2=-(x+1), 即x+y-1=0. (2)∵所求直线在x轴上的截距是-5,即过点(-5,0),又所求直线的斜率为 -1, ∴所求直线方程是y-0=-(x+5), 即x+y+5=0.

利用斜截式求直线的方程
根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150° ,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60° ,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【精彩点拨】 (1)直接利用斜截式写出方程;

(2)先求斜率,再用斜截式求方程; (3)截距有两种情况.

【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知,所求直线方程为y=2x +5. 3 (2)∵倾斜角α=150° ,∴斜率k=tan 150° =- 3 . 3 由斜截式可得方程为y=- 3 x-2. (3)∵直线的倾斜角为60° ,∴其斜率k=tan 60° = 3, ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3, ∴直线在y轴上的截距b=3或b=-3. ∴所求直线方程为y= 3x+3或y= 3x-3.

1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在. 2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时,可以直接写出直线的斜 截式方程;当斜率和纵截距不直接给出时,求直线的斜截式方程可以利用待定 系数法求解.

[ 再练一题] 2.根据下列条件,求直线的斜截式方程. (1)倾斜角是30° ,在y轴上的截距是0. (2)倾斜角为直线y=- 3x+1的倾斜角的一半,且在y轴上的截距为-10. 【导学号:60420052】

3 【解】 (1)由题意可知所求直线的斜率k=tan 30° =3, 3 由直线方程的斜截式可知,直线方程为y= x. 3 (2)设直线y=- 3x+1的倾斜角为α,则tan α=- 3, ∴α=120° ,∴所求直线的斜率k=tan 60° = 3. ∴直线的斜截式方程为y= 3x-10.

[ 探究共研型]
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用

探究1 对于直线y=kx+1,是否存在k使直线不过第三象限?若存在,k的 取值范围是多少?
【提示】 直线y=kx+1过定点(0,1),直线不过第三象限,只需k<0.

探究2 已知直线l的方程是2x+y-1=0,求直线的斜率k在y轴上的截距 b,以及与y轴交点P的坐标. 【提示】 ∵2x+y-1=0可变形为y=-2x+1,斜率k=-2.令x=0,得y =1,即b=1,直线l与y轴的交点为(0,1).

已知直线l经过点P(4,1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形 的面积为8,求直线l的点斜式方程.

【精彩点拨】 设出直线的点斜式方程,表示出横、纵截距,利用三角形 面积得斜率方程,求解即可.

【自主解答】 设所求直线的点斜式方程为:y-1=k(x-4)(k<0), 1 当x=0时,y=1-4k;当y=0时,x=4- k.
? 1? 1 由题意,得2×(1-4k)×?4-k?=8. ? ?

1 1 解得k=- .所以直线l的点斜式方程为y-1=- (x-4). 4 4

在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距,从而进一步表示 直线与坐标轴围成的三角形面积时,要注意截距并非一定是三角形的边长,要 根据斜率进行判断,当正负不确定时,要进行分类讨论.

[ 再练一题] 1 3.已知直线l的斜率为 6 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的方 程.
1 【解】 设直线方程为y=6x+b,则x=0时,y=b; 1 y=0时,x=-6b.由已知可得 · |b|· |-6b|=3, 2 即6|b|2=6,∴b=± 1. 1 1 故所求直线方程为y= x+1或y= x-1, 6 6 即x-6y+6=0或x-6y-6=0.

[ 构建· 体系]

1.直线y-2=- 3(x+1)的倾斜角和所过的点分别为________.
【解析】 由点斜式方程知,直线过点(-1,2),斜率为- 3 ,∴倾斜角为 120° .
【答案】 120° ,(-1,2)

2.已知直线的方程为y+2=-x-1,则直线的斜率为________.

【解析】 化直线方程为斜截式:y=-x-3, ∴斜率为-1.
【答案】 -1

2 3.经过点(-1,1),斜率是直线y= 2 x-2的斜率的2倍的直线方程是____.

2 【解析】 由方程知,已知直线的斜率为 , 2 ∴所求直线的斜率是 1),即 2x-y+ 2+1=0.
【答案】 2x-y+ 2+1=0

2 ,由直线方程的点斜式可得方程为y-1=

2 (x+

4.直线x+y+1=0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________. 号:60420053】

【导学

【解析】 直线x+y+1=0变成斜截式得y=-x-1,故该直线的斜率为- 1,在y轴上的截距为-1.若直线的倾斜角为α,则tan α=-1,即α=135° .
【答案】 135° ,-1

5.求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.

【解】 设直线方程为y-4=k(x+3)(k≠0). 当x=0,y=4+3k, 4 当y=0,x=- k-3,

4 ∴3k+4-k -3=12,即3k2-11k-4=0, 1 ∴k=4或k=- . 3 1 ∴直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=- 3 (x+3),即4x-y+16=0或x+3y- 9=0.

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