江西省宜春市上高二中2014届高三上学期第五次月考 理科数学 Word版含答案

2014 届高三第五次数学(理科)月考试卷
一、选择题(10× 5=50 分) 1.在正项等比数列{an}中,a3= 2,a5=8a7,则 a10=( 1 1 1 1 A. B. C. D. 128 256 512 1 024 ( ) A.(-2,1) B.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) → → → 3. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若OB=a1OA+a2 014OC, 且 A、 B、 C 三点共线(该 直线不过点 O),则 S2 014 等于( A.1 007 B.1 008 ) ) C.2 013 D.2 014
2 2 2

?x ? 2 y ? 0 ? 8.设 z ? x ? y ,其中实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值 ?0 ? y ? k ?
为( ) A.—3 B.—2 C.—1 D.0 9. 已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 ? x) , 且当 x ? 2 时其导函数

)

2.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为

f ?( x) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则(
A. f (2 ) ? f (3) ? f (log 2 a)
a

) B. f (3) ? f (log 2 a) ? f (2 )
a

C. f (log 2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

D. f (log 2 a) ? f (2 ) ? f (3)
a

? 10 . 若 f ( x )? 1
g ( x) ? f ( x)? ? 1? A. ?0, ? ? 2?

4.设 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且满足:sin B ? sin C ? sin A ? 3 sin B sin C 则 sin( B ? C ) 等于(

A.

5. 已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

1 , 当 x ? [ 0 , 1] 时 , f ( x) ? x , 若 在 区 间 ? ?1,1? 内 , f ( x ? 1) m 的取值范围是 ( ) mx ? 有两个零点,则实数 m ? 1? ? 1? ?1 ? B. ? , ?? ? C. ? 0, ? D. ? 0, ? ? 2? ? 3? ?2 ?

二、填空题(5× 5=25 分) 11.函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 在点(1,2)处的切线与函数 g ( x) ? x 围成的图形的
3 2 2

面积等于



→ 2→ 1→ → 2→ 1 → 12.设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP= AB+ AC, AQ= AB+ AC, 则△ABP 的 5 5 3 4 面积与△ABQ 的面积之比为____ 13.函数 y ? sin( )

?

_

1 13 ? 6.已知 cos? ? , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , ? ? ( 7 14 2 ? ? ? 5 A. B. C. D. ? 4 6 3 12 5 6 2 B. 3
A. C .1 D.

2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如

图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与

x 轴的交点,则 tan ?APB
) 14 . 设 a ?



7.如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方形,则该几何体的体积是(

?

?

0

x , (sin x? 1 ? 2 2c o sd x )则多项式 2


(a x ?

1 6 2 ) ? ( x ? 2) 的常数项是 x

15. 16 .f ( x) ?| 2 x ? 1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? , ?, f n ? x ? ? f ? f n?1 ? x ? ? 则函数

y ? f 4 ? x ? 的零点个数为



1 2

2014 届高三第五次数学(理科)月考试卷答题卡
一、选择题(10× 5=50 分) 1 2 3 题号 答案 二、填空题(5× 5=25 分) 11、 三、解答题 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin ? x, 2 cos ? x) , b ? (cos ? x, ? 12、 4 5 6 7 8 9 10

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,数列{an}、{bn}满足 条件:a1=1,an+1=g(an)+1(n∈N*),bn=

1 . 1? ?1 f (n) ? ??g (n) ? 3? ? 2? ?2

(1)求数列{an}的通项公式; 13、 14、 15、 m (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn,并求使得 Tn> 对任意 n∈N*都成立的最大正整数 m. 150

?

?

? ? ? ? (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a( 3b ? a) ? 1 ,且函数 f ( x) 的最小正周期为 。 2 2 (1)求 ? 的值; (2)设 ?ABC 的三边 a、b、c 满足: b ? ac ,且边 b 所对的角为 x , 若方程 f ( x) ? k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围。

2 3 cos ? x) 3

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 S n , 且 Sn+1 -3Sn -2n-4=0(n ? N )
+

(1)求数列 {an } 的通项公式; 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?
3

] 上单调递增,在区间

(2)设函数 f ( x) ? an x ? an ?1 x ? an ?2 x ? ? ? a1 x , f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,
2 3 n

/

? 2? [ , ] 上单调递减;如图,四边形 OACB 中, a , b , c 为 △ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 3 3 C 4? ? cos B ? cosC sin B ? sin C 满足 . ? 3 sin A cos A B (Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 , ? A O 求四边形 OACB 面积的最大值.

令 bn ? f (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性。
/

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x, (a ? R)
2

1 时,判断函数 f(x)在定义域内的单调性并给予证明; 2 f ( p ? 1) ? f (q ? 1) (2)在区间(1,2)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,若不等式 >1 p?q
(1)当 a ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? kx 2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;

?x ? 0 (2) x ?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (其中n>1且n ? N n ,e=2,71828? ) 3 2 3 4 n e

2 ? ln(2n ? 1) ? 2 , n ? N ? . (3)证明: ? i ?1 2i ? 1

n

2014 届高三第五次数学(理科)月考试卷答案
1—10:DAAAD CAACD

4 13、-2 14、-332 15、8 5 ? ? ? 16. (1)? f ( x) ? a ? ( 3b ? a) ? 1
11、4/3 12、

? (sin ? x, 2cos ? x) ? (sin ? x ? 3 cos ? x, 0) ? 1

3 1 1 sin? 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 ? 1 ………………………………… 5 分 ? sin(2? x ? ) ? 6 2 2? ? ………………………………… 6 分 ?T ? ? ?? ? 2 2? 2 a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 (2)? 在?ABC 中, cos x ? ? ? …………………8 分 2ac 2ac 2 ? ? ? 7? ………………………………… 9 分 ?0 ? x ? ? 4x ? ? 3 ?6 6 6 ? 1 ? f ( x) ? sin(4 x ? ) ? ? k 有两个不同的实数解时 6 2 1 ………………………………… 12 分 k 的取值范围是: (?1, ) 。 2 3 2? 4? ? 17.解: (Ⅰ)由题意知: ,解得: ? ? , ………………………2 分 2 ? 3 sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? ? sin A cos A ?sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cosC sin A ?sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cosC sin A ? 2 sin A ? sin( A ? B) ? sin( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………4 分 ?sin C ? sin B ? 2 sin A ??b ? c ? 2a ……………………………………6 分 (Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ABC 为等边三角形 1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 …………8 分 2 4 5 3 ? 5 3 ? sin ? - 3 cos? ? ,……………10 分 ? 2sin (? - ) ? 4 3 4 ? ? 2? ?? ? (0,? ) ,?? - ?(- , ), 3 3 3 5 3 5? ? ? 当且仅当 ? - ? , 即? ? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………12 分 4 6 3 2 ?

18、解:(1)由题意 an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1). ∵a1=1,∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. - ∴an+1=2×2n 1,∴an=2n-1. 1 1 1 1 (2)∵bn= = ?2n+1-2n+3?, 2 ? (2n+1)(2n+3) ? 1 1 ? 1? 1 1 1 1 ∴Tn= 3-5+5-7+…+2n+1-2n+3 2? ? 1 ? 1?1 n n = 3-2n+3 = 2? ? 3×(2n+3)=6n+9. Tn+1 n+1 6n+9 6n2+15n+9 ∵ = · = >1, Tn 6n+15 n 6n2+15n ∴Tn<Tn+1,n∈N*. 1 ∴当 n=1 时,Tn 取得最小值 . 15 1 m 由题意得 > ,∴m<10. 15 150 ∵m∈N+,∴m=9. 19. (1)由 Sn+1 -3Sn -2n-4=0(n ? N ) 得 Sn -3Sn-1 -2n+2-4=0(n ? 2) ……………
+

2 4分

分 两式相减得 an ?1 ? 3an ? 2 ? 0, 可得an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1)(n ? 2) , …………… 比数列,所以 an ? 5 ? 3
/

} 是一个首项为 5,公比 q ? 3 的等 又由已知 a2 ? 14 ,所以 a2 ? 1 ? 3(a1 ? 1) ,即 {an ?1
n ?1

? 1(n ? N * )

…………… 6 分
n ?1

(1)因为 f ( x) ? an ? 2an ?1 x ? ? ? na1 x

,所以

f (1) ? an ? 2an ?1 ? ? ? na1
/

? (5 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(5 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? n(5 ? 30 ? 1) ? 5[3n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 ? 3 ? 3n ?3 ? ? ? n ? 30 ] ?

……………8 分

n(n ? 1) 2 n ?1 n?2 n ?3 0 n n ?1 n?2 1 令 S ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 则 3S ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 n 3 ? 3n ?1 5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) / ? 所以,作差得 S ? ? ? 所以 f (1) ? 2 4 4 2 n ?1 5 ? 3 ? 15 n(n ? 6) ? 即 bn ? …………… 4 2 10 分 5 ? 3n ? 2 ? 15 (n ? 1)(n ? 7) 15 ? 3n 7 ? ?n? ? 0 而 bn ?1 ? 所以,作差得 bn ?1 ? bn ? 4 2 2 2 所以 {bn } 是单调递增数列。 …………… 12 分

20.

1 1 ? 2kx ,由 f ' (1) ? 0得k ? ? 经检验符合题意……(3 分) 1? x 4 2 (2) 依 题 意 知 , 不 等 式 x ? ln( x ? 1) ? kx ? 0 在 x ? ?0,??? 恒 成 立 . 令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? kx2 , 当 k≤0 时,取 x=1,有 g (1) ? 1 ? ln 2 ? k ? 0 ,故 k≤0 不合.…………………………(4
21.解析:(1) f ( x) ?
'

分) x ? x[2kx ? 1 ? 2k ] -2kx= . x+1 x ?1 1-2k 令 g′(x)=0,得 x1=0,x2= >-1. ……………………………(5 分) 2k 1-2k 1 ①当 k≥ 时, ≤0,g′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,因此 g(x)在[0,+∞)上单调递减, 2 2k 1 从而对任意的 x∈[0,+∞),总有 g(x)≤g(0)=0,故 k≥ 符合题意.…………(6 分) 2 1-2k 1 - 2 k 1 ?,g′(x)>0, ②当 0<k< 时, >0, 对于 x∈?0, 2 2k 2k ? ? 1-2k? 1-2k? 故 g(x)在?0, 内单调递增,因此当取 x0∈?0, 时,g(x0)>g(0)=0,不合. 2k ? 2k ? ? ? 1 综上, k ? . …………………………(8 分) 2 (3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.……………(9 分) 当 k>0 时, g′(x)=

x 1 当 n≥2 时,在(2)中取 k= ,得 x ? ln( x ? 1) ? ……………(10 分) 2 2
2 2 2 2 2 取 x= 代入上式得: -ln(1+ )≤ < ………(12 分) 2i-1 2i-1 2i-1 ?2i-1?2 (2i ? 3)(2i ? 1)
n n 2 ?? 2 ? 2 ? ? ?2i-1-ln?1+2i-1??≤2-ln3+ ? ? ? i=1 i=2 (2i ? 3)(2i ? 1)

2

-ln(2n+1)≤2-ln3+1- <2. ? 2n-1 i=1 2i-1 综上, ?
n

n

2

1

i=1

2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1

……………………………… (14 分)


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