广东省珠海市高三上学期期末数学文答案

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珠海市 2013-2014 学年度第一学期期末学生学业质量监测

高三文科数学试题参考答案阅卷版

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.BBBCCCBCDA

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,

两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.

?2x ? y ? 2

11.(线性规划)变量

x、y

满足线性约束条件

?? ? ?

x x

? ?

2y 0

?

2

,则目标函数

z

?

x

?

y

的最大值为

.4 3

?? y ? 0

12.(导数)曲线 y ? xex ? 2x ?1 在点 (0,1) 处的切线方程为 . 3x ? y ?1 ? 0

13.(函数)定义在

R

上的函数

f

(x) 满足

f

(x)

?

???lfo(gx3

(1 ? ?1)

x) ?

f

(x ? 2)

x ? 0 ,则 x?0

f

(2014)

?

14.(坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中圆 C 的参数方程为:

.log3 2

?? x ? ?? y

? 3 ? 3cos? ? 1? 3sin?

,(?

为参数),以 ox 为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:?

cos(?

?

? 6

)

?

0,



圆 C 截直线所得弦长为

42

C

15.(几何证明选讲选做题)如右图, AB 是圆 O 的直径, BC 是圆 O 的切线,切点 D

为 B , OC 平行于弦 AD ,若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ?

.4

A

B

O

ks5u (第 15 题图)

三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分.

16.(本小题满分 12 分)已知 f (x) ? 2 cos(? ? x) cos x ? 2
(1)求 f (? ) 的值; 6
(2)当 x ?[0, ? ] 时,求 f (x) 的最值. 2

3 cos 2x , x ? R

解: (1) f (x) ? 2 sin x ? cos x ? 3 cos 2x …………………………………………………………………1 分

? sin 2x ? 3 cos 2x ……………………………………………………………………………2 分
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? 2sin(2x ? ? ) …………………………………………………………………………………4 分 3

f (? ) ? 2sin(2 ? ? ? ? ) ? 2sin 0 ? 0 ………………………………………………………………6 分

6

63

(2) x ?[0, ? ] ,?2x ? ? ?[? ? , 2? ] ……………………………………………………………8 分

2

3 33

?sin(2x ? ? ) ?[? 3 ,1] …………………………………………………………………………10 分

3

2

?2sin(2x ? ? ) ?[? 3, 2] …………………………………………………………………………11 分 3

? fmax (x) ? 2 , fmin (x) ? ? 3 ……………………………………………………………………12 分

17.(本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,

某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表

所示(单位:min):

组别

候车时间

人数



[0, 5)

2



[5,10)

6



[10,15)

4



[15, 20)

2



[20, 25]

1

(1)求这 15 名乘客的平均候车时间;

(2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 解析:

(1) 1 (2.5? 2 ? 7.5? 6 ?12.5? 4 ?17.5? 2 ? 22.5?1) ? 1 ?157.5=10.5 min.-----------------3 分

15

15

(2)候车时间少于 10 分钟的概率为 3 ? 6 ? 8 , 15 15

-----------------4 分

所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60? 8 ? 32 人. 15

-----------------6 分

(3)将第三组乘客编号为 a1, a2 , a3, a4 ,第四组乘客编号为 b1, b2 .从 6 人中任选两人有包含以下基本事件:

(a1, a2 ), (a1, a3 ), (a1, a4 ), (a1, b1), (a1, b2 ) ,

(a2 , a3), (a2 , a4 ), (a2 , b1), (a2 ,b2 ) ,

(a3, a4 ), (a3, b1), (a3, b2 ) ,

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(a4 , b1), (a4 , b2 ) ,

(b1, b2 ) , 其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 8 .
15

----------------10 分 -----------------12 分

18.(本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 A1 ABB1 为菱形, ?A1AB ? 45? ,四

边形 BCC1B1 为矩形,若 AC=5 , AB ? 4, BC ? 3.

C

C1

(1)求证: BC //平面 A1B1C1 ; (2)求证: AB1 ? 面 A1BC ; (3)求三棱锥 C ? A1B1C1 的体积.
ks5u

B

B1

A

A1

(第 18 题图)

(1).证明: 四边形 BCC1B1 为矩形,? BC B1C1 …………………………………………1 分

BC ? 平面 A1B1C1 , B1C1 ? 平面 A1B1C1

? BC //平面 A1B1C1

…………………………………………3 分

(2)证明:在 ?ABC 中 AC=5 , AB ? 4, BC ? 3,

满足 AC2 =AB2 ? BC2 ,所以 ?ABC ? 900 ,即 CB ? AB …………………………………………5 分

又因为四边形 BCC1B1 为矩形,所以 CB ? BB1

? CB ? BB1



? ?? ?

CB ? AB BB1 ? 面AA1B1B

,所以

CB

?

面AA1B1B

? ?

AB

?

面AA1B1B

?? BB1 AB ? B

又因为 AB1 ? 面AA1B1B ,所以 CB ? AB1 ………………………………………………………7 分

又因为四边形 A1 ABB1 为菱形,所以 AB1 ? A1B

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? AB1 ? CB



? ?? ?

AB1 CB ?

? A1B 面A1BC

,所以

AB1

?

面A1BC

? ?

A1B

?

面A1BC

?? CB A1B ? B

………………………………………………………9 分

(3)解:过 B 作 BD ? A1B1 于 D ,

由第(1)问已证 CB ? 面AA1B1B ? C1B1 ? 面AA1B1B

?C1B1 ? BD ………………………………………………………10 分

? BD ? 平面AA1B1B

………………………………………………………11 分

由题设知 BD=2 2

………………………………………………………12 分

11

11

? V锥C- A1B1C1

?

? 3

2

A1B1

? B1C1

? BD

?

? 3

? 4? 3? 2 2

2
………………………………………13 分

?4 2

?三棱锥 C ? A1B1C1 的体积是 4 2 ………………………………………………………14 分
19.(本小题满分 14 分)

? ? 已知数列 an 的各项都是正数,且对任意 n ? N * 都有 a13 ? a23 ? a33 ? ? an3 ? Sn2 +2Sn ,其中 Sn

为数列?an? 的前 n 项和.

(1)求 a1 ,a2 ;

(2)求数列?an? 的通项公式;

(3)设 bn ? 3n ? (?1)n?1? ?2an ,对任意的 n ? N * ,都有 bn?1 ? bn 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

解:(1)令 n ?1 ,则 a13 ? S12 +2S1 ,即 a13 ? a12 +2a1 ,所以 a1 ? 2 或 a1 ? ?1 或 a1 ? 0

又因为数列?an? 的各项都是正数,所以 a1 ? 2 …………………………………………………2 分



n

?

2 ,则 a13

?

a23

?

S

2 2

+2S2

,即 a13

?

a23

?

(a1

?

a2 )2

?

2(a1

?

a2 )

,解得 a1

?

3 或 a1

?

?2

或 a1

?

0

又因为数列?an? 的各项都是正数,所以 a2 ? 3 …………………………………………………4 分

(2) a13 ? a23 ? a33 ? ? an3 ? Sn2 +2Sn (1)

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? a13 ? a23 ? a33 ?

?

a3 n?1

?

S2 n?1

+2Sn?1

(n

?

2)

(2)

由 (1) ? (2) 得 an3

?

(Sn2 +2Sn )

?

(

S2 n ?1

+2Sn

?1

)

化简得到 an2 ? Sn ? Sn?1 ? 2 (3) ……………………………………………………………………7 分

?

a2 n?1

?

Sn?1

?

Sn?2

?

2

(n

?

3)

(4)



(3)

? (4)



an2

?

a2 n?1

?

(Sn

?

Sn?1

?

2)

?

(Sn?1

?

Sn?2

?

2)

化简得到

an2

?

a2 n?1

?

an

?

an?1 ,即

an

?

an?1

? 1 (n

?

3)

当 n ? 2时,a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? an?1 ? 1 (n ? 2) ………………………………………………9 分

所以数列?an? 是一个以 2 为首项,1为公差的等差数列

?an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ? n ?1 ……………………………………………………………10 分

(3) bn ? 3n ? (?1)n?1? ? 2n?1

因为对任意的 n ? N * ,都有 bn?1 ? bn 恒成立,即有 3n?1 ? (?1)n ? ? 2n?2 ? 3n ? (?1)n?1? ? 2n?1 化简得 (?1)n?1? ? 1 ? ( 3)n ……………………………………………………………………………12 分 32

当 n 为奇数时, ? ? 1 ? ( 3)n 恒成立, ? ? 1 ? ( 3)1 ,即 ? ? 1

32

32

2

当 n 为偶数时, ? ? ? 1 ? ( 3)n 恒成立, ? ? ? 1 ? ( 3)2 ,即 ? ? ? 3

32

32

4

?? 3 ? ? ? 1 …………………………………………………………………………………………14 分

4

2

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x(1 ? x)2 , x ? (??,0].

(1)求 f (x) 的极值点;

(2)对任意的 a ? 0,记 f (x) 在[a,0] 上的最小值为 F (a) ,求 k ? F (a) 的最小值. a
解:(1) f ?(x) ? (1 ? x)2 ? 2x(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) ………(1 分)



f

?(x)

?

0 解得:

x1

?

?1, x2

?

?1 3

当 x ? ?1或 x ? ? 1 时, f ?(x) ? 0 3

当 ?1 ? x ? ? 1 时, f ?(x) ? 0 3

………(2 分) ………(3 分) ………(4 分)

所以,有两个极值点:

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x1 ? ?1是极大值点, f (?1) ? 0 ;

………(5 分)

x2

?

?1 3

是极小值点,

f

(? 1) 3

?

?

4 27



………(6 分)

(2) 过 点 (? 1 ,? 4 ) 做 直 线 y ? ? 4 , 与 y ? f (x) 的 图 象 的 另 一 个 交 点 为 A (x,? 4 ) , 则

3 27

27

27

? 4 ? x(x ? 1)2 ,即 27x3 ? 54x2 ? 27x ? 4 ? 0 ………(8 分) 27

已知有解 x ? ? 1 ,则 (3x ? 1)(9x2 ? 15 x ? 4) ? 0 3

解得 A(? 4 ,? 4 ) 3 27

………(10 分)

当 a ? ? 4 时, F(a) ? f (a) ; k ? f (a) ? (1 ? a)2 ? 1

3

a

9

………(11 分)

当 ? 4 ? a ? ? 1 时, F (a) ? ?

4

,k

?

?4 27

?

?4 27

? 1,

3

3

27

a ?4 9

3

其中当 a ? ? 4 时, k ? 1 ;

3

9

………(12 分)

当 ? 1 ? a ? 0 时, F(a) ? f (a),k ? f (a) ? (1? a)2 ? 1

3

a

9

……(13 分)

所以,对任意的 a ? 0, k 的最小值为 1 (其中当 a ? ? 4 时, k ? 1 ).……(14 分)

9

3

9

21.(本小题满分

14

分)已知椭圆 C

:

x2 2

?

y2

? 1 的左、右焦点分别为

F1

、F2

,O

为原点.

(1)如图 1,点 M 为椭圆 C 上的一点, N 是 MF1 的中点,且 NF2 ? MF1 ,求点 M 到 y 轴的距离;

My N

F1 O

F2

x

图1

(第 21 题图)

(2)如图 2,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 P 、Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R ,使四边形 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

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解:(1)由已知得 F1(?1,0) , F2 (1,0)



M

(

x0

,y0

)

,则

MF1

的中点为

N

(

x0 ? 2

1

,y0 2

)

MF1 ? NF2 ? F1M ? F2N ? 0 ,……………………………………………………………………………3 分



( x0

?1,y0 )

?(

x0 ? 2

3

,y0 2

)

?

0

整理得 x02 ? 2x0 ? 3 ? y02 ? 0 ……………………① ………………………………………………………4 分

又有

x02 2

?

y02

?1

…………………………………②

由①②联立解得 x0 ? 2 ? 2 2 或 x0 ? 2 ? 2 2 (舍) ………………………………………………………5 分
?点 M 到 y 轴的距离为 2 2 ? 2 ……………………………………………………………………………6 分
(2)设 P(x1 ,y1) , Q(x2 ,y2 ) , R(xR ,yR ) 四边形 OPRQ 是平行四边形

?线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点,即 x1 ? x2 ? xR , y1 ? y2 ? yR ………………………………7 分



R

在椭圆上,? (x1

? x2 )2 2

? ( y1

?

y2 )2

?1



( x1

? x2 )2 2

? [k(x1

?

x2 )

?

2m]2

?1

化简得 (1? 2k 2 )(x1 ? x2 )2 ? 8km(x1 ? x2 ) ? 8m2 ? 2 ? 0 ……………………………③
…………………………………………………9 分



? x2 ? ?2

?

y2

? 1 得 (1?

2k 2 )x2

?

4kmx

?

2m2

?

2

?

0

?? y ? kx ? m

由 ? ? 0 得 2k 2 ?1 ? m2 ……………………………………④



x1

?

x2

?

? 4km 1? 2k 2

…………………………………………………11 分

代入③式得 16(1? 2k 2 )k 2m2 (1? 2k 2 )2

?

32k 2m2 1? 2k 2

? 8m2

?2

?

0

整理得 4m2 ? 1? 2k 2 代入④式得 m ? 0 ,又 4m2 ? 1? 2k 2 ? 1

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?m? ?1 或m? 1

2

2

? m 的取值范围是 (?? ,? 1]
2

[1 ,? ?) 2

……………………………………………14 分

ks5u

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