广东仲元中学2011学年第一学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案

广东仲元中学 2011学年第一学期期中考试 高二数学(理科)试卷参考答案

一.选择题

1-8 BBAC CCCB

二.填空题

9. 17 , 6.3

10.

? 4

11. ?x ? R, 2 x2 ? 3ax ? 9 ? 0
13.1 5
g(x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,
15.解:设
x2 ? 2ax ? 4 ? 0 无解 由于关于 x 的方程 故 ? ? 4a 2 ?16 ? 0,? ?2 ? a ? 2

x2 12. 10

?

y2 6

?1

14. (1,2]

又因为

f (x)

?

(3 ? 2a)x 是增函数,所以3 ? 2a

? 0,? a

?

3 2

又由于 p ? q 为真, p ? q 为假,可知 p 和 q 一真一假

(1)若

p



q

假,则

? ?? ? ??

2?a?

a

?

3 2

2 ,?

3 2

?

a

?

2

(2)若

p



q

真,则

?? a ?

??

?

?2或

a

?

3 2

a

?2 ,? a

?

?2

综上可知,实数

a

的取值范围为

3 2

?

a

?

2,或

a ? ?2

16.解:(Ⅰ)因为 cos

B

?

4 5

,所以sin

B

?

3 5

.

由正弦定理

a sin

A

?

b sin B

,可得

a sin 30o

?

10 3

.

所以

a

?

5 3.

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S

?

1 2

acsin

B



sin

B

?

3 5



所以

3 10

ac

?

3



ac

?

10

.

由余弦定理b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B ,

得4

?

a2

?

c2

?

8 5

ac

?

a2

?

c2

? 16

,即 a

?c

? 20 .

2

2

所以 (a ? c)2 ? 2ac ? 20 , (a ? c)2 ? 40 ,所以, a ? c ? 2 10 .

17.证明: (1)连结 AC1 交 A C 于 E,连结 DE, ∵AA1C1C 为矩形,则 E 为 AC 的1 中点. 又 D 是 AB的中点,∴在△AB1C1中,DE∥BC .
1

又 DE ? 平面 CA D,B1C? 平面 CA D,

1

1

∴BC1∥平面 CA D. 1

(7 分)

(2)∵AC=BC,D 为 AB的中点,

∴在△ABC中,AB⊥CD. (8 分)

又 AA ⊥平面 ABC,CD? 平面 ABC,

∴AA1⊥1 CD.又 AA ∩AB=A,

∴CD⊥平面 AA1 B1 B. 1

(12分)

又 CD ? 平面 CA D,

1

∴平面 CA1D⊥平面 AA B B. (14分) 11

18.解: (1)

(2)由散点图可知 y 与 x 线性相关,设回归直线方程为 $y ? bx ? a .列表:

i

1

2

3

4

5

xi

2

4

6

8

10

yi

64

134

205

285

360

xi yi

128

536

1230

2280

3600

x ? 6 y ? 209.6

∴b ?

7774 ? 5 ? 6 ? 209.6 220 ? 5 ? 62

?

37.15



5
? xi ? 220
i ?1 2

∴ a ? 209.6 ? 37.15? 6 ? ?13.3 .

∴回归直线方程为 y$? 37.15x ?13.3 .

5
? x y ? 7774
i ?1 i i

(3)当 x ? 9 时, $y ? 37.15? 9 ?13.3 ? 321.05 .

所以尿汞含量为 9 毫克/升时的消光系数为

321.05

19.(Ⅰ)证明:由

S n

?

4a n

? 3, n

?

1

时,

a 1

?

4a 1

?

3

,解得

a 1

?1.

因为 Sn ? 4an ? 3 ,则 Sn?1 ? 4an?1 ? 3 (n ? 2) ,

所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4a


整理得 an

?

4 3

an?1 .又 a 1? 1 ?

0,

n?1

所以?an? 是首项为

1,公比为

4 3

的等比数列.

……………………6 分

(Ⅱ)解:因为 a
n

?

( 4)n?1 3



由 bn?1 ? an ? bn (n ? N* ) ,得bn?1 ? bn ? ( 43)n ?1 .

可得bn ? b1 ? (b2 ? b`1) ? (b3 ? b2) ? 或 ? (nb ?nb?1 )



2

?

1

?

(

4 3

)

n?1

1?

4 3

? 3( 43) n?1

?1 ,( n ?

2 ),

当 n ? 1 时也满足,

所以数列{bn}的通项公式为 b n

?

3(

4 3

)

n?1

?1.

…………………………14分

20.解:(1)由题可得 F1 (0, 2) , F2 (0 ? 2) ,设 P0 (x0 , y0 ) ( x0 ? 0, y0 ? 0)

则 PF1 ? (?x0 , 2 ? y0 ) , PF1 ? (?x0 ,? 2 ? y0 )

……2分



PF

1?

PF

2?

x

2 0

?

(2

?

y02

)

? 1 ,∵点

P(x

0,

y

0)

在曲线上,则

x02 ? y02 24

? 1 ,∴

x0 2

?

4

? y02 2



从而

4 ? y02 2

? (2

?

y02 )

? 1 ,得

y0

?

2 .则点 P 的坐标为 (1,

2) .

………5分

(2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,………6分

则 BP 的直线方程为: y ? 2k(x ? 1) .由 ???y ? 2 ? k(x ?1)

??

x2 2

?

y2 4

?1

得 (2 ? k 2 )x 2 ? 2k( 2 ? k)x

?(

2

? k)2

?4

? 0 ,设 B(xB , yB ) ,则1? xB

?

2k(k ? 2?k

2) , x

2

B

?

2k(k ? 2?k

2) ?1?
2

k2

? 2 2k ? 2?k 2

2 ,

同理可得

xA

?

k2

? 2 2k 2? k2

?

2)

,则

xA

?

xB

?

4 2k 2?k2



yA

?

yB

? ?k(xA

?1) ? k(xB

?1) ?

8k 2? k2

.………9分

所以:AB 的斜率 k AB

?

yA xA

? ?

yB xB

?

2 为定值. ……10分

(3)设 AB 的直线方程: y ? 2x ? m .

y

A

F1

P

B

O

x



??y ?

? ??

x2 2

?

2x
y2 4

?m ?1

,得

4x 2

?

2

2mx ? m2 ? 4 ? 0 ,

F2

由 ? ? (2 2m)2 ?16(m2 ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2

P 到 AB 的距离为 d ? | m | ,………12分

3

则 S?PAB ? 1 | AB | ?d ? 1

2

2

(4

?

1 2

m2

)

?

3

?

|

m| 3

?

1 8

m2

(?m 2

?

8)

?

1m 8( 2

?m 22

? 8) 2

?

2。

当且仅当 m ? ?2 ? ?? 2 2,2 2 ?取等号

∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。………14分


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