jbb656.cc:高一数学任意角的三角函数及三角函数线课件1_图文

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一、背景知识

任意角的三角函数是三角学中最基本 最重要的概念之一。三角学起源于对三角 形边角关系的研究,始于古希腊的喜帕恰 斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量, 在相当长的时期里隶属于天文学。直到 1464年,德国数学家雷基奥蒙坦著《论各 种三角形》,才独立于天文学之外对三角 知识作了较系统的阐说;14~16世纪,三角 学曾一度成为欧洲数学的主要内容,研究 的方面包括三角函数值表的编制、平面三 角形和球面三角形的解法,三角恒等式的 建立和推导等等。1631年,三角学输入中 国,三角学在中国早期比较通行的名称是 “八线”和“三角”。“八线”是指在单 位圆上的八种三角函数线:正弦线、余弦 线、正切线、余切线、正割线、余割线、 正矢线、余矢线。随着科学的发展,三角 函数成为研究自然界和生产实践中周期变 化现象的重要数学工具,它在测量、力学 工程和无线电学中有着广泛的应用。

温故而知新 BC AC cos A ? sin A ? AB AB
BC tan A ? AC

斜边
邻边

对 边
C

B

AC cot A ? BC

A

(0 在直角三角形ABC中,角A的取值范围是? o,90O) sin120o=? 问题: cos150o=? tan315o=?

任意角的三角函数定义

y
r o

Α的终边
P(x,y) x

y sin ? ? r x y cos ? ? tan ? ? r x 思考:

1、对于确定的角α,比值(如果有的话)与P点 在α终边上的位置有无关系? 2、可以看作一个函数?怎么对应? 3、对于正弦、余弦、正切的定义,任意的角 α都是有意义的吗? 4、不同角限上的符号如何?

例1 :已知角?的终边上有一点P ( ?3, 4), 求 sin ? ,cos ? , tan ?的值.

[例题导练]

解 : OP ? r ? ( ?3) ? 4 ? 5
2 2

y 4 所以,sin ? ? ? r 5 x 3 cos ? ? ? ? r 5 y 4 tan ? ? ? ? x 3

练习

P24 16.角?的终边经过点P (4a , ?3a )(a ? 0), 求 : sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:OP=r ? (4a )2 ? ( ?3a )2 ? 5 a ,( a ? 0) y ? 3a 3 (1)当a ? 0时, r ? 5a , sin ? ? ? ?? , r 5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? , r 5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 (2)当a ? 0时, r ? ?5a , sin ? ? ? ? , r ?5a 5 x 4a 4 y ? 3a 3 cos ? ? ? ? ? , tan ? ? ? ?? , r ? 5a 5 x 4a 4 3 4 3 ?当a ? 0时,sin ? ? ? ,cos ? ? , tan ? ? ? , 5 5 4 3 4 3 当a ? 0时,sin ? ? ,cos ? ? ? , tan ? ? ? . 5 5 4

7π 例2 求角 的各个三角函数值. 4

此题只给出角的大小,没有给出其终边上的任一点的坐标,因 分析:
此我们首先根据角的大小确定终边的位置,并在终边上取任意 一点并确定其坐标,再根据三角函数的定义求解。

7π 解: 如右图所示,角 是第四象限角, 它的终边 4 是第四象限的角平分线, 在这条角一部分 线上任取一点P (1, ?1), 即x ? 1, y ? ?1
则 r ? 12 ? ( ?1)2 ? 2

Y

根据三角函数的定义得:

7π 4

O
P(1,-1)

X

7π y ?1 2 7π x 1 2 sin ? ? ?? , cos ? ? ? 4 r 2 2 4 r 2 2

7π y ?1 7π x 1 tan ? ? ? ?1,cot ? ? ? ?1 4 x 1 4 y ?1

由于角的集合以实数集之间可以建 立一一对应关系,三角函数可以看成以 实数为自变量的函数。 在弧度制下,正弦、余弦、正切函 数的定义域如下:

三角函数
y sin ? ? r x cos ? ? r

定义域

R R
? ? ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y tan ? ? x

任意角三角函数值在各象限的符号

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 ?1 0 1 0 不存在 0

3? 2

2?

课堂练习

1、已知角α 终边上的一点P的坐标如下,求 角α的各个三角函数值。
(1)P(1,-7); (2)P(-5,2); (3)P(1,0). 2、已知角α 的值如下,求角α的各个三角 函数值。

3π 3π 5π (1)a ? ; (2)a ? ; (3)a ? - . 4 2 2

例2 确定下列三角函数值的符号:

7 11 ? (1)cos ? ; (2)sin( ?465 ); (3)tan ? 12 3
7 7 解: ? ? 是第二象限的角, cos ? ? 0. (1) ? 12 12

(2) ? -465? =-2 ? 360? +255?,即-465?是第三象限的角, ? sin( ?465? ) ? 0.
11 5 11 (3) ? ? ? 2? ? ? ,即 ? 是第四象限的角, 3 3 3 11 ? tan ? ? 0. 3

[探索]

三角函数线

三种三角函数能否找到一种几何表示呢?
y MP sin ? ? ? ? MP (正弦线) r OP x OM cos ? ? ? ? OM (余弦线) r OP

y AT tan ? ? ? ? AT (正切线) x OA

α的终边
P

y

y P

α的终边 T

A
M o x T o M A x

(Ⅱ) y

y (Ⅰ)

T

M
o P A x

M A o P x T α的终边

α的终边

(Ⅲ)

(Ⅳ)

小结:
任意角的三角函数 sinα cosα tanα
y tan ? ? x
? ? ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y x 定义 sin ? ? cos ? ? r r
定义域
符号

R

R

一全二正弦,三切四余弦

例1
作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.

? 2? ? (1) ;(2) . 3 3

例2
求证:当? 为锐角时,sin? ? ? ? tan? .

1.若 sin ? ? 0, 且 cot ? ? 0.则角? 是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 ) B. ? 1/ 5 D. ? 1/ 5或1/ 5

)

2.设角?的终边过点P (?6a, ?8a ) ? a ? 0 ? 则sin? -cos?的值为( A.1/ 5 C. ? 1/ 5或 ? 7 / 5

3.若? 为第一象限角, 则 sin 2? , cos 2? sin ?? / 2 ? 和 cos ?? / 2 ?中必取正值的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

sin x cos x tan x 4.函数y ? + + 的值域是( ) sin x cos x tan x A.??1,3? B.??1, ?3? C.??1,1,3? D.??3, ?1,3? 5.若 sin ? ?cos ? ? 0, 则? 在 ( A.第一, 二象限角 C.第一,四象限角 ) B.第一, 三象限角 D.第二,四象限角

6.若角? 终边过点P (2t ,3t )(t ? 0), 则 sin ? ? cos ?的符号为 __________ sin ? ? ____, cos ? ? _____, tan ? ? ____


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