rennizaoguoyuzichanyiquzai:湖北省孝感市六校联盟2015-2016学年高一数学下学期期中试卷 文(含解析)

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2015-2016 学年湖北省孝感市六校联盟高一(下)期中数学试卷(文 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={x| >0},N={x|3x+2>0},则 M∩N=( )

A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,﹣ ) C. (﹣ ,3) 2.在△ABC 中,若 b2=ac,c=2a,则 cosB 等于( A. B. C.
2 2

D. (3,+∞) )

D.
2

3.在△ABC 中,已知 a =b +bc+c ,则角 A 为( A. B. C. D. 或



4.由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于( ) A.99 B.100 C.96 D.101 5.已知等差数列{ an}的前 n 项和 Sn,若 a5+a4=18,则 S8=( ) A.72 B.54 C.36 D.18 6.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=﹣11, a5+a6=﹣4, Sn 取得最小值时 n 的值为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 8.若正数 x,y 满足 + =5,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6 )



9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的 形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

10.若变量 x,y 满足约束条件

,则 x+2y 的最大值是(



A.

B.0

C.

D. )

11.若不等式 2kx2+kx﹣ ≥0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是( A. (﹣3,0)

B. (﹣∞,﹣3) C. (﹣3,0] D. (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) 的前 100 项和为 ( )

12. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列 A. B. C. D.

1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|x2+2x﹣8>0},则 A∩B= 14.在锐角△ABC 中,BC=3,AB= ,∠C= ,则∠A= . .



15.在等差数列{an}中,a1=2,a2+a5=13,则 a5+a6+a7= 16.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10= .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,S 是△ABC 的面积,已知 a=4, b=5,S=5 . (1)求角 C; (2)求 c 边的长度. 2 18.已知不等式 ax +5x﹣2>0 的解集是 M. (1)若 2∈M,求 a 的取值范围; (2)若 M={x| <x<2},求不等式 ax2﹣5x+a2﹣1>0 的解集. 19. 已知 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角, 且其对边分别为 a、 b、 c, 若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (1)求角 A; (2)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积. 20.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=24,a6=18. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)当 n 为何值时,Sn 最大,并求 Sn 的最大值. 21.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= ﹣48x+8000,已知此生产线年产量最大

为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最 大利润是多少? 22.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an﹣3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.

2

2015-2016 学年湖北省孝感市六校联盟高一(下)期中数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={x| >0},N={x|3x+2>0},则 M∩N=( )

A. (﹣∞,﹣1) B. (﹣1,﹣ ) C. (﹣ ,3)

D. (3,+∞)

【考点】交集及其运算. 【分析】解分式不等式求得 M,再根据两个集合的交集的定义求得 M∩N. 【解答】解:∵集合 M={x| N={x|3x+2>0}={x|x>﹣ }, ∴M∩N=(3,+∞) , 故选:D. 2.在△ABC 中,若 b =ac,c=2a,则 cosB 等于( A. B. C. D.
2

>0}={x|(x+1) (x﹣3)>0}={x|x<﹣1,或 x>3},



【考点】余弦定理. 【分析】在△ABC 中,由 b =ac,c=2a,故有 b =2a ,cosB= 运算求得结果. 【解答】 解: 在△ABC 中, ∵b2=ac, c=2a, ∴b2=2a2, cosB= 故选 B. 3.在△ABC 中,已知 a2=b2+bc+c2,则角 A 为( A. B. C. D. 或 ) = = ,
2 2 2

=



【考点】余弦定理. 【分析】利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式代入计算求出 cosA 的值,即可确定出 A 的 度数. 【解答】解:∵在△ABC 中,a2=b2+bc+c2,即 b2+c2﹣a2=﹣bc, ∴cosA= =﹣ ,

则 A=



故选:C.

3

4.由 a1=1,d=3 确定的等差数列{an}中,当 an=298 时,序号 n 等于( A.99 B.100 C.96 D.101 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】先根据 a1=1,d=3 确定的等差数列的通项,再求项数. 【解答】解:由题意,an=3n﹣2,故有 3n﹣2=298,∴n=100, 故选 B. 5.已知等差数列{ an}的前 n 项和 Sn,若 a5+a4=18,则 S8=( A.72 B.54 C.36 D.18 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由已知及等差数列的性质可求 a1+a8,代入求和公式 【解答】解:∵a5+a4=18 ∴a1+a8=18 ∴ 故选 A 6.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6. 【解答】解:由题意可得 又数列的各项都是正数, 故 a7=4,故 a6= 故选 B = =2 =a4a10=16, =72 )



即可求解



7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=﹣11, a5+a6=﹣4, Sn 取得最小值时 n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 【分析】 【解法一】求出{an}的通项公式 an,在 an≤0 时,前 n 项和 Sn 取得最小值,可以求 出此时的 n; 【解法二】求出{an}的前 n 项和 Sn 的表达式,利用表达式是二次函数,有最小值时求对应 n 的值. 【解答】解: 【解法一】在等差数列{an}中,设公差为 d, ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4; ∴d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13,

4

由 2n﹣13≤0,得 n≤



∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 【解法二】在等差数列{an}中,设公差为 d, ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4, ∴d=2, ∴前 n 项和 Sn=na1+ ∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 故选:A. =﹣11n+ =n2﹣12n,

8.若正数 x,y 满足 + =5,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6



【考点】基本不等式. 【分析】将条件 + =5 进行转化,利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值. 【解答】解:由于正数 x,y 满足 + =5, 则 3x+4y=(3x+4y) ( 当且仅当 ∴x= ,y= = )= + + ≥ , +2 +2× =5,

,即 y=2x,即 + = 时取等号.

故 3x+4y 的最小值是 5, 故选:C 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ABC 的 形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【考点】正弦定理. 【分析】 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 再由两角和的正弦公式、 诱导公式求得 sinA=1,可得 A= ,由此可得△ABC 的形状.

【解答】解:△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= 故选 B. ,故三角形为直角三角形,

5

10.若变量 x,y 满足约束条件

,则 x+2y 的最大值是(



A.

B.0

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域, 得如图的△ABC 及其内部, 再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平移,可得当 x= ,y= 时,x+2y 取得最大值为 .

【解答】解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部,其中 A(﹣ ,﹣1) ,B( , ) ,C(2,﹣1) 设 z=F(x,y)=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F( , )= 故选:C

11.若不等式 2kx +kx﹣ ≥0 的解集为空集,则实数 k 的取值范围是(

2



A. (﹣3,0) B. (﹣∞,﹣3) C. (﹣3,0] D. (﹣∞,﹣3)∪(0,+∞) 【考点】二次函数的性质. 【分析】分 k=0 和 k≠0 两种情况讨论,综合得出 k 的范围即可. 【解答】解:①k=0 时,﹣ ≥0 解集为空, ②k≠0 时, 由题意得: 解得:﹣3<k<0, 综合①②得:﹣3<k≤0. 故选:C. ,

6

12. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列 A. B. C. D.

的前 100 项和为 (



【考点】数列的求和;等差数列的前 n 项和. 【分析】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求 a1,d,进而可求 an,代入可得 = = ,裂项可求和

【解答】解:设等差数列的公差为 d 由题意可得, 解方程可得,d=1,a1=1 由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n ∴ = =

=1﹣ 故选 A

=

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|x2+2x﹣8>0},则 A∩B= {x|2<x<3} . 【考点】交集及其运算. 【分析】由已知中集合 A={x|x2﹣x﹣6<0},B={x|x2+2x﹣8>0},解一元二次不等式,求出 集合 A,B 代入交集运算公式,即可得到答案. 【解答】解:∵集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}={x|﹣2<x<3} B={x|x2+2x﹣8>0}={x|x<﹣4,或 x>2} 故 A∩B={x|2<x<3} 故答案为:{x|2<x<3}

14.在锐角△ABC 中,BC=3,AB=

,∠C=

,则∠A=



【考点】正弦定理. 【分析】由正弦定理可求得 sinA,结合条件锐角三角形可求角 A. 【解答】解:∵BC=3,AB= ,∠C= ,

∴由正弦定理可得,

,即



解得 sinA=



7

又△ABC 为锐角三角形, ∴A= , .

故答案为:

15.在等差数列{an}中,a1=2,a2+a5=13,则 a5+a6+a7= 33 . 【考点】等差数列的性质. 【分析】利用 a1=2,a2+a5=13,求出公差,再计算 a5+a6+a7. 【解答】解:设公差为 d,则 ∵a1=2,a2+a5=13, ∴2+d+2+4d=13, ∴d= , ∴a5+a6+a7=2+4d+2+5d+2+6d=6+15d=33. 故答案为:33. 16.设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10= 10 . 【考点】等比数列的性质. 【分析】 由题意可得 a4a7=a5a6, 解之可得 a5a6, 由对数的运算可得 log3a1+log3a2+…+log3a10=log3 5 (a1a2…a10)=log3(a5a6) ,代入计算可得. 【解答】解:由题意可得 a5a6+a4a7=2a5a6=18,解得 a5a6=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10) 5 5 10 =log3(a5a6) =log39 =log33 =10 故答案为:10 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,S 是△ABC 的面积,已知 a=4, b=5,S=5 . (1)求角 C; (2)求 c 边的长度. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由题意和三角形的面积公式求出 (2)由(1)和余弦定理求出 c 边的长度. 【解答】解: (1)由题知 由 S= absinC 得, 又 C 是△ABC 的内角,所以 (2)当 = 时,由余弦定理得 =21,解得 ; 或 ,由内角的范围求出角 C;

, ,

,解得 ;

8



时, . .

=16+25+2×4×5× =61,解得 综上得,c 边的长度是 或

18.已知不等式 ax2+5x﹣2>0 的解集是 M. (1)若 2∈M,求 a 的取值范围; (2)若 M={x| <x<2},求不等式 ax2﹣5x+a2﹣1>0 的解集. 【考点】一元二次不等式的解法;二次函数的性质. 【分析】 (1)中直接将 x=2 代入不等式解出即可, (2)由题意得 ,2 时方程 ax2+5x﹣2=0 的根,由韦达定理得方程组求出 a,代入不等式求出即可. 2 【解答】解: (1)∵2∈M,∴a?2 +5?2﹣2>0,∴a>﹣2 (2)∵ ∴ , 是方程 ax2+5x﹣2=0 的两个根,

∴由韦达定理得

解得 a=﹣2,

∴不等式 ax ﹣5x+a ﹣1>0 即为:﹣2x ﹣5x+3>0 其解集为 .

2

2

2

19. 已知 A、 B、 C 为△ABC 的三个内角, 且其对边分别为 a、 b、 c, 若 cosBcosC﹣sinBsinC= . (1)求角 A; (2)若 a=2 ,b+c=4,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出 cos(B+C)的值, 确定出 B+C 的度数,即可求出 A 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a 与 b+c 的值代入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵cosBcosC﹣sinBsinC= , ∴cos(B+C)= , 又∵0<B+C<π , ∴B+C= ,

∵A+B+C=π ,
9

∴A=



(Ⅱ)由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bc?cosA, 得(2 )2=(b+c)2﹣2bc﹣2bc?cos ,

把 b+c=4 代入得:12=16﹣2bc+bc, 整理得:bc=4, 则△ABC 的面积 S= bcsinA= ×4× = .

20.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=24,a6=18. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅲ)当 n 为何值时,Sn 最大,并求 Sn 的最大值. 【考点】等差数列的通项公式;数列的函数特性;等差数列的前 n 项和. 【分析】 (Ⅰ)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列方程组求出首项和公差,然后直 接代入等差数列的通项公式求解; (Ⅱ)把(Ⅰ)中求出的首项和公差直接代入等差数列的前 n 项和公式求解; (Ⅲ)利用二次函数的性质求前 n 项和的最大值. 【解答】解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 ,得 .

(Ⅰ)an=a1+(n﹣1)d=28﹣2(n﹣1)=30﹣2n; (Ⅱ) (Ⅲ)因为 , 时函数有最大值, .

由二次函数的性质可得,当 n=

而 n∈N*,所以,当 n=14 或 15 时,Sn 最大,最大值为 210. 21.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= ﹣48x+8000,已知此生产线年产量最大

为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最 大利润是多少? 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)利用总成本除以年产量表示出平均成本;利用基本不等式求出平均成本的最小 值. (2)利用收入减去总成本表示出年利润;通过配方求出二次函数的对称轴;由于开口向下, 对称轴处取得最大值.

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【解答】解: (1)设每吨的平均成本为 W(万元/T) , 则 当且仅当 (0<x≤210) , ,x=200(T)时每吨平均成本最低,且最低成本为 32 万元.

(2)设年利润为 u(万元) ,则 = .

所以当年产量为 210 吨时,最大年利润 1660 万元. 22.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的正整数 n 都有 Sn=2an﹣3n. (1)设 bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和. 【考点】数列递推式;等比关系的确定;数列的求和. 【分析】 (1)通过递推关系式求出 an 与 an+1 的关系,推出{an+3}即数列{bn}是等比数列,求 出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式; (2)写出数列{nan}的通项公式,然后写出前 n 项和的表达式通过错位相减法求解即可. 【解答】解: (1)∵Sn=2an﹣3n,对于任意的正整数都成立, ∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3, 两式相减,得 a n+1=2an+1﹣2an﹣3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3) , 所以数列{bn}是以 2 为公比的等比数列, 由已知条件得:S1=2a1﹣3,a1=3. ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2, ∴an=6?2n﹣1﹣3=3?2n﹣3. (2)∵nan=3×n?2n﹣3n ∴Sn=3(1?2+2?22+3?23+…+n?2n)﹣3(1+2+3+…+n) , 2 3 4 n+1 2Sn=3(1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 )﹣6(1+2+3+…+n) , 2 3 n n+1 ∴﹣Sn=3(2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 )+3(1+2+3+…+n) =

∴Sn=

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