高二上学期第二次月考 数学理试题(含答案)

高二上学期第二次月考 数学理试题(含答案)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 a ? R ,则 a ? 1 是

1 ?1 的 a
B.必要但不充分条件





A.充分但不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

2.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1 C.

13 21

2 3 610 D. 987
B. ( )

3.下列选项正确的是 A 若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题

B 命题甲: x ? y ? 3 ,命题乙: x ? ?1 或 y ? ?2 则甲是乙的充分不 必要条件 C 命题“若 x ? ?1, 则x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定为: “ x ? ?1, 则x ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2 2

D 已知命题 p : ?x ? R, 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 4. 若抛物线 y ? px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D.4



A.8

B. 2

C. ?4

5.从 3001 名学生中选取 50 名组成参观团, 现采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 3001 人中剔除 1 人, 剩下的 3000 人再按系统抽样的方法进行, 则每个人被选到的机会 ( ) A 不全相等 B 均不相等 C 无法确定 D 都相等 6.以双曲线
2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2



A. x ? y ? 10 x ? 9 ? 0 C. x ? y ? 10 x ? 16 ? 0
2 2

D. x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

7.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和为 30,则△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 ( ) A

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 100 36

B

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 100 84

第 -1- 页

C

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 100 36

D

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) 100 84


8.分别在区间 [1,6] , [1,4] 内各任取一个实数依次为 m, n ,则 m ? n 的概率是( A.0.3 B.0.667 C.0.7 D.0.714

9. “十一”期间,邢台市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到‘光盘’行动,得 到 如 下 的 列 联 表 , 参 照 附 表 , 得 到 的 正 确 的 结 论 是 ( )

P(k 2 ? k )
k

0. .05 2.

0 .025 3 .841 .024

0 5

10 706

做 不 到 能做到 “ 光 n(ad ? bc) 2 2 “光盘” k ? 盘” (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 45 10 男 30 15 A. 女 在犯错误的概率不超过 1%的前提下, 认为 “该 市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 10.已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的动点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点, a 2 b2

O 为原点,若 M 是 ?F1 PF2 的角平分线上的一点,且 F1 M ? MP ,则 OM 长度的取值
范围是( A. 0,3 ?
2

) B. 0,2 2

?

?

?

C. 2 2 ,3

?

?

D. ?0,4

?

11. 已知抛物线 y ? 4 x 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 N 是两曲 a 2 b2
( C. 3 ? 1 ) D. 3 ? 1

线的交点,且 NF ? x 轴,则 a 的值为 A. 2 ? 1 B. 2 ? 1

x2 y2 12.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为直径的圆与椭 a b
圆的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为 A ( D )

6 3

B

3 2

C

2 2

2 3

第 -2- 页

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 用反证法证明“ a , b ? N , ab 可被 5 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 5 整除” ,则假 设内容是_____________________________________________________ 14. 顶点在原点,且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是__________________ 15. 一个总体分为 A, B 两层,其个体数之比为 4 :1 ,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为 10 的样本, 已知 B 层中甲、 乙都被抽到的概率为
?

1 , 则总体中的个体数是 28

____________.

18. (本小题满分 12 分) 过点 p( 2,4) 作两条互相垂直的直线 l 1 , l 2 , 若 l 1 交 x 轴于 A 点,l 2 交

y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中 80,90 ? 之间的矩形的高,并完成直方图; (2)若要从分数在 80,100 之间任取两份进行分析,在抽取的结果中,求至少有一份分数在

?

?

?

?90,100? 之间的概率.
20. (本小题满分 12 分) 有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字 1,2,3,4。 (1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率; (2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取

第 -3- 页

一个球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0 与圆 x 2 ? y 2 ?

1 有公共点的概率。 16

21. (本小题满分 12 分)设双曲线 C 以椭圆 一条渐近线是 y ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为焦点,且双曲线 C 的 25 9

3x .

(1)求双曲线 C 的方程; (2) 若 直 线 y ? kx ? m ( k ? 0, m ? 0) 与 双 曲 线 C 交 于 不 同 两 点 E , F , 且 E , F 都 在 以

P (0,3) 为圆心的圆上,求实数 m 的取值范围.

第 -4- 页

4 ? 2 ? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y? ? 2 k ?

消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。
第 -5- 页

90) 间矩形的高为 率分布直方图中 [80,
完成直方图,如图.?????6 分

0.16 ? 0.016 .???4 分 10

20. (本小题满分 12 分)

第 -6- 页

21. (本小题满分 12 分) 解:(1)依题双曲线 C 的两个焦点分别为 F ( ( 1 -4,0)、 F 2 4,0),? c ? 4 , 又双曲线 C 的一条渐近线是 y ?

3 x ,?

b ? 3 ? a 2 ? c2 ? b2 ? 4 , a

? 双曲线 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 . ?? 5分 4 12

(2)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 y 整理得: (3 ? k ) x ? 2kmx ? (m ? 12) ? 0 , ?1 ? ? ? 4 12
依题意得 ?

?3 ? k 2 ? 0 ? (*) 2 2 2 2 ? ?? ? 4k m ? 4(3 ? k )(m ? 12) ? 0,
x1 ? x2 km , ? 2 3? k2

设 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 又? 点 G 在直线 y ? kx ? m 上,

? y0 ? kx0 ? m ?

3m km 3m ,? G ( , ), 2 2 3? k 3? k 3? k2

? E、F 两点都在以 P(0,3) 为圆心的同一圆上,? GP ? EF ,即 kGP ? k ? ?1 ,

第 -7- 页

3m ?3 2 9 ? 4m ,代人(*)式得: ? 3? k ? k ? ?1 ,整理得 k 2 ? km 3 3? k2
? 9 ? 4m 3? ?0 ? 16 ? 3 解得: m ? 0 或 m ? ? , ? 3 ?? ? 4m 2 ? 9 ? 4m ? 4(3 ? 9 ? 4m )(m 2 ? 12) ? 0, ? 3 3 ?
9 ? 4m 9 ? 0 ,? m ? , 3 4 16 9 故所求 m 的取值范围是 (??, ? ) ? (0, ) 3 4
又 k2 ?

22. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
∴椭圆方程

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

x2 y2 ? ?1 8 2
1 x+m 2

(2) ∵直线 l ∥DM 且在 y 轴上的截距为 m,∴y=

1 ? y? x?m ? ? 2 由? 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 ? 8 2 ?
∵ l 与椭圆交于 A、B 两点∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0 ? -2<m<2(m≠0) (3)设直线 MA、MB 斜率分别为 k1,k2,则只要证:k1+k2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k1=

y1 ? 1 y ?1 ,k2= 2 x2 ? 2 x1 ? 2

由 x2+2mx+2m2-4=0 得 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) + = (*) x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 1 1 又 y1= x1+m y2= x2+m 2 2
而 k1+k2=
第 -8- 页

∴(*)分子=(

1 1 x1+m-1) (x2-2)+( x2+m -1) (x1-2) 2 2

=x1x2+(m-2) (x1+x2)-4(m-1) =2m2-4+(m-2) (-m)-4(m-1)=0 ∴k1+k2=0,证之.

第 -9- 页


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