河南省商丘市2014年高三第二次模拟考试 数学(理科)_图文

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商丘市 2014 年高三第二次模拟考试 数 学 (理科)参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1)C (2)A (3)D (4)D (7)C (8)D (9)A (10)B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13)

(5)B (11)A

(6)D (12)C

12 ; 7

(14)

3 ; 2

(15) [2 2, 2 5] ;

(16) ? ,

?3 ?4

3? ? 2 ?

.

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ? 2n ,…① ? (n ?1)an?1 ? 2n?1 ,…②
2n ?1 (n ? 2) , n

∴当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

将①-②得 nan ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,∴ an ? 在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? 2 , ∴ an ? ? ? 2n ?1
? ? n ? 2 (n ? 1) (n ? 2)

……………………3 分


? 2 (n ? 1)

………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 bn ? n an 得 bn ? ? ?
2

则当 n ? 1 时, S1 ? 2 ,

n 2n ?1 (n ? 2) ? ?



…………………………………7 分

? 当 n ? 2 时, Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? n 2n?1 ,
则 2Sn ? 4 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ∴ Sn ? n ? 2n ? (2 ? 22 ? 23 ? 又 S1 ? 2 ,
? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n ,

? 2n ?1 ) ? (n ? 1)2n ? 2(n ? 2) ……………………10 分

∴ Sn ? (n ? 1)2n ? 2(n ? N *) .…………………………………………………12 分 (18)解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件, P( A) ?
1 2 1 C3 C3 C6 9 ? . 3 C9 14

………………………4 分

(Ⅱ)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5,6 .

………………………………………5 分

P(? ? 2) ?

C32 1 ? , C92 12

P(? ? 3) ?

1 1 C3 C3 1 ? , C92 4

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P(? ? 4) ?

1 1 C32 ? C3 C3 1 ? , 2 C9 3

P(? ? 5) ?

1 1 C3 C3 1 ? , C92 4

P(? ? 6) ?
∴ ? 的分布列为:

C32 1 ? . C92 12

?
P

2

3

4

5

6

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

……………………………………8 分

E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 . 12 4 3 4 12

……………………9 分

∵ ? ? ?? 2? ? ? ? 1,∴ E(? ) ? ?? 2 E(? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1 ,
2 ∵ E (? ) ? 1 ,∴ ?4? ? ? ? 1 ? 1 ,∴ 0 ? ? ?

1 . …………………………12 分 4

(19) (Ⅰ) 证明:取 BC 中点 O ,连接 AO, PO ,由已知 ?BAC 为直角三角形, 所以可得 OA ? OB ? OC ,又知 PA ? PB ? PC , 则 ?POA ≌ ?POB ≌ ?POC , ………………………………………2 分 ∴ ?POA ? ?POB ? ?POC ? 90? , ∴ PO ? OA , PO ? OB , OA OB ? O , 所以 PO ⊥面 ABC , …………………………………… 4 分 又 PO ? 面 PBC ,∴面 PBC ⊥面 ABC . ………………………5 分 (Ⅱ) 解:过 O 作 OD 与 BC 垂直,交 AC 于 D 点,如图建立坐标系 O ? xyz .

则 A(

3 1 ,? ,0) , B(0, ?1,0), C (0,1,0) , P(0,0, 3) , 2 2 3 1 , ,0), BP ? (0,1, 3) .…………………7 分 2 2

BA ? (

设面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 由 n1 ? BA ? 0, n1 ? BP ? 0 ,可知 n1 ? (1, ? 3,1) . 同理可求得面 PAC 的法向量为 n2 ? (3, 3,1) . ……………………………10 分 ∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

65 . …………………………………………12 分 65
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(20)解:(Ⅰ)? 右焦点为 F2 (1, 0) ,? c ? 1 , 左焦点为 F1 (?1,0) ,点 H (1, ) 在椭圆上,

3 2

?3? ?3? 2a ? HF1 ? HF2 ? (1 ? 1) 2 ? ? ? ? (1 ? 1) 2 ? ? ? ? 4 , ?2? ?2?
? a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 3 , x2 y2 所以椭圆方程为 ? ? 1 . …………………………………………………-5 分 4 3 x2 y2 (Ⅱ)设 P?x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) , 1 ? 1 ? 1 ? x1 ? 2? . 4 3 x2 1 2 2 2 PF2 ? ?x1 ? 1? ? y12 ? ?x1 ? 1? ? 3(1 ? 1 ) ? ( x1 ? 4) 2 , 4 4 1 1 ? PF2 ? (4 ? x1 ) ? 2 ? x1 .…………………………………………………-8 分 2 2
连接 OM,OP,由相切条件知:

2

2

PM ?| OP |2 ? | OM |2 ? x12 ? y12 ? 3 ? x12 ? 3(1 ?
? PM ? 1 x1 , 2

2

x12 1 ) ? 3 ? x12 , 4 4

? PF2 ? PM ? 2 ?

1 1 x1 ? x1 ? 2 . …………………………………………10 分 2 2 1 1 同理可求? QF2 ? QM ? 2 ? x2 ? x2 ? 2 , 2 2 所以 F2 P ? F2Q ? PQ ? 2 ? 2 ? 4 为定值. ………………………………12 分

(21)解:函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? . (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 列表:

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x

……………………1 分

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1)
+ ↗

1
0 极大值

(1, ??)
?



所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (Ⅱ)由已知 g ( x) ? ln( x ?1) ( x ? 1) . 由 g(

…………………………………………4 分

b 1 ) ? g (a ) 得 ln ? ln(a ? 1) . b ?1 b ?1
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1? a ? b,

? b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ? 1) ? 1 .
…………………………………6 分

1=(a ?1)(b ?1) ? (b ?1)2 ,∴ b ? 2 .
由 g (b) ? 2 g (

a?b ) 得, 2

1 ? a?b ? ln(b ? 1) ? 2 ln ? ?1? ? 2 ln ?(a ?1) ? (b ?1) ? -----(*), 2 ? 2 ?
a ?1 ? b ?1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 1 , 2 1 所以(*)式可化为 ln ? b ? 1? ? 2 ln ? ? a ? 1? ? ? b ? 1?? ?, 2?
因为 即 b ?1 ? ? (

?1 1 ? ? b ? 1) ? . ? 2 b ?1 ?

2

………………………………………8 分
2

? 1 ? 1 ?? 4 3 2 令 b ?1 ? t ? t ? 1? ,则 t ? ? ? t ? ? ? ,整理,得 t ? 4t ? 2t ? 1 ? 0 , ? 2 ? t ??
3 2 3 2 从而 (t ? 1) t ? 3t ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1? ,即 t ? 3t ? t ? 1 ? 0 .

?

?

记 h(t ) ? t ? 3t ? t ?1?t ? 1? . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 ,
3 2

令 h?(t ) ? 0 得 t ? 1 ? 列表:

2 3 2 3 (舍), t ? 1 ? , 3 3

t
h?(t )
h(t )
所以, h(t ) 在 ? 1,1 ?

? 2 3? 1,1 ? ? ? ? 3 ? ? ?
?

? 2 3 ? 1 ? , ?? ? ? ? ? 3 ? ?
+ ↗



? ? ?

? 2 3 ? 2 3? , ?? 单调减,在 ?1 ? ? ? ? ? 单调增, ……………11 分 3 ? 3 ? ? ?

又因为 h(1) ? 0, h(3) ? 0, h(4) ? 0 ,所以 3 ? t ? 4 ,从而 4 ? b ? 5 . ………12 分 (22)解(Ⅰ)∵ PA 为圆 O 的切线,∴ ?PAB ? ?ACP ,又 ? P 为公共角, ∴ ?PAB ∽ ?PCA , ∴

AB PA ? . AC PC

…………………………………………………4 分

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(Ⅱ)∵PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线,,∴ PA ? PB ? PC ,
2

∴ PC ? 20, BC ? 15 , 又∵?CAB ? 90 ,∴ AC ? AB ? BC ? 225 ,
0 2 2 2

又由(Ⅰ)知

AB PA 1 ? ? , AC PC 2

A

? AC ? 6 5

AB ? 3 5 ,
C O D B P

连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,

?ACE ∽ ?ADB ,

AB AD ? , AE AC

E

AD ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90.
(23)解: (Ⅰ)

……………………………10 分

? ? 2 ? cos? ? sin? ? ,∴ ? 2 ? 2( ? cos? ? ? sin ? )

则 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y , 即 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 . ……………………………………… 4 分
2

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t ? t ? 1 ? 0 , 设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 1, t1t2 ? ?1 ,…………7 分 ∴

t ?t 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 2 EA EB t1 t2 t1t2
? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 5. t1t2
…………………………………10 分

(24)解: (Ⅰ)由 2x ? a ? a ? 6 得 2x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 3 ? x ? 3 ∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 . ……………………………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2x ?1 ?1 . 令 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,则 f ( x) ? m - f (? x) ? g ( x) ? m ,

g ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? 2 ? 4 ,

? g ( x) 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ??? .…………10 分

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