mimiai最新网址:基本初等函数指数函数对数函数与幂函数章节综合检测专题练习(二)含答案高中数学

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高中数学专题复习
《基本初等函数指数函数对数函数与幂函数》单 元过关检测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

请点击修改第 I 卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1.若函数

f

?x? ?

1 2x ?

1













?

??,

???









A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递 增有最大值 (2020 上海理)

2 . 为 了 得 到 函 数 y ? 3? (1)x 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y ? (1)x 的 图 象

3

3

()

A.向左平移 3 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度

C.向左平移 1 个单位长度 4 文 5)

D.向右平移 1 个单位长度(2020 全国

3.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

4.函数 f(x)= 2x ? 3x 的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)(2020 天津理 2)

5.函数 y ? 16? 4x 的值域 是( )

A. [0, ??) B. [0, 4] C. [0, 4)

D . (0, 4) (202 0 重 庆文 4 )

1 ?
6.已知 x=lnπ ,y=log52, z ? e 2,则
(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x

(D)y<z<x

7 . 若 x1 满 足 2 x + 2x = 5 , x2 满 足 2 x + 2 log2 ( x - 1 ) = 5 , x1 + x2 =

(A) 5

(B)3

2

(C) 7 (D)4(2020 辽宁卷理) 2

【 解 析 】 由 题 意 2x1 ? 2x1 ? 5



2x2 ? 2 log2 x( 2? 1?) 5 ②

所 以 2x1 ? 5? 2x1 , x1 ? log2 (5 ? 2x1)

即 2 x1 ? 2log2 (5 ? 2x1) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2

8







a?0 a? , , 1 则

al a

o 等g

于2

()

A.2

B. 1 2

C.

D.与 a 的具体数值有关

9 .如果 log2 (x ? y )? log2 x ? lo2gy,则 x ? y 的取值范 围是( )

(A)(0 ,1 ) ( B ) [2, ??) (C )(0 ,4 ) (D) [4, ??)

10.设定义在 R 上函数 f (x)满足 f (x+6)=f (x),在(0,3)内单调递减,且 y = f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x = 3 对 称 , 则 下 面 正 确 的 结 论 是 . ()

(A)f (3.5)<f (1.5)<f (6.5)

(B)f (1.5)<f (3.5)<f (6.5)

(C)f (6.5)<f (3.5)<f (1.5)

(D)f (3.5)<f (6.5)<f (1.5)

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.已知三个数 a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则 a,b,c 从小到大的顺序为 c <<b<a .(5 分)

12.用二分法求函数 f (x) ? 3x ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:

f (1.6000)≈0.200 f (1.5625)≈0.003

f (1.5875)≈0.133

f (1.5750)≈0.067

f (1.5562)≈ ?0.029 f (1.5500)≈ ?0.060

据此,可得方程 f (x) ? 0的一个近似解( 精确到 0.01)为

.

13.函 数 f (x) ? (m2 ? m ? 1)xm 是幂函数, 则 实数 m 的值为



14.已 知 2a ? 5b ? 10,则 1 ? 1 ? ______________ ab

15.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围是

1 6 .若方程 lnx ? 6? 2x ? 0的解为 x0 ,则 不等式 x ? x0 的最大 整数解





评卷人 得分

三、解答题

17.如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB=1 米,高 0.5 米,CD=2a(a> 1 )米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中
2 点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平
方米)表示成关于 x 的函数 S ? f ?x? ;
(2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大? 并求出这个最大面积.

m

m

M

N

D

E

CD

E

C

Cnm?1

?

C n?m?1 n

1 8 . 化 简 : Cnm

Cnn?m ;

19.已知函 数 f ?x? ? a?x ?1?2 ? Inx,, a ? R

(1)当 a ?1时,判断函数, f ?x? 的单调性并写出其单调区间;

(2)若函数, f ?x? 的图象与直线 y=x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围

? (3) 证明: 对任意 的

n∈N※都有

In?1 ? n? ?

n i ?1

i ?1 i2

成立.

20.设函数f(x)=

c2 x2 ? a x?

,其中a为实数. a

(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间. (陕西理)

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.A 2.D
3. (3,??)

4.B

5.C 4x ? 0,?0 ? 16 ? 4x ? 16? 16 ? 4x ??0, 4?

6.D【2020 高考真题全国卷理 9】

【解析】

x ? ln ?

?1,

y

?

log 5

2

?

1 log 2 5

?

1 2



z

?1
?e 2

?

1 ,1? e2

1 ?1,所 e

以 y ? z ? x ,选 D.

7.C

8. 2
9. 10.
第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11. 有理数指数幂的化简求值;不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分 析: 利用指数函数的运算性质比较 a 和 b 的大小,由对数式的运算性质可知 c< 0,由此答案可求. 解答: 解:因为 a=60.7>6
解 有理数指数幂的化简求值;不等关系与不等式. 析:
专 计算题. 题:
分 利用指数函数的运算性质比较 a 和 b 的大小,由对数式的运算性质可知 c< 析: 0,由此答案可求.
解 解:因为 a=60.7>60=1, 答: b=0.76<0.70=1,且 b>0,
c=log0.76<0, 所以 c<b<a. 故答案为 c<b<a.
点 本题考查了不等关系与不等式,考查了指数函数的单调性,训练了对数式的 评: 符号判断,是基础题.

12. 13.或 14. 15.(-2,2) 16.2
评卷人 得分

三、解答题

17.(1)(一)

0≤x ?

1 时,由平面几何知识,得 2

MN ?1 2a ?1

?

x 1



2

∴ MN ? 2(2a ?1)x ?1, S ? f ? x? ? ?(2a ?1)x2 ? (a ?1)x ? 1 . … … … … … 3 分
4

(二) 1 ? x ? a ? 1 时, S ? f ?x? ? 1 ? 2 a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ? a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ,

2

2

2

2

2

2

2



S

?

f

(

x)

?

????(2a ?

?

1)

x

2

? (a ?1)x ?

1, 4

x ?[0, 1), 2

………………………………5 分

? ??

a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1), x ? (1 , a ? 1).

2

2

22

( 2 ) ( 一 ) 0 ≤ x ? 1 时 , S ? f ? x? ? ? (2a ?1)x2 ? (a ?1)x ? 1 .

2

4

∵ a ? 1 ,∴ a ?1 ? 1 ? ?a ? 0 ,∴ a ?1 ? 1 .

2

2(2a ?1) 2 2(2a ?1)

2(2a ?1) 2



1 2

?

a ≤1,当

x

?0时, [f

(x)]max

?

f

(0)

?

1 4





a ?1,当

x

?

a ?1 2(2a ?1)

时 , [ f (x)]max

?

f[ a ?1 ] ? 2(2a ?1)

a2 4(2a ?1)

.……………7



(二) 1 ? x ? a? 1 时,

2

2

S ? f ?x? ? 1 ? 2 a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ? a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1)

2

2

2

2

2

?

(x

?

1 )2 [a2

?

(x

?

1 )2 ]



(x

?

1)2 2

? [a2

?

(x

?

1 )2 ] 2

?

1

a2 ,

2

2

2

2

等 号 成 立 ? (x ? 1)2 ? a 2 ? (x ? 1) 2 ? x ? 1 ( 2a ?1) ? (1 , a ? 1) .

2

2

2

22

∴ 当x ? 1 ( 2

2a ?1) 时 ,

[f

( x)]m a x

?

a2 2

.…………………………………………10



A . 1 ? a ≤1 时 , ∵ a2 ? 1 ? 1(a ? 2)(a ? 2 ),

2

2 42 2

2

∴ 1 ?a≤ 2

2 2

时.当

x

?

0,

[

f

(x)]max

?

f (0) ? 1 , 4

2 ? a ≤1时,当 x ? 1 (

2

2

2a ?

1), [ f

( x)]m a x

?

a2 2

.……………………………12



B . a ?1 时 , 1 a2 ? a2 ? 4a ? 3 a2 ? 0 . 2 4(2a ?1) 4(2a ?1)

当 x? 1( 2

2a ?1) 时 , [ f

( x)]m a x

?

a2 2

.……………………………………………14



综上, 1 ? a≤ 2

2 2

时,当

x ? 0 时 , [ f (x)]max

?

f (0) ?

1 4

,即

MN



AB

之间的距离

为 0 米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 1 平方米. a ? 2

4

2

时,当 x? 1( 2

2a ?1) 时 ,

[ f (x)]max

?

a2 2



即 MN 与 AB 之 间 的 距 离 为 x ? 1 ( 2

2a ?1)

米 时 , 三 角 通 风 窗 EMN 的 通 风 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 1 a2 平 方 2

米.………………………16 分

18.

19.解:(1 ) 当a ? 1时,f ?x? ? ?x ?1?2 ? Inx,其定义域为 ?0,? ??

?

f

??x? ?

2x

?

2?

1

?

2x2

? 2x ?1

?

2?? x ?

?

1 ?2 ?
2?

?

1 2

?

0

x

x

x

?函数f ?z?为增函数,单调增区间 为?0. ? ??

?2?设g?x? ? a?x ?1?2 ? Inx ? x.由题意得方程 g?x? ? 0在区间?0,???上至少有一解 若a ? 0时,g??x? ? 1? x ,故g?x?在?0,1?上单调递增,在?1,? ??上单调递减,
x
? g?x?max ? g?1? ? ?1 ? 0 ?方程 g?x? ? 0无解

若a ? 0.g??x? ? a?2x ? 2? ? 1 ?1 ? 2ax2 ? ?2a ?1?x ?1 ? ?2ax ?1??x ?1?

x

x

x

令g??x? ?

0得x1

?

1 2a

, x2

?1



当a ? 0时,由g??x? ? 0得x ??? 1 ,1??,由g??x? ? 0得x ??? ? ?, 1 ??或x ? ?1. ? ??

? 2a ?

? 2a ?

? g?x?的单调增区间为 x ? ?0,1?,减区间为?1,???

g?x?max g?1? ? ?1 ? 0,?方程g?x? ? 0无解



当0 ? a ? 1 时,可得 g?x?的单调增区间为 ?0,1?,?? 1 ,?? ??,单调减区间为 ??1,1 ??

2
?极大值为

g?1?

?

?1

?

0,极小值为

g

??

1? 2??a? 0 ?

? 2a ?

? 2a ?

?1 ?3? 1

又g??

1

?

3??

?

a??

1

a ?

2??2

?

2a In??

1

?

3??

?

??

1

?

3??

?a ? ?a ? ?a ? ?a ?

?

1 ?a

I?n??4

1?

?4a3??? ?In4???a1a??13????0?

1 a

?

3

?a ?

? g?? 1 ?? ? g?? 1 ? 3?? ? 0 ? 2a ? ? a ?

?方程g?x? ? 0恰好有一解 ③ 当a ? 1 时,g??x? ? 0,?函数g?x?为增函数,
2

由②

得方程g?x?也恰好有一解

④ 当a ? 1 时,g?x?的单调增区间为 ??0, 1 ??, ?1. ? ??,减区间为?? 1 ,1??,

2

? 2a ?

? 2a ?

同上可得 方程 g?x? ? 0 在 ?0,??? 上至少 有一解。

综上得所 求的 a 取值范 围 为 ?0,???

(3)?法一?由?2?可知得:当a ? 1,函数g?x? ? ?x ?1?2 ? Inx ? x在x ? ?1,???上单调增

??x ?1?2 ? Inx ? x ? g?1? ? ?1,即Inx ? ?x2 ? 3x ? 2

? In??1 ? 1?? ? In??1 ? 1 ?? ? In??1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? In??1 ? 1 ??

? 1? ? 2? ? 3?

? n?

?1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ????? 1 ? 1

1 12 2 22 3 32

n n2

令x

?1?

1 n

.n ?

N ? ,?

In??1 ? ?

1 n

?? ?

?

1 n

?

1 n2

? ?

In??????1

?

1 ????1 ? 1??

1 ????1? 2 ??

1 ?? ?? ? ??1? 3? ?

1 n

??????

?

n i?1

??1 ? ?i

1 i2

?? ?

? 即In?1 ? n? ? n i ?1
i2
i ?1

∴所证结论成立
令1? 1 ? x, 1 ? x ?1, n ? N ? , x ? ?1,2?
nn

记h?x? ? Inx ? ?x ?1? ? ?x ?1?2 ? Inx ? x2 ? 3x ? 2

则h??x? ? 1 ? 2x ? 3 ? ?2x ?1??x ?1? ? 0

x

x

? h?x?单调递增

又h?1? ? In1 ?12 ? 3 ? 2 ? 0,? h?x? ? 0

即当x ? ?1,2?时,即g?n? ? g?n ?1? ? 0

? g?n? 单调递增

又g?1? ? In2 ? 0,? g?n? ? 0,
?所证结论成立

20.( Ⅰ) f (x) 的定义域 为 R ,? x2 ? ax ? a ? 0 恒成立 , ?? ? a2 ? 4a ? 0 ,

?0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f (x) 的定 义域为 R .

(Ⅱ)

f

?( x)

?

x(x ? a ? 2)ex (x2 ? ax ? a)2

,令

f ?(x )≤

0,得 x( x?

a? 2 )≤

0.

由 f ?(x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又 0 ? a ? 4 ,

?0 ? a ? 2 时,由 f ?(x )? 0得 0 ? x ? 2 ? a; 当 a ? 2 时, f ?(x )≥ 0;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?(x )? 0得 2 ? a ? x ? 0, 即当 0 ? a ? 2 时, f (x) 的单 调减区 间 为 (0,2 ? a) ; 当 2 ? a ? 4 时, f (x) 的单调 减区间 为 (2 ? a,0) .


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