【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 2.7二次函数(第1课时)课件 理_图文

第二章 第 7 讲 函数 二次函数 (第一课时) ●二次函数的基本知识 考 点 搜 索 ●实系数二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的 实根的符号与二次方程系数之间的关系 ●已知二次函数的解析式,求其单调区间; 已知二次函数的某一单调区间,求参数的 范围 ●一元二次方程根的分布 ●二次函数在闭区间上的最值高 高 考 猜 想 高考中很多问题最后都要化归为二 次函数问题来解决,因而必须熟练掌 握二次函数的性质,并能灵活运用这 些性质去解决实际问题;高考中若出 现二次函数与方程、不等式的综合题, 一般难度较大,平时应注意这方面能 力的培养. 一、二次函数的图象特征 1. a>0时,开口 向上 , Δ≥0时与x轴的 交点的横坐标 为方程 ax2+bx+c=0的两实根; Δ<0时,抛物线与x轴 ax2+bx+c>0 恒成立. 不相交 , 2. a<0时,开口 向下 , Δ≥0时与x轴 交点的横坐标 为方程 ax2+bx+c=0的两实根; Δ<0时,抛物线与x轴 ax2+bx+c<0 恒成立. 不相交 , 二、二次函数的解析式 1. 一般式:f(x)= 2. 顶点式:f(x)= ax2+bx+c (a≠0). a(x-h)2+k (a≠0). a(x-x1)(x-x2) 3. 零点式:f(x)= x2为两实根). (a≠0,x1, 三、二次函数在闭区间上的最大值和最小值 设f(x)=a(x-k)2+h (a>0), 在区间[m,n]上的最值问题有: 1. 若k∈[m,n],则ymin=f(k)= ymax=max{f(m),f(n)}. h , 2. 若k ?[m,n],则 当k<m时,y = f(m) min ,ymax= ,ymax= f(n) ; 当k>n时,ymin= f(n) (当a<0)时,可仿此讨论). f(m ) . 1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点 坐标为(2,-1),与y轴的交点坐标为(0,11),则 ( ) A.a=1,b=-4,c=-11 B. a=3,b=12,c=11 C. a=3,b=-6,c=11 D. a=3,b=-12,c=11 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象 的顶点坐标为(2,-1) ? f(x)=a(x-2)2-1, 又f(x)与y轴的交点坐标为(0,11), 所以f(0)=a(0-2)2-1=11, 解得a=3, 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. 故选D. 答案:D 2.设a为常数,f(x)=x2-4x+3,若函数f(x+a) 为偶函数, 则 a= 2 ;f[f(a)]= 8 . 由函数f(x+a)为偶函数, 知f(x)关于直线x=a对称, 而f(x)=x2-4x+3的对称轴是直线x=2, 所以a=2, 从而f[f(a)]=f[f(2)]=f(-1)=8. 3.已知函数f(x)= x2+4x(x≥0) 4x-x2(x<0), 若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( C ) A. (-∞,-1)∪(2,+∞) C. (-2,1) 故得2-a2>a, 解得-2<a<1,故选C. B. (-1,2) D. (-∞,-2)∪(1,+∞) 由题知f(x)在R上是增函数, 题型一:求二次函数的解析式 1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1, 且f(x)的最大值是8, 则此二次函数的解析式为 . 解法1: 利用二次函数的一般式. 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0), 由题意得 4a+2b+c=-1 a-b+c=-1 4ac ? b2 ? 8, 解得 4a a=-4 b=4 c=7 所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 解法2:利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n,因为f(2)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为 x ? 2 1 所以m ? . 2 又根据题意函数有最大值8,所以n=8, 12 所以 y ? f ( x) ? a( x ? ) ? 8. 2 2 ? ? ?1? 1 ? , 2 又因为f(2)=-1 , 2 ? 1? 所以 a· ? 2 ? ? ? 8 ? ?1, 解得a=-4. 2? ? 12 所以 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x 2 ? 4 x ? 7. 2 解法3:利用二次函数的零点式. 由已知,f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值[f(x)]max=8, 2 4 a ( ? 2 a ? 1 ) ? a 即 ? 8, 4a 解得a=-4或a=0(舍去), 所以所求函数解析式为 1 2 2 f ( x) ? ?4( x ? ) ? 8 ? ?4 x ? 4 x ? 7. 2 点评:用待定系数法求二次函数的解析 式,关键是根据题中条件得到待求系数的 方程组,而正确选用二次函数的形式,可 简化求解过程. 已知二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都 有f(x)≤f(1)=3成立,且f(0)=2,则f(x)的解析式 是( ) A.-x2-2x+2 B. -x2+2x+2 C. x2-2x+2 D. x2+2x+2 由已知, 当x=1时,f(x)取最大值3, 从而可设f(x)=a(x-1)2+3 (a<0). 因为f(0)=2, 所以a+3=2, 即a=-1. 所以f(x)=-(x-1)2+3=-x2+2x+2, 故选B. 答案:B 题型二:二次函数在闭区间上的最值问题 a 1 2 2. 已知函数 y ? ?sin x ? asinx ? ? 的最大值 4 2 为 2, 求a的值. 分析:令t=sinx,问题就转化为二次函数 在闭区间上的最值问题. 令t=s

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