五年高考真题分类汇编:三角函数、解三角形_图文

五年高考真题分类汇编:三角函数、解三角形

一.选择题

1.【2015 福建高考,文 6】若 sin ? ? ? 5 ,且? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于(



13

A. 12 B. ? 12

5

5

C. 5 D. ? 5

12

12

【解析】由 sin ? ? ? 5 ,且? 为第四象限角,则 cos? ? 1? sin2 ? ? 12 ,则

13

13

tan? ? sin? ? ? 5 ,故选 D. cos? 12

【答案】D

2.【2015 重庆高考,文 6】若 tan a = 1 , tan(a + b ) = 1 ,则 tan b = ( )

3

2

1
(A)
7

1
(B)
6

5
(C)
7

5
(D)
6

【解析】 tan ?

?

tan[(?

?

? ) ?? ] ? tan(? ? ? ) ? tan? 1? tan(? ? ? ) tan?

1?1

?

1

2 ?

1

3 ?1

?

1 7

,故选

A.

23

【答案】A

3.【2015 高考山东,文 4】要得到函数 y ? si(n 4x ? ? )的图象,只需要将函数 y ? sin4x 3
的图象( )

(A)向左平移 ? 个单位 (B)向右平移 ? 个单位

12

12

(C)向左平移 ? 个单位 (D)向右平移 ? 个单位

3

3

【解析】因为 y ? sin(4x ? ? ) ? sin 4(x ? ? ) ,所以,只需要将函数 y ? sin4x 的图象向右

3

12

平移 ? 个单位,故选 B . 12

【答案】 B
4.【2015 陕西高考,文 6】“ sin? ? cos? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( )
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要

【解析】 cos 2? ? 0 ? cos2 ? ? sin2 ? ? 0 ? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) ? 0 ,

1

所以 sin? ? cos? 或 sin? ? ? cos? ,故答案选 A .
【答案】 A

5.【2015 上海高考,文 17】已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转

? 至 OB ,则点 B 的纵坐标为( ). 3

A. 3 3 2

B. 5 3 2

C. 11 2

D. 13 2

【解析】设直线 OA 的倾斜角为? ,B(m, n)(m ? 0, n ? 0) ,则直线 OB 的倾斜角为 ? ? ? ,
3

因为 A(4

3,1)

,所以 tan?

?

1 43

, tan(? 3

??)

?

n m



n m

?

3 1?

? 3

1
43 ?1

? 13 ,即 33

43

m2 ? 27 n2 ,因为 m2 ? n2 ? (4 3)2 ?12 ? 49 ,所以 n2 ? 27 n2 ? 49 ,所以 n ? 13 或

169

169

2

n ? ? 13 (舍去),所以点 B 的纵坐标为 13 .

2

2

【答案】D

6.【2015 广东高考,文 5】设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c .若 a ? 2 ,

c ? 2 3 , cos ? ? 3 ,且 b ? c ,则 b ? ( ) 2

A. 3

B. 2

C. 2 2

D. 3

【解析】由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? ,所以

? ?2
22 ? b2 ? 2 3 ? 2?b? 2 3 ?

3 ,即 b2 ? 6b ? 8 ? 0 ,解得:b ? 2 或 b ? 4 ,因为 b ? c ,

2

所以 b ? 2 ,故选 B.

【答案】B
7.【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( )

(A) ? 3 2

(B) 3 2

(C) ? 1 2

(D) 1 2

2

【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o = 1 ,故选 D. 2
【答案】D

8.【2015

高考山东,理

3】要得到函数

y

?

sin

? ??

4x

?

? 3

? ??

的图象,只需要将函数

y

?

sin

4x



图象( )

(A)向左平移 ? 个单位 12

(B)向右平移 ? 个单位 12

(C)向左平移 ? 个单位 3

(D)向右平移 ? 个单位 3

【解析】因为

y

?

sin

? ??

4x

?

? 3

? ??

?

sin

4

? ??

x

?

? 12

? ??

,所以要得到函数

y

?

sin

? ??

4x

?

? 3

? ??



图象,只需将函数 y ? sin 4x 的图象向右平移 ? 个单位.故选 B. 12
【答案】B
9.【2015 高考新课标 1,理 8】函数 f (x) = cos(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则 f (x) 的单

调递减区间为( )

(A) (k? ? 1 , k? ? 3), k ? Z (B) (2k? ? 1 , 2k? ? 3), k ? Z

4

4

4

4

(C) (k ? 1 , k ? 3), k ? Z 44

(D) (2k ? 1 , 2k ? 3), k ? Z 44

【答案】D 10.【2015 四川高考,理 4】下列函数中,最小正周期为且图象关于原点对称的函数是( )
3

( A) y ? cos(2x ? ? ) 2

(B) y ? sin(2x ? ? ) 2

(C) y ? sin 2x ? cos 2x (D) y ? sin x ? cos x

【解析】对于选项 A,因为 y ? ? sin 2x,T ? 2? ? ? ,且图象关于原点对称,故选 A. 2
【答案】A

11.【2015

重庆高考,理

9】若

tan ?

?

2

tan

? 5

,则

cos(? sin(?

? 3? ) 10
??)

?



5

A、1

B、2

C、3

) D、4

【解析】

由已知,

cos(? ? 3? ) cos? cos 3? ? sin? sin 3? cos 3? ? tan? sin 3?

10 sin(? ? ? )

?

10

10

sin? cos ? ? cos? sin ?

?

10

10

tan? cos ? ? sin ?

5

5

5

55

cos 3? ? 2 tan ? sin 3? cos ? cos 3? ? 2sin ? sin 3?

?

10 2 tan ? cos ?

5 10 ? sin ?

?

5 10

5 10 =

sin ? cos ?

55 5

55

1 (cos 5? ? cos ? ) ? (cos ? ? cos 5? ) 3cos ?

2 10

10

10

1 sin 2?

10

?

10 cos ?

? 3 ,选 C.

25

10

【答案】C

12.【2015 陕西高考,理 3】如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数

y ? 3sin(? x ? ?) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) 6

A.5

B.6

C.8

D.10

【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k ,所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所以
4

这段时间水深的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C.

【答案】C

13.【2015 安徽高考,理 10】已知函数 f ? x? ? ? sin ??x ? ? ? ( ? ,? ,? 均为正的常数)

的最小正周期为? ,当 x ? 2? 时,函数 f ? x? 取得最小值,则下列结论正确的是( )
3

(A) f ?2? ? f ??2? ? f ?0?

(B) f ?0? ? f ?2? ? f ??2?

(C) f ??2? ? f ?0? ? f ?2?

(D) f ?2? ? f ?0? ? f ??2?

【答案】A

14.【2015 湖南高考,理 9】将函数 f (x) ? sin 2x 的图像向右平移?(0 ? ? ? ? ) 个单位后得 2

到函数 g(x) 的图像,若对满足

f (x1) ? g(x2 )

? 2 的 x1 , x2 ,有

x1 ? x2 min

? ? ,则? 3

?

()

5?

?

A.

B.

12

3

?

?

C.

D.

4

6

【解析】试题分析:向右平移? 个单位后,得到 g(x) ? sin(2x ? 2?) ,又∵

|

f

(x1) ?

g(x2 ) |?

2 ,∴不妨 2x1

?

? 2

? 2k?

, 2x2

? 2?

?

?? 2

? 2m?

,∴

x1

?

x2

?

? 2

??

? (k

? m)?

,又∵

x1

?

x2

min

?

? 3

,∴ ? 2

??

?

? 3

??

?

? 6

,故选

D.

【答案】D.

2?
? 15(. 2014·湖南高考理科·T9)已知函数 f (x) ? sin(x ??),且 3 f (x)dx ? 0, 则函数 f (x) 0

的图象的一条对称轴是

()

5

A. x ? 5? 6

B. x ? 7? C. x ? ?

12

3

D. x ? ? 6

【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解。

? 【解析】选 A.由于 f (x) ? sin(x ??), 且

2? 3

f ( x)dx ? 0, 得到 f ?x? 的对称中心为?? ?

,0 ?? ,

0

?3 ?

所以? ? ? ,x ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,所以 x ? 5? ? k? , k ? Z ,所以 f (x) 的图象的一条

3

32

6

对称轴是 x ? 5? 6。

16.(2014·福建高考文科·T7)7.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? 个单位,得到函数 2
y ? f ? x? 的函数图象,则下列说法正确的是( )

A.y ? f ? x?是奇函数

B.y ? f ? x?的周期是?

C.3y ? f ? x?的图象关于直线x ? ? 对称
2

D.y

?

f

?

x ?的图象关于点 ???

-

? 2

,0 ???

对称

【解题指南】将函数y =sin x的图象向左平移 ? 个单位, 得到函数 2

y

?

sin

? ??

x

?

? 2

? ??

?

cos

x

.然后结合三角函数的图象性质进行判断.

【解析】D.将函数 y =sin x 的图象向左平移 ? 2

个单位,

得到函数 y

?

sin

? ??

x

?

? 2

? ??

?

cos

x

.该

函数是偶函数,故 A 错;周期为 2? ,故 B 错;该函数图象的对称轴为 x ? k? ,故 C 错;

对称中心为

? ??

? 2

?

k?

,

0

? ??

,故

D

正确.

17.(2014·辽宁高考文科·T11)与(2014·辽宁高考理科·T9)相同

y ? 3sin(2x ? ? )

?

将函数

3 的图象向右平移 2 个单位长度,所的图象对应的函数

(

A)

在区间

?? ??12

,

7? 12

? ??

上单调递减

(B)

在区间

?? ??12

,

7? 12

? ??

上单调递增

6

(C

)

在区间

????

? 6

,

? 3

? ??

上单调递减

(D)

在区间

????

? 6

,

? 3

? ??

上单调递增

【解题提示】 结合图象平移的原则得到新函数的解析式,利用正弦函数的单调区间求解新

函数的单调区间

y ? 3sin(2x ? ? )

?

【解析】选B.函数

3 的图象向右平移 2 个单位长度,所的图象对应的函数为

y ? 3sin(2(x ? ? ) ? ? ) ? y ? 3sin(2x ? 2? )

23

3.

2k? ? ? ? 2x ? 2? ? 2k? ? ? ,?k ? Z ? k? ? ? ? x ? k? ? 7? ,?k ? Z ?



2

3

2

得 12

12



y

?

3sin(2x

?

2? 3

)

的增区间为

???k?

?

? 12

,

k?

?

7? 12

? ??

,?k

?

Z

?.

k? ? ? ? x ? k? ? 7? ,?k ? Z ? ? ? x ? 7? ,

当 k ? 0 时, 12

12

为 12

12

可见

y

?

3sin(2x

?

2? 3

)

在区间

?? ??12

,

7? 12

? ??

上单调递增;

2k? ? ? ? 2x ? 2? ? 2k? ? 3? ,?k ? Z ? k? ? 7? ? x ? k? ? 13? ,?k ? Z ?



2

3

2

得 12

12

而不论

k

取何整数值,得到的减区间都不包含区间

????

? 6

,

? 3

? ??

,故只有选项(B)正确.

18.(2014·陕西高考文科·T2)函数 f(x)=cos 错误!未找到引用源。的最小正周期是 ( )

A.错误!未找到引用源。 B.π C.2π D.4π

【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式 T=错误!未找到引用源。,求出它的最小正周期

即可.

【解析】选 B.由 T=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=π ,故 B 正确.

19.(2014·陕西高考理科·T2)函数 f(x)=cos 错误!未找到引用源。的最小正周期是 ( )

A.错误!未找到引用源。 B.π C.2π

D.4π

【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式 T=错误!未找到引用源。,求出它的最小正周期

即可.

7

【解析】选 B.由 T=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=π ,故 B 正确.
20.(2014·天津高考文科·T8)已知函数 f (x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0), x ? R. 在曲 ?
线 y ? f (x) 与直线 y ? 1的交点中,若相邻交点距离的最小值为 3 ,则 f ( x) 的最小正周期
为( )

?

2?

A. 2 B. 3

C.? D. 2?

【解析】选 C.

f (x) ?

3 sin ?x

? cos?x

=

2 sin(? x

?

? 6

)

,由

f

(x)

? 1,得

sin(?x ?

?) 6

?

1 2

,

所以

?

x1

?

? 6

?

? 6

, ? x2


?

? 6

?

5? 6

, ?(x2
所以

?

x1 )

?

2? 3

.
又因为

x2

? x1

?? 3

,故?

? 2, 所以T

?

2? 2

? ?.

21.(2014·浙江高考文科·T4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数

y ? 2 cos 3x 的图像( )

? A.向右平移 12 个单位

? B.向右平移 4 个单位

? C.向左平移 12 个单位

? D.向左平移 4 个单位

【解题提示】 由函数 y ? Asin(?x ??) 的图象平移与变换解决.

y ? sin 3x ? cos3x ?
【解析】选 A.因为

2

cos(3 x

?

?) 4

,故只需将

y

?

2 cos 3x 的图象向

? 右平移 12 个单位即可.

22.(2014·浙江高考理科·T4)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数

y ? 2 sin 3x 的图像( )

? A.向右平移 4 个单位

? B.向左平移 4 个单位

8

? C.向右平移 12 个单位

? D.向左平移 12 个单位

【解题指南】由函数 y ? Asin(?x ??) 的图象平移与变换解决.

y ? sin 3x ? cos 3x ?
【解析】选 D.因为

2

sin(3x

?

? 4

)

,故只需将

y

?

2 sin 3x 的图象向

? 左平移 12 个单位即可.

23.(2014·安徽高考文科·T7)若将函数 f (x) = sin 2x +cos 2x 的图像向右平移? 个单位,

所得图像关于 y 轴对称,则? 的最小正值是( )

?

?

3?

3?

A.

B.

C.

D.

8

4

8

4

【解题提示】平移后得到的函数是余弦函数。

【解析】选 C,将函数 f (x) = sin 2x +cos 2x = 2 sin(2x + p ) 的图像向右平移? 个单位, 4

所得函数为 f (x) = 2 sin[2(x - j ) + p ] = 2 sin[2x +(p - 2j )] ,其图像关于 y 轴对称,

4

4

则 f (x) = 2 cos 2x ,所以 p - 2j = p +kp ,所以? 的最小正值是 3p .

4

2

8

24(. 2014·四川高考理科·T3)为了得到函数 y ? sin(2x ?1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2x

的图象上所有的点( )
A.向左平行移动 1 个长度单位 2
C.向左平行移动 1 个长度单位

B. 向右平行移动 1 个长度单位 2
D. 向右平行移动 1 个长度单位

【解题提示】

y

? sin 2x

向左平行移动1 个长度单位
?????2 ????

y

? sin[2(x ?

1) ?1]

? sin(2x ?1) .

2

【解析】选 A. 将 y ? sin 2x 的图象上所有的点向左平行移动 1 个长度单位得到函数 2
y ? sin[2(x ? 1) ?1] ? sin(2x ?1) .故选 A. 2

25.(2014·四川高考文科·T3)为了得到函数 y ? sin(x ?1) 的图象,只需把函数 y ? sin x

的图象上所有的点( )
A.向左平行移动1个单位长度 C.向左平行移动? 个单位长度

B.向右平行移动1个单位长度 D.向右平行移动? 个单位长度

9

【解题提示】 y ? sin x ?向?左平?行?移动?1个长 ?度?单位?? y ? sin(x ?1) .

【解析】选 A. 只需把 y ? sin x 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度,便得到函数

y ? sin(x ?1) 的图象,选 A. 26. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则
2
AC= ( ) A.5 B.错误!未找到引用源。 C.2 D.1 【解题提示】利用三角形面积公式求得角 B,然后结合条件,利用余弦定理,求得 AC.

【解析】选

B.因为

S△ABC=

1 2

acsinB=

1 2

?

2 ?1 ·sinB= 1 ,所以 sinB= 2

2
,
2

所以 B= ? 或 3? .当 B= ? 时,经计算△ABC 为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.

44

4

(2)所以 B= 3? ,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得 b=错误!未找到引用源。.故选 B. 4

27.(2014·浙江高考文科·T10)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进

行射击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动,此人为

了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角? 的大小(仰角? 为直线 AP 与平面

ABC 所成角)。若 AB ?15m , AC ? 25m , ?BCM ? 30? 则 tan? 的最大值( )

30 A. 5

30 B. 10

43 C. 9

53 D. 9

【解析】选 D. 由勾股定理可得,BC ? 20,过 P 作 PP? ? BC ,交 BC 于 P? ,连结 AP? ,
10

tan? ? PP?

PP? ? CP? tan 30 ? 3 x



AP? ,设 CP? ? x ,则

3

在 Rt△ABC 中,AB=15m,AC=25m,所以 BC=20m

cos ?BCA ? 4

AP? ? 625 ? x2 ? 2? 25x ? 4

所以

5 ,所以

5

? x2 ? 40x ? 625 ,所以

tan? ?

3x

3

?

x2 ? 40x ? 625

3

3

?

1

?

40 x

?

625 x2

3 3 ( 25 ? 4)2 ? 9 x 5 25

3

25 ? 4 x ? 125

3 3

?5 3 9

当 x 5 ,即 4 时, tan? 取得最大值为 5

28.(2014·四川高考文科·T8)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯

角分别为 75 , 30 ,此时气球的高是 60cm ,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240( 3 ?1)m B.180( 2 ?1)m C.120( 3 ?1)m D. 30( 3 ?1)m

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可. 【解析】选 C.记气球的高度为 AD ,交 CB 延长线于 D ,在 Rt?ACD 中, AC ?120 m, 在 ?ABC 中,由正弦定理知,

BC ? AC ?sin ?BAC ? 120 ?sin 45 ? 60? 2

sin ?ABC

sin 75

sin(30 ? 45 )

11

? 120( 3 ?1) m.

29.(2013·湖南高考理)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=

3b,则角 A 等于

()

π

π

π

π

A.12

B.6

C.4

D.3

【解析】选 D 本小题主要考查正弦定理、已知三角函数值求角等知识与方法,考查转化与

化归的数学思想.由已知及正弦定理得 2sin Asin B=

3sin

B,因为

sin

B>0,所以

sin

A=

3 2.

又 A∈??0,π2??,所以 A=π3.

30.(2013·辽宁高考理)在△ABC,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+

csin Bcos A=12b,且 a>b,则∠B=

()

π

π





A.6

B.3

C. 3

D. 6

【解析】选 A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理,意在考查考生对三

角函数基础知识和基本技能的掌握情况.边换角后约去 sin B,得 sin(A+C)=12,所以 sin B

=12,但∠B 非最大角,所以∠B=π6.

31.(2013·浙江高考理)已知 α∈R,sin α+2cos α= 210,则 tan 2α=

()

4 A.3

3 B.4

C.-34

D.-43

【解析】选 C 本题考查对任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义、同角三角函数的基 本关系以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解,考查考生灵活运用公式以及运算的能力.

法一:(直接法)两边平方,再同时除以 cos2α,得 3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3 或 tan α=

-13,代入 tan 2α=1-2tatnanα2α,得到 tan 2α=-34.

法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α= 3 ,cos α= 1 ,这时 sin α+2cos

10

10

α= 210符合要求,此时 tan α=3,代入二倍角公式得到答案 C.

32.(2013·重庆高考理)4cos 50°-tan 40°=

()

.2

2+ 3 B. 2

C. 3

D.2 2-1

【解析】选 C 本题考查三角函数求值问题,意在考查考生对公式的运用能力.

4cos

50°-tan

40°=4cos

50°-csoins

40° 40°

12

=4sin

c4o0s°·4c0o°s 40°-csoins

4400°°=2sin

80°-sin cos 40°

40°=2cos

10°-sin cos 40°

40°

=2cos

3 10°-cossin4?03°0°+10°?=2cos

10°-

3 2 sin

cos 40°

10°



3?cos

30°cos 10°-sin cos 40°

30°sin

10°?=

c3ocsos404°0°=

3.

33.(2013·陕西高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+

ccos B=a sinA,则△ABC 的形状为

()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

【解析】选 B 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用.依据题设条件的特点,由正

弦定理,得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有 sin(B+C)=sin2A,从而 sin(B+C)=sin A=sin2A,

解得 sin A=1,∴A=π2,故选 B.

34.(2013·江西高考理)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2

之间,l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 FG

的长为 x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

【解析】选 D 本题为江西的特色题——图形题,考查三角函数的定义及三角恒等变换,意

在考查考生的识图能力.由题图知正三角形的高为 1,则边长为2 3 3,显然当 x=0 时,y=

2

3

3,且函数

y=f(x)是递增函数,可排除

B;由平行线分线段成比例定理可知BAEB=1-c1os

x 2,

即 BE=2 3 3??1-cos 2x??,而 BE=CD,所以 y=2EB+BC=2 3-4 3 3 cos 2x(0<x<π),排除

A,C,故选 D.

35.(2013·山东高考理)将函数 y=sin(2x +φ)的图象沿 x 轴向左平移π8个单位后,得到一

个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为

()



π

A. 4

B.4

C.0

D.-π4

【解析】选 B 本题考查三角函数的图象变换、性质等基础知识和基本方法,考查运算求解

13

能力,考查方程思想.把函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后,得到的图象的解析
式是 y=sin ??2x+π4+φ??,该函数是偶函数的充要条件是π4+φ=kπ+π2,k∈Z,根据选项检验

可知 φ 的一个可能取值为π4. 36.(2013·大纲卷高考理)已知函数 f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是 A.y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图象关于直线 x=2π对称

()

C.f(x)的最大值为

3 2

D.f(x)既是奇函数,又是周期函数

【解析】选 C 本题考查三角函数性质.因为 f(π+x)+f(π-x)=0,所以 f(x)关于点(π,0)

中心对称,排除选项 A;因为 f??π2+x??=f??2π-x??=sin xsin 2x,所以 f(x)关于直线 x=π2对称,

排除选项 B;由正、余弦函数性质可知,f(x)既是奇函数,又是周期函数,排除选项 D,故

选 C.

37.(2013·湖北高考理)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长

度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

()

π

π

π



A.12

B.6

C.3

D. 6

【解析】选 B 本题考查三角函数的图象与性质,意在考查考生对三角函数变形以及图象平

移等知识的掌握.y=

3cos

x+sin

x=2??

3 2 cos

x+21sin

x??=2sin??x+π3??的图象向左平移

m



单位后,得到 y=2sin??x+m+π3??的图象,此图象关于 y 轴对称,则 x=0 时,y=±2,即 2sin

??m+π3??=±2,所以 m+π3=π2+kπ,k∈Z,由于 m>0,所以 mmin=π6,故选 B.

38.(2013·四川高考理)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)??ω>0,-π2<φ<2π??的部分图象如图所示,

则 ω,φ 的值分别是

()

14

A.2,-3π

B.2,-π6

C.4,-π6

D.4,π3

【解析】选 A 本题考查三角函数的图象及基本性质,意在考查考生从图象中得到函数性质

的转化能力.因为51π2-??-π3??=2ωπ·34,所以 ω=2,又因为 2×51π2+φ=π2+2kπ(k∈Z),且-π2

<φ<π2,所以 φ=-π3,故选 A.

39.(2013·天津高考理)在△ABC 中,∠ABC=π4,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC(

)

10 A. 10

10 B. 5

3 10 C. 10

5 D. 5

【解析】选 C 本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用,意在考查考生分析问题的能

力.由余弦定理可得 AC2=9+2-2×3× 2× 22=5,所以 AC= 5.再由正弦定理得sAinCB=

sBinCA,所以

sin

A=BCA·sCin

B=3×

2 2 =3

5

10 10 .

40.(2013·北京高考文)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则 sin B=

()

1

5

5

A.5

B.9

C. 3

D. 1

【解析】选 B 本题主要考查正弦定理,意在考查考生对正、余弦定理掌握的熟练程度,属

于容易题.

依题意,由sina A=sinb B,即31=sin5 B,得 sin B=59,选 B. 3

41.(2013·安徽高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,

3sin A=5sin B,则角 C=

()

π







A.3

B. 3

C. 4

D. 6

【解析】选 B 本题主要考查解三角形的基本知识,意在考查考生的运算求解能力和推理能

力.

根据正弦定理可将 3sin A=5sin B 化为 3a=5b,所以 a=53b,代入 b+c=2a 可得 c=73b,然 后结合余弦定理可得 cos C=a2+2ba2b-c2=-12,所以角 C=23π. 42.(2013·山东高考文)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,

b= 3,则 c=

()

15

A.2 3

B.2

C. 2

D.1

【解析】选 B 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,考查运算能力和分类讨论思想.由

已知及正弦定理得sin1 A=sin3B=sin

32A=2sin

3 Acos

A,所以

cos

A=

23,A=30°.

结合余弦定理得 12=( 3)2+c2-2c× 3× 23,整理得 c2-3c+2=0,解得 c=1 或 c=2.

当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30°,B=2A=60°,不满足内角和定理,故 c=

2. 43.(2013·大纲卷高考文)已知 α 是第二象限角,sin α=153,则 cos α=

()

A.-1132

B.-153

5 C.13

12 D.13

【解析】选 A 本题主要考查同角三角函数的基本关系中的平方关系.因为 α 是第二象限角,

所以 cos α=- 1-??153??2=-1123.

44.(2013·大纲卷高考文)若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图,则 ω= ( )

A.5

B.4

C.3

D.2

【解析】选 B 本题主要考查三角函数的图像与性质.由函数的图像可得T2=12·2ωπ=??x0+π4??-

x0=π4,解得 ω=4.

45.(2013·福建高考文)将函数 f(x)=sin (2x+θ)??-2π<θ<π2??的图像向右平移 φ(φ>0)个单位

长度后得到函数 g(x)的图像,若 f(x),g(x)的图像都经过点 P??0, 23??,则 φ 的值可以是 ( )





π

π

A. 3

B. 6

C.2

D.6

【解析】选 B 本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识,意在考查

考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.因为函数 f(x)的图像过点 P,所以

θ=3π,所以 f(x)=sin??2x+π3??;又函数 f(x)的图像向右平移 φ 个单位长度后,得到函数 g(x)=

sin??2?x-φ?+3π??,所以 sin??π3-2φ??= 23,所以 φ 可以为56π.

46.(2013·新课标Ⅱ卷高考文)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,

16

B=π6,C=4π,则△ABC 的面积为

()

A.2 3+2

B. 3+1

C.2 3-2

D. 3-1

【解析】选 B 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的内角和定理及面积公式等知识

在解三角形中的应用,意在考查考生的基本运算能力及转化与化归思想的应用.由正弦定理

知,sinb B=sinc C,结合条件得 c=bssiinnBC=2 2.又 sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos

C+cos Bsin C=

6+ 4

2,所以△ABC 的面积 S=12bcsin A=

3+1.

47.(2013·新课标Ⅱ卷高考文)已知 sin 2α=23,则 cos2??α+π4??=

()

1

1

1

2

A.6

B.3

C.2

D.3

【解析】选 A 本题主要考查利用二倍角公式及降幂公式、诱导公式等知识求三角函数的值,

考查三角恒等变换,意在考查考生的运算求解能力.

法一:cos2??α+4π??=12??1+cos??2α+π2????=12(1-sin 2α)=16.

法二:cos??α+π4??=

2 2 cos

α-

2 2 sin

α,所以

cos2??α+π4??=12(cos

α-sin

α)2=12(1-2sin

αcos

α)

=12(1-sin 2α)=16.

48.(2013·湖南高考文)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=

3b,则角 A 等于

()

π

π

π

π

A.3

B.4

C.6

D.12

【解析】选 A 本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程,意在考查考生的

转化能力与三角变换能力.由正弦定理可得,2asin B= 3b 可化为 2sin Asin B= 3sin B,

又 sin B≠0,所以 sin A= 23,又△ABC 为锐角三角形,得 A=π3.

49.(2013·浙江高考文)函数

f(x)=sin

xcos

x+

3 2 cos

2x

的最小正周期和振幅分别是(

)

A.π,1

B.π,2

C.2π,1

D.2π,2

【解析】选 A 本题主要考查三角变换以及三角函数的性质等基础知识,意在考查考生对基

础知识的掌握程度,以及简单的转化与化归能力、运算求解能力.由

f(x)=sin

xcos

x+

3 2 cos

2x=12sin

2x+

3 2 cos

2x=sin??2x+π3??,得最小正周期为

π,振幅为

1.

50.(2013·新课标Ⅰ卷高考文)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A

+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=

()

17

A.10

B.9

C.8

D.5

【解析】选 D 本题主要考查三角函数的化简,考查利用余弦定理解三解形以及方程思想.化

简 23cos2A+cos 2A=0,得 23cos2A+2cos2 A-1=0,解得 cos A=15.由余弦定理,知 a2=b2 +c2-2bccos A,代入数据,解方程,得 b=5.

51.(2013·天津高考文)函数 f(x)=sin??2x-π4??在区间??0,π2??上的最小值为

()

A.-1

B.-

2 2

2 C. 2

D.0

【解析】选 B 本题主要考查三角函数的性质,意在考查考生的数形结合能力.由已知 x∈

??0,π2??,得 2x-π4∈??-4π,34π??,所以 sin??2x-π4??∈??- 22,1??,故函数 f(x)=sin??2x-π4??在区

间??0,π4??上的最小值为-

2 2.

52.(2013·湖北高考文)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长

度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

()

π

π

π

A.12

B.6

C.3

5π D. 6

【解析】选 B 本题主要考查三角函数的性质和三角函数平移变换.y= 3cos x+sin x=
2cos??x-π6??,左移 m 个单位得 y=2cos??x+m-π6??,图像关于 y 轴对称,则 m-π6=kπ,k∈Z,

令 k=0,得 m=π6.

53.(2013·陕西高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+

ccos B=asin A,则△ABC 的形状为

()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

【解析】选 A 本题主要考查三角恒等变换及正弦定理.依据题设条件的特点,边化角选用

正弦定理,有 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,则 sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补

角的意义,得 sin(B+C)=sin2A=1,所以 A=2π,选 A.

54..(2013·江西高考文)若 sinα2= 33,则 cos α=

()

A.-23

B.-13

1 C.3

2 D.3

【解析】选 C 本题主要考查余弦的二倍角公式,考查运算求解能力.因为 sinα2= 33,所

以 cos α=1-2sin2 α2=1-2×?? 33??2=13.

18

55.(2013·四川高考文)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)??ω>0,-π2<φ<2π??的部分图像如图所示,

则 ω,φ 的值分别是

()

A.2,-3π

B.2,-π6

C.4,-π6

D.4,3π

【解析】选 A 本题主要考查正弦型函数的图像和性质,意在考查考生基本方法的掌握和数

形结合的能力.由图知最小正周期 T=2??1112π-51π2??=π,∴ω=2,将图像最高点的坐标??51π2,2??

代入 f(x)=2sin(2x+φ),得 sin??56π+φ??=1,φ=-π3,选 A.

56.(2013·广东高考文)已知 sin??52π+α??=15,那么 cos α=

()

A.-25

B.-15

1 C.5

2 D.5

【解析】选 C 本题主要考查诱导公式知识,意在考查考生的运算求解能力.sin??52π+α??=

sin??2π+??π2+α????=sin??π2+α??=cos α=15.

57.(2013·辽宁高考文)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C

+csin B cos A=12b,且 a>b,则∠B=

()

π

π

A.6

B.3





C. 3

D. 6

【解析】选 A 本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角形内角和定理,意在考查考生对三

角函数基础知识和基本技能的掌握情况.边换角后约去 sin B,得 sin(A+C)=12,所以

sin B=12,但∠B 非最大角,所以∠B=6π.

58.(2012·重庆高考理)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan (α+β)的值



()

A.-3

B.-1

C.1

D.3

【解析】选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α·tan β=2,tan(α+β)=1t-antαan+αttaannββ=-3.

19

59.(2012·山东高考理)若 θ∈[π4,π2],sin 2θ=3 8 7,则 sin θ=

()

3

4

A.5

B.5

7

3

C. 4

D.4

【解析】选 D 因为 θ∈[π4,π2],所以 2θ∈[π2,π],所以 cos 2θ<0,所以 cos 2θ=- 1-sin22θ

=-18.又 cos 2θ=1-2sin2θ=-18,所以 sin2θ=196,所以 sin θ=34.

60.(2012·江西高考理)若 tan θ+tan1 θ=4,则 sin 2θ=

()

1

1

A.5

B.4

1

1

C.3

D.2

【解析】选 D 法一:∵tan θ+tan1 θ=1+tatnanθ2 θ=4,

∴4tan θ=1+tan2 θ,

∴sin 2θ=2sin θcos θ=si2ns2iθn+θccooss2θθ=1+2tatnanθ2θ=24ttaann θθ=12.

法二:∵tan

θ+tan1

θ=csoins

θθ+csoins

θθ=cos

1 θsin

θ=sin22θ

∴4=sin22θ,故 sin 2θ=12.

61.(2012·辽宁高考理)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=

()

A.-1 【解析】选 A

B.-

2 2

2 C. 2

D.1

由 sin α-cos α= 2sin (α-π4)= 2,α∈(0,π),解得 α=34π,所以 tan α

=tan 34π=-1.

62.(2012·天津高考理)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b

=5c,C=2B,则 cos C=

()

7 A.25

B.-275

C.±275

24 D.25

【解析】选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B=

2sisninCB=2cb=45,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×(45)2-1=275.

63.(2012·陕西高考理)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+

b2=2c2,则 cos C 的最小值为

()

3

2

1

A. 2

B. 2

C.2

D.-12

【解析】选 C 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcos C,又 c2=12(a2+b2),得 2abcos C=12(a2+

20

b2),即 cos C=a24+abb2≥24aabb=12.

64.(2012·上海高考理)在△ABC 中,若 sin2 A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是 ( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

【解析】选 C

由正弦定理得 a2+b2<c2,所以 cos C=a2+2ba2b-c2<0,所以∠C 是钝角,

故△ABC 是钝角三角形.

65.(2012·湖南高考理)函数 f(x)=sin x-cos(x+6π)的值域为

()

A.[-2,2]

B.[- 3, 3 ] C.[-1,1]

D.[-

23,

3 2

]

【解析】选 B

因为

f(x)=sin

x-

3 2 cos

x+12sin

x=

3(

3 2 sin

x-12cos

x)=

3sin(x-π6),所以

函数 f(x)的值域为[- 3, 3 ]. 66. (2012·湖南高考理)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB―→·BC―→=1,则 BC=

()

A. 3

B. 7

C.2 2

D. 23

【解析】选 A 设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.AB―→·BC―→=1,即 accos B=-1.

在△ABC 中,再根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,及 AB=c=2,AC=b=3,可得 a2=3,

即 BC= 3.

67.(2012·大纲卷高考理)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= 33,则 cos 2α= ( )

A.-

5 3

B.-

5 9

5 C. 9

5 D. 3

【解析】选 A 将 sin α+cos α= 33两边平方,可得 1+sin 2α=13,sin 2α=-23,所以(-sin α

+cos α)2=1-sin 2α=53,因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+

cos α=-

315,所以

cos

2α=(-sin

α+cos

α)(cos

α+sin

α)=-

5 3

68.(2012·浙江高考理)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵

坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( )

21

【解析】选 A 变换后的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项可得 A 选项正确.

69.(2012·安徽高考理)在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量 OP―→绕点 O

按逆时针方向旋转34π后得向量 OQ―→,则点 Q 的坐标是

()

A.(-7 2,- 2)

B.(-7 2, 2)

C.(-4 6,-2)

D.(-4 6,2)

【解析】选 A 画出草图,可知点 Q 落在第三象限,则可排除 B、D;代入 A,cos∠QOP

=6×?-7

2?+8×?- 62+82

2?=-15000 2=-2 2,所以∠QOP=34π.代入 C,cos∠QOP=

6×?-4626+?+828×?-2?=-241060-16≠-2 2,故答案为 A.

70(2012·新课标高考理)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则 ω 的取

值范围是

()

A.[12,54]

B.[12,34]

C.(0,12]

D.(0,2]

【解析】选 A 函数 f(x)=sin(ωx+π4)的图像可看作是由函数 f(x)=sin x 的图像先向左平移4π个

单位得 f(x)=sin(x+π4)的图像,再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的ω1 倍,纵坐标不变

得到的,而函数 f(x)=sin(x+π4)的减区间是[π4,54π],所以要使函数 f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)

?π4×ω1 ≤2π,
上是减函数,需满足
??54π×ω1 ≥π,

解得12≤ω≤54.

71.(2012·浙江高考文)把函数 y=cos 2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是( )

【解析】选 A 变换后的三角函数为 y=cos (x+1),结合四个选项可得 A 正确.

72.(2012·湖北高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若三边的长为

连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为

()

A.4∶3∶2

B.5∶6∶7

C.5∶4∶3

D.6∶5∶4

22

【解析】选 D 由题意可得 a>b>c,且为连续正整数,设 c=n,b=n+1,a=n+2(n>1,且

n∈N*),则由余弦定理可得 3(n+1)=20(n+2)·?n+1?22+n?nn+2-1??n+2?2,化简得 7n2-13n-60

=0,n∈N*,解得 n=4,由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.

73.(2012·四川高考文)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,连接

EC、ED,则 sin∠CED=

()

3 10 A. 10 【解析】选 B

10 B. 10

5 C. 10

5 D. 15

由题意知

sin∠BEC=

1 ,cos∠BEC= 5

25,又∠CED=π4-∠BEC,

所以

sin∠CED=sinπ4cos∠BEC-cosπ4sin∠BEC=

22×

2- 5

22×

1= 5

10 10 .

74.(2012·辽宁高考文)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 sin 2α=

()

A.-1

B.-

2 2

2 C. 2

D.1

【解析】选 A 法一:由 sin α-cos α= 2可得(sin α-cos α)2=2,即 sin2α-2sin αcos α+cos2α =2,则 2sin αcos α=-1,所以 sin 2α=-1. 法二:因为 sin α-cos α= 2sin(α-4π)= 2,不妨取 α=34π,则 sin 2α=sin32π=-1.

75.(2012·天津高考文)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移π4个单位长度,所得

图像经过点(34π,0),则 ω 的最小值是

()

1 A.3

B.1

5 C.3

D.2

【解析】选 D 将函数 f(x)=sin ωx 的图像向右平移4π个单位长度,得到的图像对应的函数解

析式为 f(x)=sin ω(x-π4)=sin(ωx-ω4π).又因为函数图像过点(34π,0),所以 sin(3ω4 π-ω4π)

=sinω2π=0,所以ω2π=kπ,即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2.

76.(2012·山东高考文)函数 y=2sin??π6x-π3??(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )

A.2- 3

B.0

C.-1

D.-1- 3

【解析】选 A 当 0≤x≤9 时,-3π≤π6x-π3≤76π,- 23≤sin (π6x-π3)≤1,所以函数的最大

23

值为 2,最小值为- 3,其和为 2- 3.

77.(2012·上海高考文)若 Sn=sinπ7+sin27π+…+sinn7π(n∈N*),则在 S1,S2,…,S100 中,

正数的个数是 A.16

B.72

C.86

D.100

()

【解析】选 C 因为 f(x)=sinπ7x的最小正周期 T=14,又 sin7π>0,sin27π>0,…,sin67π>0,

sin77π=0,所以在 S1,S2,…,S14 中有 12 个是正数,故在 S1,S2,…,S100 中有 7×12+2

=86 个是正数.

78.(2012·上海高考文)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是 ( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

【解析】选 C 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状.由正弦定理得 a2+b2<c2,所

以 cos C=a2+2ba2b-c2<0,所以∠C 是钝角,故△ABC 是钝角三角形.

79.(2012·福建高考文)函数 f(x)=sin(x-π4)的图象的一条对称轴是

()

A.x=π4

B.x=π2

C.x=-π4

D.x=-π2

【解析】选 C f(x)=sin(x-4π)的图象的对称轴为 x-π4=kπ+π2,k∈Z,得 x=kπ+34π,当 k

=-1 时,则其中一条对称轴为 x=-π4.

80.(2012·安徽高考文)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos 2x 的( ) A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位

C.向左平移12个单位

D.向右平移12个单位

【解析】选 C y=cos 2x 的图象向左平移12个单位后即变成 y=cos 2(x+12)=cos(2x+1)的图 象.

81.(2012·广东高考文)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC= ( )

A.4 3

B.2 3

C. 3

3 D. 2

【解析】选 B

由正弦定理得:sBinCA=sAinCB,即si3n 620°=sinAC45°,所以 AC=3

2× 3

22=2

3.

2

24

82.(2012·湖南高考文)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( )

3 A. 2

33 B. 2

3+ 6 C. 2

3+ 39 D. 4

【解析】选 B 由余弦定理得:( 7)2=22+AB2-2×2ABcos 60°,即 AB2-2AB-3=0,得

AB=3,故

BC

边上的高是

ABsin

60°=3

2

3 .

83.(2012·大纲卷高考文)若函数 f(x)=sin x+3 φ(φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=

()

π A.2 【解析】选 C





B. 3

C. 2

5π D. 3

若 f(x)为偶函数,则 f(0)=±1,即 sin φ3=±1,∴φ3=kπ+π2(k∈Z).

∴φ=3kπ+32π(k∈Z).只有 C 项符合.

84.(2012·大纲卷高考文)已知 α 为第二象限角,sin α=35,则 sin 2α=

()

A.-2254

B.-2152

12 C.25

24 D.25

【解析】选 A 因为 α 是第二象限角,所以 cos α=- 1-sin2α=-45,所以 sin 2α=2sin α·

cos α=2×35×(-45)=-2245.

85.(2012·新课标高考文)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x=π4和 x=54π是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图

像的两条相邻的对称轴,则 φ=

()

π

π

A.4

B.3

π



C.2

D. 4

【解析】选 A 由于直线 x=4π和 x=54π是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,所

以函数 f(x)的最小正周期 T=2π,所以 ω=1,所以π4+φ=kπ+π2(k∈Z),又 0<φ<π,所以 φ

=π4.

86.(2012·重庆高考文)sin

47°-sin 17°cos cos 17°

30°=

()

A.-

3 2

B.-12

1 C.2

【解析】选 C 原式=sin?30°+17c°o?-s 1s7in°17°cos 30°

=sin

30°cos

17°+cos 30°sin 17°-sin cos 17°

17°cos

30°

3 D. 2

25

=sin c3o0s°c1o7s°17°=12.

87.(2011·新课标高考)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在

直线 y=2x 上,则 cos2θ=

()

A.-45

B.-35

3 C.5

4 D.5

【解析】选 B 由角 θ 的终边在直线 y=2x 上可得 tanθ=2,cos2θ=cos2θ-sin2θ=ccooss22θθ-+ssiinn22θθ

=11- +ttaann22θθ=-35.

88.(2011·新课标高考)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为

π,且 f(-x)=f(x),则

()

A.f(x)在(0,π2)单调递减

B.f(x)在(π4,34π)单调递减

C.f(x)在(0,π2)单调递增

D.f(x)在(π4,34π)单调递增

【解析】选 A y=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin(ωx+φ+π4),由最小正周期为 π 得 ω=2,

又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,|φ|<π2可得 φ=π4,所以 y= 2cos2x,在(0,π2)单调递减.

89.(2011·大纲卷高考)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度

后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于

()

1 A.3

B.3

C.6

D.9

【解析】选 C 依题意得,将 y=f(x)的图象向右平移3π个单位长度后得到的是 f(x-π3)=cosω(x

-π3)=cos(ωx-ω3π)的图象,其与原图象重合,故 cosωx=cos(ωx-ω3π),ωx-(ωx-ω3π)=2kπ,

即 ω=6k(k∈N*),因此 ω 的最小值是 6,选 C.

90.(2011·安徽高考)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f(6π)|对 x∈R 恒

成立,且 f(2π)>f(π),则 f(x)的单调递增区间是

()

A.[kπ-3π,kπ+π6](k∈Z)

B.[kπ,kπ+π2](k∈Z)

C.[kπ+π6,kπ+23π](k∈Z)

D.[kπ-2π,kπ](k∈Z)

【解析】选 C 因为当 x∈R 时,f(x)≤|f(π6)|恒成立,所以 f(π6)=sin(π3+φ)=±1,可得 φ=2kπ

26

+π6或 φ=2kπ-56π.因为 f(2π)=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ,故 sinφ<0,所以 φ

=2kπ-56π,所以 f(x)=sin(2x-56π),函数的单调递增区间为-2π+2kπ≤2x-56π≤π2+2kπ,

所以 x∈[kπ+π6,kπ+23π](k∈Z),故选 C.

91.(2011·山东高考)若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,2π]上

单调递减,则 ω=

()

A.3

B.2

3 C.2

2 D.3

【解析】选 C 由于函数 f(x)=sinωx 的图象经过坐标原点,根据已知并结合函数图象可知,

π3为这个函数的四分之一周期,故2ωπ=43π,解得 ω=32. 92. (2011·四川高考)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是 ( )

A.(0,π6]

B.[6π,π)

C.(0,π3]

D.[π3,π)

【解析】选 C 由已知及正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,而由余弦定理可知 a2=b2+c2-

2bccosA,于是可得 b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc,可得 cosA≥12,注意到在△ABC 中,0<A<π,

故 A∈(0,π3].

93.(2011·重庆高考)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,

且 C=60°,则 ab 的值为

()

4 A.3

B.8-4 3

C.1

2 D.3

【解析】选 A

依题意得??????aa2+ +bb?22--cc2=2=24a,bcos60°=ab 两式相减得 ab=43,选 A.

94. (2011·天津高考)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,

BC=2BD,则 sinC 的值为

()

3 A. 3

3 B. 6

6 C. 3

6 D. 6

【解析】选 D 设 AB=c,则 AD=c,BD= 2c ,BC= 4c ,在△ABD 中,由余弦定理得 cosA

3

3

27

=c2+c22c-2 43c2=13,则

sinA=2 3

2.在△ABC

4c

中,由正弦定理得sincC=sBinCA=2

3, 2

3

解得 sinC= 66,故选择 D.

95.(2011·福建高考)若 tan α=3,则scions22αα的值等于

A.2

B.3

C.4

D.6

【解析】选 D scions22αα=2sicnoαsc2αosα=2tanα=2×3=6,故选 D.

()

96.(2011·湖北高考)已知函数 f(x)= 3sinx-cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围( ) A.{x|kπ+π3≤x≤kπ+π,k∈Z} B.{x|2kπ+3π≤x≤2kπ+π,k∈Z} C.{x|kπ+π6≤x≤kπ+56π,k∈Z} D.{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+56π,k∈Z} 【解析】选 B 根据题意,变形得 f(x)=2sin(x-6π),f(x)≥1,所以 2sin(x-π6)≥1,即 sin(x -π6)≥12,由图象可知满足π6+2kπ≤x-6π≤56π+2kπ(k∈Z),解得π3+2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z).

97.(2011·浙江高考)若 0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-β2)= 33,则 cos(α

+β2)=

()

3 A. 3

B.-

3 3

53 C. 9

D.-

6 9

【解析】选 C 对于 cos(α+β2)=cos[(π4+α)-(π4-β2)]=cos(π4+α)cos(π4-β2)+sin(π4+α)sin(π4-

β2),而(π4+α)∈(4π,34π),(π4-β2)∈(π4,π2),因此 sin(π4+α)=2 3 2,sin(π4-β2)= 36,则 cos(α+β2)

=13×

33+23 2×

36=5

9

3 .

98.(2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+

bcos2A= 2a,则ba=

()

A.2 3

B.2 2

C. 3

D. 2

【解析】选 D 由正弦定理,得 sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA,即 sinB·(sin2A+cos2A)= 2

28

sinA,所以 sinB= 2sinA.∴ba=ssiinnBA= 2.

99. (2011·辽宁高考)设 sin(4π+θ)=13,则 sin2θ=

A.-79

B.-19

1 C.9

7 D.9

【解析】选 A sin2θ=-cos(π2+2θ)=2sin2(π4+θ)-1=2×(13)2-1=-79.

()

二.填空题

100【. 2015 高考浙江,文 11】函数 f ? x? ? sin2 x ? sin x cos x ?1的最小正周期是



最小值是



【解析】 f ? x? ? sin2 x ? sin x cos x ?1 ? 1 sin 2x ? 1? cos 2x ?1 ? 1 sin 2x ? 1 cos 2x ? 3

2

2

2

2

2

?

2 sin(2x ? ? ) ?

2

4

3 2

,所以 T

?

2? 2

??



f (x)min

?

3 2

?

2
.
2

【答案】? , 3 ? 2 2

101【. 2015 福建高考,文 14】若 ?ABC 中,AC ? 3 ,A ? 450 ,C ? 750 ,则 BC ? _______.

【解析】由题意得 B ? 1800 ? A ? C ? 600 .由正弦定理得 AC ? BC ,则 sin B sin A
BC ? AC sin A , sin B

3? 2

所以 BC ?

2 ? 2.

3

2

【答案】 2

102.【2015 重庆高考,文 13】设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且
a = 2, cos C = - 1 , 3sin A = 2sin B ,则 c=________. 4
【解析】由 3sin A = 2sin B 及正弦定理知: 3a ? 2b ,又因为 a ? 2 ,所以 b ? 2 , 由余弦定理得: c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 4 ? 9 ? 2? 2? 3? (? 1) ? 16 ,所以 c ? 4 ;故填:
4
4. 【答案】4

29

103.【2015 陕西高考,文 14】如图,某港口一天 6 时到 18 时的谁深变化曲线近似满足函数
y=3sin( ? x+Φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________. 6

【解析】由图像得,当 sin(? 6

x

?

?)

?

?1 时

ymin

?

2

,求得 k

?

5



当 sin(? 6

x ? ?)

? 1时,

ymax

?

3?1? 5

? 8 ,故答案为

8.

【答案】8

104.【2015 上海高考,文 1】函数 f (x) ? 1? 3sin2 x 的最小正周期为

.

【解析】因为 2sin2 x ? 1? cos 2x ,所以 f (x) ? 1? 3 (1? cos 2x) ? ? 1 ? 3 cos 2x ,所以

2

22

函数 f (x) 的最小正周期为 2? ? ? . 2

【答案】 ?

105.【2015 湖南高考,文 15】已知? >0,在函数 y=2sin ? x 与 y=2cos? x 的图像的交点中,

距离最短的两个交点的距离为 2 3 ,则? =_____.

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

(?1(k1?

?

? 4

,2),(?1(k2?

?

5? 4

,?

2),k1,k2

?

Z

?

, 距离最短的两个交点一定在同

? ? 一个周期内,? 2

3

2
?

1(5? ? ? )2 ?(? 2 ? 2)2,?? ? ?

.

?2 4 4

2

【答案】? ? ? 2

106【. 2015 天津高考,文 14】已知函数 f ? x? ? sin ?x ? cos?x ?? ? 0? , x ? R ,若函数 f ? x?

在区间 ???,? ? 内单调递增,且函数 f ? x? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则? 的值





【解析】由 f ? x? 在区间 ???,? ? 内单调递增,且 f ? x? 的图像关于直线 x ? ? 对称,可得

30

2? ? π ?

,且 f ?? ? ? sin ?2 ? cos?2 ?

2

?

sin

? ??

?

2

?

π 4

? ??

?

1,所以

?2 ? π ? π ?? ? π .

42

2

【答案】 π 2
107【. 2015 四川高考,文 13】已知 sinα+2cosα=0,则 2sinαcosα-cos2α 的值是______________. 【解析】由已知可得,sinα=-2cosα,即 tanα=-2

2sinαcosα-cos2α=

2

sin? cos? ? cos2 sin2 ? ? cos2 ?

?

?

2 tan? ?1 tan2 ? ?1 ?

?4 ?1 ? ?1 4 ?1

【答案】-1

108.【2015 安徽高考,文 12】在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75? , ?B ? 45? ,则

AC ?

.

【解析】由正弦定理可知:

sin[180?

AB ? (75?

? 45? )]

?

AC sin 45?

?

6 sin 60?

?

AC sin 45?

?

AC

?

2

【答案】2

109.【2015 高考湖北,文 15】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时

测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏

北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此

D

山的高度 CD ? _________m.
C

B

A

【解析】在 ?ABC 中, ?CAB ? 300 , ?ACB ? 750 ? 300 ? 450 ,根据正弦定理知,

BC ? AB ,即 BC ? AB ? sin ?BAC ? 600 ? 1 ? 300 2 ,所以

sin ?BAC sin ?ACB

sin ?ACB

22

2

CD ? BC ? tan ?DBC ? 300 2 ? 3 ? 100 6 ,故应填 3

100 6 .

31

【答案】100 6 .

120.【2015 上海高考,文 14】已知函数 f (x) ? sin x .若存在 x1 , x2 , ??? , xm 满足

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且

| f (x1) ? f (x2 ) | ? | f (x2 ) ? f (x3) | ? ??? ? | f (xm?1) ? f (xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N?) ,则 m

的最小值为

.

【解析】因为函数 f (x) ? sin x 对任意 xi , x j (i, j ? 1,2,3,???, m) ,

| f (xi ) ? f (x j ) |? f (x)max ? f (x)min ? 2 ,

欲使 m 取得最小值,尽可能多的让 xi (i ? 1,2,3,???, m) 取得最高点,考虑

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? , | f (x1) ? f (x2 ) | ? | f (x2 ) ? f (x3) | ? ??? ? | f (xm?1) ? f (xm ) |? 12 (m ? 2, m ? N? ) 按下图
取值满足条件,
所以 m 的最小值为 8.

【答案】8

121.【2015 北京高考,文 11】在 ???C 中,a ? 3 ,b ? 6 ,?? ? 2? ,则 ?? ?



3

【解析】由正弦定理,得 a ? b ,即 3 ? 6 ,所以 sin B ? 2 ,所以 ?B ? ? .

sin A sin B

3 sin B

2

4

2

【答案】 ? 4

122.【2015 上海高考,理 13】已知函数 f ? x? ? sin x .若存在 x1 , x2 , ??? , xm 满足

0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn?1 ? ? f ? xn ? ? 12( m ? 2 ,m ? ?? ),则 m

32

的最小值





【解析】因为 f ? x? ? sin x ,所以 f ? xm ? ? f ? xn ? ? f (x)max ? f (x)min ? 2 ,因此要使得

满足条件 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn?1 ? ? f ? xn ? ? 12 的 m 最小,须取

x1

?

0, x2

?

? 2

,

x3

?

3? 2

, x4

?

5? 2

, x5

?

7? 2

,

x6

?

9? 2

, x7

?

11? 2

,

x8

?

6? ,



m

?

8.

【答案】 8

123.【2015 天津高考,理 13】在 ?ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

?ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? 1 , 则 a 的值为

.

4

【解析】因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? 15 ,
4



S?ABC

?

1 2

bc sin

A

?

15 bc ? 3 8

15,?bc

?

24

,解方程组

?b ? c ??bc ?

?2 24



b

?

6,

c

?

4



由余弦定理得

a2

?

b2

?

c2

?

2bc

cos

A

?

62

?

42

?

2

?

6

?

4

?

? ??

?

1 4

? ??

?

64

,所以

a

?

8

.

【答案】 8 124【. 2015 上海高考,理 14】在锐角三角形 ??C 中,tan ? ? 1 ,D 为边 ?C 上的点,???D
2 与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 .过 D 作 D? ? ?? 于 ? , DF ? ?C 于 F ,则

D? ? DF ?



【答案】 ? 16 15

125【. 2015 广东高考,理 11】设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,若 a ? 3 ,

sin B ? 1 , C ?π ,则 b ?

.

2

6

33

【解析】因为 sin B ? 1 且 B ? ?0,? ? ,所以 B ? ? 或 B ? 5? ,又 C ? ? ,所以 B ? ? ,

2

6

6

6

6

A ? ? ? B ? C ? 2? ,又 a ? 3

3

,由正弦定理得

a sin

A

?

b sin

B



sin

3 2?

?

b sin ?

解得

3

6

b ? 1,故应填入1.

【答案】1.

126.【2015 北京高考,理 12】在 △ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 sin 2A ?



sin C

【解析】

sin 2A sin C

?

2 sin A cos A sin C

?

2a b 2 c?

? c2 ? a2 2bc

?

2

? 6

4

?

25 ? 36 ? 16 2?5? 6

?1

考点定位:本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式,灵活使用正弦定理、余弦

定理进行边化角、角化边.

【答案】1

127.【2015 高考湖北,理 12】函数 f (x) ? 4 cos2 x cos( π ? x) ? 2sin x? | ln(x ? 1) | 的零点个数 22





【解析】因为 f (x) ? 4 cos2 x cos( π ? x) ? 2sin x? | ln(x ? 1) | 22

? 2(1? cos x) sin x ? 2sin x? | ln(x ?1) |

? sin 2x? | ln(x ?1) |

所以函数 f (x) 的零点个数为函数 y ? sin 2x 与 y ?| ln(x ?1) | 图象的交点的个数,

函数 y ? sin 2x 与 y ?| ln(x ?1) | 图象如图,由图知,两函数图象有 2 个交点,

所以函数 f (x) 有 2 个零点.

【答案】2

128.【2015 四川高考,理 12】 sin15? ? sin 75? ?

.

34

【解析】法一、 sin15 ? sin 75 ? sin15 ? cos15 ?

2 sin(15 ? 45 ) ?

6
.

2

法二、 sin15 ? sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ? sin(45 ? 30 ) ? 2sin 45 cos 30 ?

6
.

2

法三、 sin15 ? sin 75 ?

6?

2?

6?

2?

6
.

4

4

2

【答案】

6
.

2

129.【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时

测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏

北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 CD ?

m.

【答案】100 6

130.【2015 重庆高考,理 13】在 ABC 中,B=120o ,AB= 2 ,A 的角平分线 AD= 3 ,则
AC=_______.

【解析】由正弦定理得 AB ? AD ,即

2 ? 3 ,解得

sin ?ADB sin B sin ?ADB sin120?

sin ?ADB ? 2 , ?ADB ? 45? ,从而 ?BAD ? 15? ? ?DAC ,所以 2
C ? 180? ?120? ? 30? ? 30? , AC ? 2 AB cos 30? ? 6 .

【答案】 6

131.【2015 高考浙江,理 11】函数 f (x) ? sin2 x ? sin x cos x ?1的最小正周期是



35

单调递减区间是



【解析】试题分析: f (x) ? 1? cos 2x ? sin 2x ?1 ? 2 sin(2x ? ? ) ? 3 ,故最小正周期

2

2

2

42

为? ,单调递减区间为[3? ? k? , 7? ? k? ] , k ? Z .

8

8

【答案】? ,[3? ? k? , 7? ? k? ] , k ? Z .

8

8

132.【2015 福建高考,理 12】若锐角 ?ABC 的面积为10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC

等于________.

【解析】由已知得 ?ABC 的面积为 1 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ,所以 sin A ? 3 ,

2

2

A? (0, ? ) ,所以 A ? ? .由余弦定理得 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC cos A ? 49 ,

2

3

BC ? 7 .

【答案】 7

133.【2015 高考新课标 1,理 16】在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则

AB 的取值范围是

.

【答案】( 6 ? 2 , 6+ 2 )

134.【2015 江苏高考,8】已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? 1 ,则 tan ? 的值为_______.
7

【解析】 tan ?

?

tan(?

?

?

??)

?

tan(? ? ? ) ? tan? 1 ? tan(? ? ? ) tan?

?

1?2 7 1? 2

?

3.

7

36

【答案】3
135.(2014·安徽高考文科·T12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 , 过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1 ;过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2 ;过点 A2 作 A1C 的垂 线,垂足为 A3 ;…,以此类推,设 BA ? a1 , AA1 ? a2 , A1A2 ? a3 ,…, A5 A6 ? a7 ,则 a7 ? ________.

【解题提示】 根据三角函数的定义,依次解等腰直接三角形。
【解析】由题意可得 a1 = 2,a2 =2? sin450 2,a3=a2 ? sin450 1,

a4 =a3 ? sin450

2 2

,

a5

=

a4 ?

sin450

1 2

, a6

=a5

?

sin450

2, 4

a7 = a6 ? sin450

2? 2=1, 4 24

答案: 1 4
136.(2014·上海高考理科·T1)(2014·上海高考文科·T1)

函数y ? 1? 2 cos2 (2x)的最小正周期是_______.

【解题提示】 先根据倍角公式将函数化为 y=cos(4x),再根据周期公式求解。
【解析】 y ? ?(2cos2(2x) ?1) ?? ? cos(4x), 所以函数的最小正周期T ? ? . 2
答案: ? 2
137(2014·上海高考理科·T12)
设常数a使方程sin x ? 3 cos x ? a在闭区间?0, 2? ?上恰有三个解
x1, x2 , x3,则x1+x2 +x3 = _________ .
【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图像即得.
【解析】

37

设f (x) ? sin x ?

3

cos

x

?

2 sin( x

?

? 3

),因为x

??0,

2?

?,

所以x

?

? 3

?

?? ?? 3

,2?

+

? 3

???,

根据方程恰有三个解,结合三角函数图像易得x 1

?

0, x2

?

? 3

,

x3

?

2? , 所以x1+x2 +x3 =

7? 3

.

答案:7? . 3

138(2014·山东高考文科·T12)

函数 y ? 3 sin 2x ? cos2 x 的最小正周期为

.

2

【解题指南】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.

【解析】: y ?

3 sin 2x ? cos2 x ? 2

3 2

sin

2x

?

1 2

cos

2x

?

1 2

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1 2

?T ?2? ?? . 2

答案:T ? ?

139 (2014·上海高考文科·T12)

方程sin x ? 3 cos x ?1在区间?0, 2? ?上的所有解的和等于______.

【解题提示】

首先将左边函数化为Asin(?x+?)的形式,再根据三角函数的图像特点可求.

【解析】

令f(x)=sinx+ 3 cos x ? 2sin(x ? ? ) ? 1, 所以sin(x ? ? ) ? 1 ,即x ? ? ? 5? 或2? + ?

3

32

36

6

解得x= ? 或11? ,所以所有解的和为 7? .

26

3

答案:7? . 3

140.(2014·重庆高考文科·T13)将函数

f

(x)

?

sin(? x

?

?

)

? ??

?

?

0, ?

? 2

??

?

? 2

? ??

图象

上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 ? 个单位长度得到 6

y ? sin x

的图象,则

f

? ??

? 6

? ??

?

.

【解题提示】先根据三角函数图象变换求出 ?,?

的值,然后求出实数

f

? ??

? 6

? ??

的值.

38

【解析】函数 f (x) ? sin(?x ??) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,

则函数变为 y ? sin(2?x ??) ,再向右平移 ? 个单位长度得到的函数为 6

y

?

sin

???2?

? ??

x

?

? 6

? ??

?

?

? ??

?

sin

? ??

2?

x

?

? 3

?

?

?

? ??

?

sin

x

?2? ? 1

所以

? ??? ?

? 3

?

?

?

?

2k? ,

k

?

Z

又因为? ? 0, ? ? ? ? ? ?

2

2

可求得? ? 1 ,? ? ? 26

,所以

f

(x)

?

sin

? ??

1 2

x

?

? 6

? ??

所以

f

? ??

? 6

? ??

?

sin

? ??

1 2

?? 6

?

? 6

? ??

?

sin

? 4

?

2. 2

答案: 2 2

141.(2014·安徽高考理科·T11)若将函数 f (x) = sin(2x + p ) 的图像向右平移? 个单位, 4
所得图像关于 y 轴对称,则? 的最小正值是________

【解题提示】平移后的函数是余弦函数。

【解析】将函数 f (x) = sin(2x + p ) 的图像向右平移? 个单位,所得函数为 4

f (x) ? sin[2(x ??) ? ? ] ? sin[2x ? (? ? 2?)],其图像关于 y 轴对称,则 f (x) = cos 2x ,

4

4

所以 ? ? 2?= ? +k?,(k ? Z ),当 k=-1 时? 的最小正值是 3p

4

2

8

答案: 3p 8

142. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T14)函数 f(x)=sin(x+φ )-2sinφ cosx 的最大值



.

【解题提示】将函数 f(x)展开,重新合并整理,结合三角函数的性质求得最大值. 【解析】f(x)=sin(x+φ )-2sinφ cosx=sinxcosφ +cosxsinφ -2sinφ cosx =sinxcosφ -cosxsinφ =sin(x-φ )≤1. 故最大值为 1. 答案:1

39

143. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T14)函数 f(x)=sin ? x ? 2? ? -2sinφ cos ? x ?? ? 的

最大值为

.

【解题提示】将函数 f(x)展开,重新合并整理,求得最大值.

【解析】因为 f(x)=sin(x+2φ )-2sinφ cos(x+φ )

=sin(x+φ )·cosφ +cos(x+φ )·sinφ -2sinφ cos(x+φ )

=sin(x+φ )·cosφ -cos(x+φ )·sinφ

=sinx≤1.所以最大值为 1.

答案:1

144. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A=错误!

未找到引用源。,a=1,b=错误!未找到引用源。,则 B=

.

【解析】依题意,由正弦定理知错误!未找到引用源。= 3 ,得出 sinB= 3 .由于 0<B<π ,

sin B

2

所以 B=错误!未找到引用源。或 2? . 3
答案:错误!未找到引用源。或 2? 3

【误区警示】由于解题过程中无法判断 B 是锐角还是钝角,所以由 sinB= 3 得到两个结 2

果:B=错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。.本题的易错点是漏掉其中一个.

145.(2014·广东高考理科)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,

则a=

.

b

【解析】方法一:由正弦定理 bcosC+ccosB=2b,

即 sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即 sin(B+C)=2sinB,sin(π -A)=2sinB,

有 sinA=2sinB,

再由正弦定理得 a=2b,错误!未找到引用源。=2.

方法二:如图,作 AD⊥BC 于点 D,

则 a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即错误!未找到引用源。=2.
40

答案:2
?a ? c cos B ? b cos C, 【创新提示】熟用三角形射影定理 ??b ? a cos C ? c cos A, 可迅速得解.
??c ? a cos B ? b cos A

146.(2014·福建高考文科·T14)14.在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 AB 等
于_________ 【解题指南】直接应用余弦定理求解。
【解析】由余弦定理 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC ? cos A ,得 3 ? AB2 ? 4 ? 2? 2AB ? cos 60 ,即 AB2 ? 2AB ?1 ? 0 ,解得 AB ?1.
答案:1. 147.(2014·福建高考理科·T12)

在 ?ABC中, A ? 60?, AC ? 4, BC ? 2 3 ,则 ?ABC的面积等于_________
【解题指南】先利用余弦定理求出 AB,再由面积公式求解。

【解析】由题, BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC ? cos A ,

即12 ? AB2 ?16 ? 2? 4? AB ? 1 ,解得 AB ? 2 ,所以 S ? 1 AB ? AC ?sin A ? 2 3 .

2

2

【答案】 2 3

148. (2014·山东高考理科·T12)

在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? ? 时, ?ABC 的面积为

.

6

【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式,先利用数量积的定义写出

等式,再利用面积公式求出三角形面积.

【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得 AB ? AC ? AB AC cos A ? tan A ,

所以

AB ?

AC

?

tan cos

A A

?

tan ? 6
cos?

? 2, 3

6

所以 S?ABC

?

1 2

AB

?

AC

sin

A?

1? 2

2 ? sin ? 36

?

1 6

答案: 1 6

41

149. (2014·天津高考理科·T12)在 DABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c .已

知 b - c = 1 a , 2sin B = 3sinC ,则 cos A 的值为_______. 4
【解析】因为 2sin B = 3sinC ,所以 2b = 3c ,解得 b = 3c , a = 2c . 2

所以 cos A =

b2 + c2 -

a2 =-

1
.

2bc

4

【答案】- 1 4
150 (2014·浙江高考理科·T17)如图,某人在垂直于水平地面

的墙面前的点 处进

行射击训练. 已知点 到墙面的距离为 ,某目标点 沿墙面的射击线 移动,此人为了准

确瞄准目标点 ,需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若

则 的最大值

【解析】由勾股定理可得, BC ? 20,过 P 作 PP? ? BC ,交 BC 于 P? ,连结 AP? ,

tan? ? PP?

PP? ? CP? tan 30 ? 3 x



AP? ,设 CP? ? x ,则

3

在 Rt△ABC 中,AB=15m,AC=25m,所以 BC=20m

cos ?BCA ? 4

AP? ? 625 ? x2 ? 2? 25x ? 4

所以

5 ,所以

5

? x2 ? 40x ? 625 ,

tan? ?
所以

3x

3

?

x2 ? 40x ? 625

3

3

?

1?

40 x

?

625 x2

3 3 ( 25 ? 4)2 ? 9 x 5 25

42

3

25 ? 4 x ? 125

3 3

?5 3 9

当 x 5 ,即 4 时, tan? 取得最大值为 5

53 答案: 9
151. (2014·四川高考理科·T13)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的

俯角分别为 67 , 30 ,此时气球的高度是 46m,则河流的宽度 BC 约等于

m.(用四

舍五入法将结果精确到个位.参考数据: sin 67 ? 0.92 , cos 67 ? 0.39 , sin 37 ? 0.60 ,

cos37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可.

【解析】记气球的高度为 AD ,交 CB 延长线于 D ,在 Rt ?ACD 中,AC ? 92m,在 ?ABC

中, BC ? AC ?sin ?BAC ? 92 ?sin 37 ? 92 ? 0.60 ? 60 m.

sin ?ABC

sin 67

0.92

答案:60

152. (2013·福建高考理)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC =2 3 2,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________.

【解析】本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识,意在考查考生的转化和化归能力、运算 求解能力. 因为 sin∠BAC=23 2,且 AD⊥AC,
所以 sin??π2+∠BAD??=2 3 2,所以 cos∠BAD=23 2,在△BAD 中,由余弦定理得,
BD= AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD
43



?3 2?2+32-2×3 2×3×23 2= 3.

【答案】 3 153(2013·安徽高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c= 2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用.由 3sin A=5sin B 可得 3a=5b,又 b+c=2a, 所以可令 a=5t(t>0),则 b=3t,c=7t,可得 cos C=a2+2ba2b-c2=?5t?22+×?35tt?×2-3t?7t?2=-12, 故 C=23π. 【答案】23π 154.(2013·浙江高考理)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM=13,则 sin∠BAC=________. 【解析】本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有

关的问题.考查考生灵活利用公式的能力.△ABM 中,由正弦定理sin∠BMBAM=sin∠ABBMA=

cos∠ABMAC,所以32a=c

a22+b 4b2,整理得(3a2-2c2)2=0

,ac22=23,故 sin∠BAC=ac=

6 3.

【答案】

6 3

155.(2013·新课标Ⅰ卷高考理)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则

cos θ=________.

【解析】本题考查三角函数诱导公式、两角差的三角函数公式、三角函数的化简运算及求最

值的方法,意在考查考生利用两角差的三角函数公式进行化简、运算和转化的能力.先利用

asin x+bcos x 的结构通过构造进行合并化简为一个函数,然后讨论函数 f(x)取到最值的条件,

并利用诱导公式求解.f(x)=sin x-2cos x=

5

? ?

5 5 sin

x-2 5

5 cos

x??=

5sin (x-φ),其中

sin φ=2 5 5,cos φ= 55,当 x-φ=2kπ+π2(k∈Z)时函数 f(x)取到最大值,即 θ=2kπ+π2+φ

时函数

f(x)取到最大值,所以

cos

θ=-sin

φ=-2

5

5 .

【答案】-2 5 5
156. (2013·新课标Ⅱ卷高考理)设 θ 为第二象限角,若 tan??θ+π4??=12,则 sin θ+cos θ=

________. 【解析】本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用,意在考查考生

44

灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力.

法一:由 θ 在第二象限,且 tan??θ+π4??=12,因而 sin??θ+π4??=- 55,因而 sin θ+cos θ= 2

sin??θ+π4??=-

10 5.

法二:如果将 tan??θ+π4??=12利用两角和的正切公式展开,则t1a-n θta+n 1θ=12,求得 tan θ=-13.

又因为 θ 在第二象限,则 sin θ=

1 ,cos θ=- 10

3 ,从而 sin θ+cos θ=- 10

2 =- 10

10 5.

【答案】-

10 5

157.(2013·江西高考理)函数 y=sin2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________.

【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期性,意在考查考生的转化与化归能力以

及运算能力.y=sin 2x+2 3sin2x=sin 2x- 3cos 2x+ 3=2sin(2x-π3)+ 3,所以该函数

的最小正周期 T=22π=π.

【答案】π

158.(2013·大纲卷高考理)已知 α 是第三象限角,sin α=-13,则 cot α=________.

【解析】本题考查同角三角函数关系.由 α 是第三象限角及 sin α=-13,可得 cos α=-2 3 2,

所以 cot α=2 2.

【答案】2 2

159.(2013·四川高考理)设 sin 2α=-sin α,α∈??π2,π??,则 tan 2α 的值是________.

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式,意在考查考生的运算能力及符号取

舍的判断能力.因为 sin 2α=-sin α,所以 2sin αcos α=-sin α,cos α=-12.又 α∈??π2,π??,

所以 α=23π,tan 2α=tan 43π= 3.

【答案】 3 160.(2013·重庆高考文)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立, 则 α 的取值范围为________. 【解析】本题主要考查二次函数的图像、三角函数的运算、三角不等式的解法、不等式恒成 立问题. 根据题意可得(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即 2sin2α-cos 2α≤0,2sin2α-(1-2sin2 α)≤0,即 -12≤sin α≤12.因为 0≤α≤π,故 α∈(0,π6 )∪(56π,π).

45

【答案】(0,π6 )∪(56π,π)

161.(2013·江苏高考文)函数 y=3sin??2x+π4??的最小正周期为________.
【解析】本题主要考查三角函数的周期性,意在考查学生的运算能力.

T=22π=π. 【答案】π 162.(2013·新课标Ⅱ高考文)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后,

与函数 y=sin??2x+π3??的图像重合,则 φ=________.
【解析】本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识,意在考查

考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用.将 y=cos(2x+φ)的图像向右平移π2个单位后
得到 y=cos??2??x-π2??+φ??的图像,化简得 y=-cos(2x+φ),又可变形为 y=sin??2x+φ-2π??.

由题意可知 φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以 φ=56π+2kπ(k∈Z),结合-π≤φ<π 知 φ=56π.

【答案】56π 163.(2013·新课标Ⅰ卷高考文)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则

cos θ________. 【解析】本题主要考查三角函数的化简与求值.f(x)= 5sin(x-φ),其中 sin φ= 2 ,cos φ
5



1 ,当 5

x=θ

时,f(x)最大,即

θ-φ=π2+2kπ(k∈Z),∴θ=π2+φ+2kπ(k∈Z),cos

θ=

cos??π2+φ+2kπ??=-sin φ=-25 5.95.

【答案】-2 5 5

164.(2013·江西高考文)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】本题主要考查两角和与差的公式、辅助角公式的应用、三角函数的基本性质,考查

化归与转化思想.由题意知 f(x)=2sin??3x+π6??,则|f(x)|≤2,所以 a≥2.
【答案】[2,+∞)
165.(2013·四川高考文)设 sin 2α=-sin α,α∈??π2,π??,则 tan 2α 的值是________.
【解析】本题主要考查简单的三角恒等变换,意在考查考生对公式的掌握与应用.∵sin 2α

46

=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-12,又 α∈??π2,π??,∴sin α= 23,tan α=- 3,∴tan 2α
=1-2tatnanα2α=1--?-2 33?2= 3. 【答案】 3 166.(2013·山东高考文)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置 在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1) 时,OP―→的坐标为________.

【解析】因为圆心移动的距离为 2,所以劣弧 PA =2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2 -π2,所以 PB=sin(2-π2)=-cos 2,CB=cos(2-2π)=sin 2,所以 xP=2-CB=2-sin 2,yP =1+PB=1-cos 2,所以 OP―→=(2-sin 2,1-cos 2).

【答案】(2-sin 2,1-cos 2)

167.(2012·重庆高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A=35,

cos B=153,b=3,则 c=________.

【解析】由题意知 sin A=45,sin B=1123,则 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB=6556,

所以 c=bssiinnBC=154.

【答案】154

?2 168.(2012·上海高考理)函数 f(x)=?
?sin x

cos x? ?的值域是________.
-1 ?

【解析】因为 f(x)=-2-sin xcos x=-2-12sin 2x,且 sin 2x∈[-1,1],所以函数 f(x)的值域



[-52,-32].

47

【答案】[-52,-32] 169.(2012·湖南高考理)函数 f(x)=sin (ωx+φ)的导函数 y=f′(x)的部分图象

如图所示,其中,P 为图象与 y 轴的交点,A,C 为图象与 x 轴的两个交点,B 为图象的最 低点.

(1)若 φ=π6,点 P 的坐标为(0,32 3),则 ω=________;

(2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为

________. 【解析】f′(x)=ωcos(ωx+φ).

(1)当 φ=π6,x=0 时,由32 3=ωcosπ6,得 ω=3;

(2)曲线 y=f′(x)的半周期为ωπ ,在这个半周期内,曲线与 x 轴围成的区域的面积为

∫xCxAωcos(ωx+φ)dx,根据三角函数图象的关系,这个定积分等于∫ωπ0ωsin ωxdx=

(-cos ωx)|ωπ 0=2,此时三角形 ABC 的面积为12×ωπ×ω=2π,所以所求的概率为π4.

【答案】3

π 4

170.(2012·江苏高考理)设 α 为锐角,若 cos(α+π6)=45,则 sin(2α+1π2)的值为________.

【解析】因为 α 为锐角,cos(α+π6)=45,所以 sin(α+π6)=35,sin 2(α+π6)=2245,cos 2(α+π6)=

275,所以

sin(2α+1π2)=sin[2(α+π6)-π4]=

22×2157=1750

2 .

【答案】1750 2

171(. 2012·大纲卷高考理)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=________.

【解析】y=sin x-

3cos

x=2(12sin

x-

3 2 cos

x)=2sin(x-π3)的最大值为

2,又

0≤x<2π,故

当 x-π3=2π,即 x=56π时,y 取得最大值.

【答案】56π

48

172.(2012·北京高考理)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=-14,则 b=________. 【解析】根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)(-14),解得 b=4. 【答案】4 173..(2012·湖北高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a +b+c)=ab,则角 C=________ 【解析】∵(a+b)2-c2=ab, ∴cos C=a2+2ba2b-c2=-12,C=23π. 【答案】23π

174.(2012·福建高考理)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余

弦值为________.

【解析】依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所对的角的余弦

值为:a2+? 2a?2-?2a?2=- 2a· 2a

2 4.

【答案】-

2 4

175.(2012·安徽高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命

题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

①若 ab>c2,则 C<π3; ②若 a+b>2c,则 C<3π;

③若 a3+b3=c3,则 C<2π ;④若(a+b)c<2ab,则 C>π2 ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C>3π.

【解析】①由 ab>c2,得-c2>-ab,由余弦定理可知 cos C=a2+2ba2b-c2>2a2ba-bab=12,因

为 C∈(0,π),函数 y=cos x 在(0,π)上是减函数,所以 C<π3,即①正确.

②由余弦定理可知 cos C=a2+2ba2b-c2>a2+b22-ab?a+2 b?2=4?a2+b82?a-b ?a+b?2=

3?a2+8ba2b?-2ab≥48aabb=12,所以 C<3π,即②正确.

③若 C 是直角或钝角,则 a2+b2≤c2,即(ac)2+(bc)2≤1,而ac,bc∈(0,1),而函数 y=ax(0<a

<1)在 R 上是减函数,所以(ac)3+(bc)3<(ac)2+(bc)2≤1 与 a3+b3=c3 矛盾,所以假设不成立,

所以 C<π2,即③正确.

49

④因为(a+b)c<2ab,所以 c<a2+abb≤22aabb= ab,即 ab>c2,转化为命题①,故④错误. ⑤因为(a2+b2)c2<2a2b2,所以 c2<a22a+2bb22≤22aa2bb2=ab,即 ab>c2,转化为命题①,故⑤错

误.

【答案】①②③

176.(2012·江苏高考文)设 α 为锐角,若 cos(α+π6)=45,则 sin(2α+1π2)的值为________. 【解析】因为 α 为锐角,cos(α+π6)=45,所以 sin(α+π6)=35,sin2(α+π6)=2245,cos2(α+π6)=275,

所以

sin(2α+1π2)=sin[2(α+π6)-π4]=

22×2157=1750

2 .

【答案】1750 2

177.(2012·上海高考文)函数 f(x)=???s-in1x

2 cos

x???的最小正周期是________.

【解析】∵f(x)=sin xcos x+2=12sin 2x+2,∴T=π,故答案为 π.

【答案】π

178.(2012·福建高考文)在△ABC 中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC= 3,则 AC =________.

【解析】由正弦定理得sinAC45°=sin 630°,得 AC= 2.

【答案】 2

179.(2012·北京高考文)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A=π3,则∠C 的大小为________.

π

【解析】由正弦定理可知 sin ∠B=bsina∠A=

3sin 3

3=12,所以∠B=π6或56π(舍去),所以∠

C=π-∠A-∠B=π-π3-π6=2π.

【答案】π2

180.(2012·大纲卷高考文)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=________.

【解析】y=sin x-

3cos

x=2(12sin

x-

3 2 cos

x)=2sin(x-π3)的最大值为

2,又

0≤x<2π,故



x-3π=π2,即 x=56π时,y 取得最大值.

50

【答案】56π 184.(2012·重庆高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=

2,cos C=14,则 sin B=________. 【解析】由余弦定理及题中条件可得 cos C=a2+2ba2b-c2=5-4 c2=14,解得 c=2,所以三角形

ABC 为以 BC 为底边的等腰三角形,故 B=C,得 cos B=14.由同角三角函数的基本关系式可

得 sin2B=1-cos2B=1156,又因为 B∈(0,π),可得 sin B=

15 4.

【答案】

15 4

182.(2011·新课标高考)在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为____.

【解析】在△ABC 中,根据sAinBC=sAinCB=sBinCA,得 AB=sAinCB·sinC=

3sinC=2sinC,同理 BC 3

2

=2sinA,因此 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(23π-C)=4sinC+2 3cosC=2 7sin(C

+φ)(tanφ= 23),因此 AB+2BC 的最大值为 2 7.

【答案】2 7 183.(2011·北京高考)在△ABC 中,若 b=5,∠B=π4,tanA=2,则 sinA=____;a=____. 【解析】因为△ABC 中,tanA=2,所以 A 是锐角,且csoinsAA=2,sin2A+cos2A=1,联立解得 sinA=25 5,再由正弦定理得sianA=sibnB,代入数据解得 a=2 10. 【答案】25 5 2 10 184.(2011·大纲卷高考)已知 α∈(2π,π),sinα= 55,则 tan2α=____. 【解析】依题意得 cosα=- 1-sin2α=-2 5 5,tanα=csoinsαα=-12,tan2α=1-2tatannα2α=1--?-112?2 =-43.

【答案】-43 185.(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差
数列,则△ABC 的面积为__________.

51

【解析】不妨设角 A=120°,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos120°=b2+?b2-b?4b?-2-4??b+4?2

=-12,解得 b=10,所以 S=12bcsin120°=15 3. 【答案】15 3 186.(2011·重庆高考)已知 sinα=12+cosα,且 α∈(0,2π),则sinc?oαs-2α4π?的值为____.

【解析】依题意得 sinα-cosα=12,又(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,即(sinα+cosα)2+(12)2

=2,故(sinα+cosα)2=74;又 α∈(0,π2),因此有 sinα+cosα= 27,所以sinc?oαs-2απ4?=

cos2α-sin2α =- 22?sinα-cosα?

2(sinα+cosα)=-

14 2.

【答案】-

14 2

187.(2011·福建高考)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上, ∠ADC=45°,则 AD 的长度等于________.

【解析】在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cosC= 23,∴sinC=12;在△ADC 中, 由正弦定理得,sAinDC=sin∠ACADC,∴AD=sin245°×12= 2. 【答案】 2 188.(2011·江苏高考)已知 tan(x+π4)=2,则ttaann2xx的值为________. 【解析】由 tan(x+π4)=1t-anxta+nxttaannπ44π=2,得 tanx=13,tan2x=1-2tatannx2x=34,故ttaann2xx=13×43=49. 【答案】49 189.(2011·江苏高考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象 如图所示,则 f(0)的值是________.

52

【解析】由图可知:A= 2,T4=71π2-π3=π4,所以 T=π,ω=2Tπ=2,又函数图象经过点(π3, 0),所以 2×π3+φ=π,则 φ=π3,故函数的解析式为 f(x)= 2sin(2x+π3),所以 f(0)= 2sin3π=

6 2.

【答案】

6 2

190.(2011·辽宁高考)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,

则 f(2π4)=________.

【解析】由图象可知,此正切函数的半周期等于38π-18π=28π=14π,即周期为12π,所以,ω= 2.由题意可知,图象过定点(38π,0),所以 0=Atan(2×38π+φ),即34π+φ=kπ(k∈Z),所以, φ=kπ-34π(k∈Z),又|φ|<12π,所以,φ=14π.再由图象过定点(0,1),所以,A=1.综上可知, f(x)=tan(2x+14π).故有 f(214π)=tan(2×214π+14π)=tan13π= 3. 【答案】 3
三.解答题
191.【2015 北京高考,文 15】(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x? ? sin x ? 2 3 sin2 x .
2
(I)求 f ? x? 的最小正周期;

(II)求

f

?

x?

在区间

???0,

2? 3

? ??

上的最小值.

53

(Ⅱ)∵ 0 ? x ? 2? ,∴ ? ? x ? ? ? ? .

3

3

3

当 x ? ? ? ? ,即 x ? 2? 时, f (x) 取得最小值.

3

3

∴ f (x) 在区间[0, 2? ] 上的最小值为 f ( 2? ) ? ? 3 .

3

3

192.【2015 安徽高考,文 16】已知函数 f (x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x

(Ⅰ)求 f (x) 最小正周期;

(Ⅱ)求 f (x) 在区间[0, ? ] 上的最大值和最小值. 2
【解析】(Ⅰ)因为
f (x) ? sin 2 x ? cos2 x ? 2sin x cos x ? cos 2x ? 1 ? sin 2x ? cos 2x ? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 4
所以函数 f (x) 的最小正周期为T= 2? =? . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果, f (x) ? 2 sin(2x ? ? ) ? 1 4

当 x ?[0, ? ] 时, 2x ? ? ?[? , 5? ]

2

4 44

由正弦函数 y ? sin x 在[? , 5? ] 上的图象知, 44

当 2x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, f (x) 取最大值 2 ? 1;

42

8

当 2x ? ? ? 5? ,即 x ? ? 时, f (x) 取最小值 0 .

44

4

综上, f (x) 在[0, ? ]上的最大值为 2 ? 1,最小值为 0 . 2

193.【2015 福建高考,文 21】已知函数 f ? x? ? 10 3 sin x cos x ?10 cos2 x .

22

2

54

(Ⅰ)求函数 f ? x? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x? 的图象向右平移 ? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后
6
得到函数 g ? x? 的图象,且函数 g ? x? 的最大值为 2.

(ⅰ)求函数 g ? x? 的解析式;

(ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 .

【解析】(I)因为 f ? x? ? 10 3 sin x cos x ?10 cos2 x

22

2

? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5

?

10

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?

5



所以函数 f ? x? 的最小正周期 ? ? 2? . (II)(i)将 f ? x? 的图象向右平移 ? 个单位长度后得到 y ? 10sin x ? 5 的图象,再向下平
6
移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到 g ? x? ? 10sin x ? 5 ? a 的图象.

又已知函数 g ? x? 的最大值为 2 ,所以10 ? 5 ? a ? 2 ,解得 a ? 13.

所以 g ? x? ? 10sin x ? 8 .

(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,就是要证明存在无穷多

个互不相同的正整数

x0

,使得10 sin

x0

?

8

?

0

,即 sin

x0

?

4 5



由4? 5

3 2

知,存在

0

?

?0

?

? 3

,使得 sin ?0

?

4 5



由正弦函数的性质可知,当

x

? ?? 0 , ?

??0

?

时,均有 sin

x

?

4 5



因为 y ? sin x 的周期为 2? ,

所以当

x

? ? 2k?

??0, 2k?

??

??0

?

(k

?

?

)时,均有 sin

x

?

4 5



因为对任意的整数 k

, ?2k?

??

??0

?

? ?2k?

??0

?

?

?

?

2?0

?

? 3

? 1,

所以对任意的正整数 k

,都存在正整数

xk

? ? 2k?

? ?0, 2k?

??

??0 ? ,使得 sin

xk

?

4 5



55

亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 .

194.【2015 广东高考,文 16】(本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 .

(1)求

tan

????

?

? 4

? ??

的值;

(2)求

sin 2?

的值.

sin2 ? ? sin ? cos? ? cos 2? ?1

【解析】

试题解析:(1)

tan

????

?

? 4

? ??

?

tan? ? tan ? 4
1? tan? tan ?

? tan? ?1 ? 2 ?1 ? ?3 1? tan? 1? 2

4

(2)

sin 2?

sin2 ? ? sin? cos? ? cos 2? ?1

? ? ?

2sin? cos?

sin2 ? ? sin? cos? ? 2 cos2 ? ?1 ?1

2sin? cos? ? sin2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?

?

2 tan? tan2 ? ? tan ?

?

2

? 2?2 22 ? 2 ? 2

?1

195【. 2015 高考湖北,文 18】某同学用“五点法”画函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (? ? 0, | ? |? π) 在 2

某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ?? x

0

π

π

3π 2π

2

2

π



3

6

Asin(?x ? ?)

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填.写.在.答.题.卡.上.相.应.位.置.,并直接写出函数 f (x) 的解 析式;
(Ⅱ)将 y ? f (x) 图象上所有点向左平行移动 π 个单位长度,得到 y ? g(x) 图象,求 6
y ? g(x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

56

【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 , ? ? ? ? ? ? , 5? ? ? ? ? 3? ,解得

3

26

2

? ? 2, ? ? ? π . 数据补全如下表: 6

?x ??

0

π

π

2

3π 2π
2

x

π

π





13 π

12

3

12

6

12

Asin(?x ? ?) 0

5

0

?5

0

且函数表达式为 f (x) ? 5sin(2x ? π) . 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) ? 5sin(2x ? π) ,因此 g(x) ? 5sin[2(x ? π) ? π] ? 5sin(2x ? π) .因

6

66

6

为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) ,k ? Z . 令 2x ? π ? kπ ,解得 x ? kπ ? π ,k ? Z .即 y ? g(x)

6

2 12

图象的对称中心为(kπ ? π ,0), k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? π , 0) .

2 12

12

196.【2015 湖南高考,文 17】(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

a,b, c, a ? b tan A .
(I)证明: sin B ? cos A ; (II) 若 sin C ? sin Acos B ? 3 ,且 B 为钝角,求 A, B,C .
4
【解析】

57

197.【2015 高考山东,文 17】 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知

cos B ? 3 ,sin ( A ? B) ? 6 , ac ? 2 3 求 sin A 和 c 的值.

3

9

【解析】在 ?ABC 中,由 cos B ?

3 ,得 sin B ?

6
.

3

3

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ? 6 ,
9

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ? 5 3 , 9

因此 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

6?5 3?

3?

6?2

2
.

3 9 39 3



a

?

c

, 可得 a

?

c sin

A

?

22 3

c

?

2

3c ,又 ac ? 2

3 ,所以 c ? 1.

sin A sin C

sin C

6

9

198.【2015 陕西高考,文 17】 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,向量

m ? (a, 3b) 与 n ? (cos A,sin B) 平行.

(I)求 A ;

(II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.
【解析】

试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0

由正弦定理,得 sin Asin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,

又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 3 ,
由于 0 ? A ? ? 所以 A ? ?
3
(II)解法一:由余弦定理,得
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ? ? , 3

58

得 7 ? 4 ? c2 ? 2c ,即 c2 ? 2c ? 3 ? 0 因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 ,

故 ?ABC 面积为 1 bc sin A ? 3

3
.

2

2

解法二:由正弦定理,得 7 sin ?

?2 sin B

3

从而 sin B ? 21 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ? 2 7 7
故 sin C ? sin( A ? B) ? sin(B ? ? ) 3

? sin B cos ? ? cos B sin ? ? 3 21 ,

3

3 14

所以 ?ABC 面积为 1 absin C ? 3

3
.

2

2

199.【2015 四川高考,文 19】已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tanA、tanB 是关于方程 x2

+ 3 px-p+1=0(p∈R)两个实根.
(Ⅰ)求 C 的大小

(Ⅱ)若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值

【解析】(Ⅰ)由已知,方程 x2+ 3 px-p+1=0 的判别式

△=( 3 p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0

所以 p≤-2 或 p≥ 2 3

由韦达定理,有 tanA+tanB=- 3 p,tanAtanB=1-p
于是 1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0
从而 tan(A+B)= tan A ? tan B ? ? 3 p ? ? 3 1? tan A tan B p
59

所以 tanC=-tan(A+B)= 3
所以 C=60° (Ⅱ)由正弦定理,得

sinB= AC sin C ? 6 sin 600 ? 2

AB

3

2

解得 B=45°或 B=135°(舍去)

于是 A=180°-B-C=75°



tanA=tan75°=tan(45°+30°)=

tan 450 ? 1? tan 450

tan 300 tan 300

1? ?

1?

3 3 ?2? 3

3

3

所以 p=- 1 (tanA+tanB)=- 1 (2+ 3 +1)=-1- 3

3

3

200【. 2015 天津高考,文 16】(本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? 1 , 4
(I)求 a 和 sinC 的值;

(II)求

cos

? ??

2

A

?

π 6

? ??

的值.

【解析】

(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.

最后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值.

试题解析:(I)△ABC 中,由 cos A ? ? 1 , 得 sin A ? 15 , 由 1 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24,

4

4

2

又由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6, c ? 4. 由 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,可得 a=8.由 a ? c , sin A sin C

得 sin C ?

15
.

8

(II)

? ? cos

? ??

2A

?

π 6

? ??

?

cos

2 A cos

π 6

?

sin

2 A sin

π 6

?

3 2

2 cos2 A ?1 ? sin Acos A ,

60

? 15 ? 7 3 16
201【. 2015 高考新课标 1,文 17】(本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B,C

的对边, sin2 B ? 2sin Asin C . (I)若 a ? b ,求 cos B;

(II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.
【解析】

试题解析:(I)由题设及正弦定理可得 b2 = 2ac .

又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c ,

由余弦定理可得 cos B =

a2

+c2

-

b2

=

1
.

2ac 4

(II)由(1)知 b2 = 2ac .

因为 B = 90°,由勾股定理得 a2 +c2 = b2 .

故 a2 +c2 = 2ac ,得 c = a = 2 .

所以 DABC 的面积为 1. 202.【2015 高考浙江,文 16】(本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别

为 a,b, c .已知 tan(? ? A) ? 2 . 4

(1)求

sin

sin 2A 2 A +cos2

A

的值;

(2)若 B ? ? , a ? 3,求 ?ABC 的面积. 4

【解析】

试题解析:(1)由 tan(? ? A) ? 2 ,得 tan A ? 1 ,

4

3

所以

sin

sin 2A 2 A ? cos2

A

?

2sin Acos A 2sin Acos A ? cos2

A

?

2 tan A 2 tan A ?1

?

2 5

.

(2)由 tan A ? 1 可得, sin A ?

10 , cos A ? 3

10
.

3

10

10

a ? 3, B ? ? ,由正弦定理知: b ? 3 5 . 4

61

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 2 5 , 5

所以 S?ABC

?

1 2

ab sin C

?

1 ?3?3 2

5?2 5 ?9. 5

203.【2015 重庆高考,文 18】已知函数 f(x)= 1 sin2x- 3 cos2 x . 2
(Ⅰ)求 f(x)的最小周期和最小值,

(Ⅱ)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)

的图像.当

x?

? ??

? 2

,

?

? ??

时,求

g(x)的值域.

【解析】

试题解析: (1) f (x) = 1 sin 2x - 3 cos2 x = 1 sin 2x - 3 (1+cos 2x)

2

2

2

= 1 sin 2x -

3 cos 2x -

3 = sin(2x - p ) -

3
,

2

2

2

32

因此 f (x) 的最小正周期为p ,最小值为 - 2+

3
.

2

(2)由条件可知: g(x) = sin(x - p ) -

3
.

32

当 x ? [p ,p ]时,有 x - p ? [p , 2p ] ,

2

3 63

从而 sin(x - p ) 的值域为[1 ,1] ,

3

2

那么 sin(x - p ) - 3 的值域为[1- 3 , 2 - 3 ] .

32

22

故 g(x) 在区间[p ,p ] 上的值域是[1- 3 , 2 - 3 ] .

2

22

204【. 2015 天津高考,文 16】(本小题满分 13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
已知△ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? 1 , 4
(I)求 a 和 sinC 的值;

62

(II)求

cos

? ??

2

A

?

π 6

? ??

的值.

【解析】

(I)由面积公式可得 bc ? 24, 结合 b ? c ? 2, 可求得解得 b ? 6, c ? 4. 再由余弦定理求得 a=8.

最后由正弦定理求 sinC 的值;(II)直接展开求值.

试题解析:(I)△ABC 中,由 cos A ? ? 1 , 得 sin A ? 15 , 由 1 bc sin A ? 3 15 ,得 bc ? 24,

4

4

2

又由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6, c ? 4. 由 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,可得 a=8.由 a ? c , sin A sin C

得 sin C ?

15
.

8

(II)

? ? cos

? ??

2A

?

π 6

? ??

?

cos

2 A cos

π 6

?

sin

2 A sin

π 6

?

3 2

2 cos2 A ?1 ? sin Acos A ,

? 15 ? 7 3 16

205.【2015 高考新课标 2,理 17】?ABC 中,D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC ,?ABD

面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求 sin ?B ;
sin ?C

(Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

【解析】(Ⅰ) S?ABD

?

1 2

AB ?

AD sin ?BAD

, S?ADC

?

1 2

AC ?

AD sin ?CAD ,因为

S?ABD

?

2S?ADC

,?BAD

?

?CAD

,所以

AB

?

2 AC

.由正弦定理可得

sin ?B sin ?C

?

AC AB

?

1 2



(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理



AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD ? BD cos ?ADB ,AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2AD ? DC cos ?ADC .

AB2 ? 2AC2 ? 3AD2 ? BD2 ? 2DC2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2AC ,所以 AC ? 1 .
206.【2015 江苏高考,15】(本小题满分 14 分)

63

在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.
207.【2015 福建高考,理 19】已知函数 f(x) 的图像是由函数 g(x) = cos x 的图像经如下变 换得到:先将 g(x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的 图像向右平移 p 个单位长度.
2 (Ⅰ)求函数 f(x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f(x) +g(x) = m 在[0, 2p ) 内有两个不同的解a , b .
(1)求实数 m 的取值范围;
(2)证明: cos(a - b ) = 2m2 - 1. 5
【解析】解法一:(1)将 g(x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变)得到 y = 2 cos x 的图像,再将 y = 2 cos x 的图像向右平移 p 个单位长度后得到
2 y = 2 cos(x - p ) 的图像,故 f(x) = 2sin x ,从而函数 f(x) = 2sin x 图像的对称轴方程为
2 x = kp + p (k ? Z).
2
64

(2)1) f(x) +g(x) = 2sin x +cos x = 5( 2 sin x + 1 cos x)

5

5

= 5 sin(x +j ) (其中 sinj = 1 , cosj = 2 )

5

5

依题意,sin(x +j )= m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解a , b 当且仅当| m |<1,故 m 的

5

5

取值范围是 (- 5, 5) .

2)因为a , b 是方程 5 sin(x +j )=m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解,

所以 sin(a +j )= m , sin(b +j )= m .

5

5

当1 ? m< 5 时,a +b =2(p - j ),a - b = p - 2(b +j ); 2
当 - 5<m<1时, a +b =2(3p - j ),a - b = 3p - 2(b +j ); 2

所以 cos(a - b ) = - cos 2(b +j ) = 2sin2 (b +j ) - 1 = 2( m )2 - 1 = 2m2 - 1.

5

5

解法二:(1)同解法一.

(2)1) 同解法一.

2) 因为a , b 是方程 5 sin(x +j )=m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解,

所以 sin(a +j )= m , sin(b +j )= m .

5

5

当1 ? m< 5 时,a +b =2(p - j ),即a +j = p - (b +j ); 2
当 - 5<m<1时, a +b =2(3p - j ),即a +j = 3p - (b +j ); 2
所以 cos(a +j ) = - cos(b +j )

于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - (b +j )] = cos(a +j ) cos(b +j ) +sin(a +j ) sin(b +j )

= - cos2 (b +j ) +sin(a +j ) sin(b +j ) = - [1- ( m )2 ] +( m )2 = 2m2 - 1.

5

55

208【2015 高考浙江,理 16】在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,

65

已知 A ? ? , b2 ? a2 = 1 c2 .

4

2

(1)求 tan C 的值;

(2)若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值.

又∵ A ? ? , 1 bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 42

209.【2015

高考山东,理

16】设

f

?x?

?

sin

x cos

x

?

cos2

? ??

x

?

? 4

? ?? .

(Ⅰ)求 f ? x? 的单调区间;

(Ⅱ)在锐角 ?ABC

中,角

A,

B, C

的对边分别为 a, b, c

,若

f

? ??

A 2

? ??

?

0, a

? 1 ,求 ?ABC

面积

的最大值.

【解析】

(I)由题意知

f

?x?

?

sin

2x

1? ?

cos

? ??

2x

?

? 2

? ??

2

2

? sin 2x ? 1? sin 2x ? sin 2x ? 1

2

2

2

由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? , k ? Z 可得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z

2

2

4

4

由 ? ? 2k? ? 2x ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? ? k? ? x ? 3? ? k? , k ? Z

2

2

4

4

66

所以函数 f ? x?

的单调递增区间是

????

? 4

?

k?

,

? 4

?

k?

? ??

?k

?

Z

?



单调递减区间是

?? ?? 4

? k? , 3? 4

?

k?

? ??

?

k

?

Z

?

210.【2015

天津高考,理

15】(本小题满分

13

分)已知函数

f

?x?

?

sin 2

x

? sin2

? ??

x

?

? 6

? ??



x?R

(I)求 f (x) 最小正周期;

(II)求 f (x) 在区间[- p , p ] 上的最大值和最小值. 34
【解析】(I) 由已知,有

f

(x)

?

1?

cos 2x 2

?

1?

cos

? ??

2x

2

?

? 3

? ??

?

1 2

? ? ?

1 2

cos

2x

?

3 2

sin

2x

? ? ?

?

1 2

cos

2

x

?

3 4

sin

2x

?

1 4

cos 2x

?

1 2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

.

所以 f (x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? . 2

(II)因为 f ( x) 在区间[- p , - p ] 上是减函数,在区间[- p , p ]上是增函数,

36

64

67

f (? ? ) ? ? 1 , f (? ? ) ? ? 1 , f (? ) ? 3 ,所以 f (x) 在区间[- p , p ] 上的最大值为 3 ,

3 4 6 24 4

34

4

最小值为 ? 1 . 2
211.【2015 安徽高考,理 16】在 ?ABC 中, A ? 3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, 4
AD ? BD ,求 AD 的长.

【解析】如图,

设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2)2 ? 62 ? 2? 3 2 ? 6? cos3? ? 18 ? 36 ? (?36) ? 90 4


所以 a ? 3 10 .

又由正弦定理得 sin B ? b sin ?BAC ?

3

?

10
.

a

3 10 10

由题设知 0 ? B ? ? ,所以 cos B ?

1? sin2 B ?

1?

1

?3

10
.

4

10 10

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ? AB ?sin B ? 6sin B ? 3 ? 10 . sin(? ? 2B) 2sin B cos B cos B

212.【2015

重庆高考,理

18】

已知函数

f

?x?

?

sin

? ??

? 2

?

x

? ??

sin

x?

3 cos2 x

(1)求 f ? x? 的最小正周期和最大值;

(2)讨论

f

?

x?



?? ?? 6

,

2? 3

? ??

上的单调性.

68

当 ? ? 2x ? ? ? ? 时,即 5? ? x ? 2? 时, f (x) 单调递减,

2

3

12

3

综上可知, f (x) 在[? , 5? ] 上单调递增; f (x) 在[5? , 2? ] 上单调递减.

6 12

12 3

213.【2015 四川高考,理 19】 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角.

(1)证明: tan A ? 1 ? cos A ; 2 sin A

(2)若 A ? C ? 180o, AB ? 6, BC ? 3,CD ? 4, AD ? 5, 求 tan A ? tan B ? tan C ? tan D

2

2

2

2

的值.

D

C

A

B

【解析】(1) tan

A 2

?

sin cos

A
2 A

?

2 sin2 A 2
2sin A cos

A

?

1? cos A sin A

.

2

22

(2)由 A ? C ? 180 ,得 C ? 180 ? A, D ? 180 ? B .

由(1),有 tan A ? tan B ? tan C ? tan D

2

2

2

2

? 1? cos A ? 1? cos B ? 1? cos(180 ? A) ? 1? cos(180 ? B) sin A sin B sin(180 ? A) sin(180 ? B)

69

? 2?2 sin A sin B
连结 BD,
在 ?ABD 中,有 BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2AB ? AD cos A , 在 ?BCD 中,有 BD2 ? BC2 ? CD2 ? 2BC ?CD cos C , 所以 AB2 ? AD2 ? 2AB ? AD cos A ? BC2 ? CD2 ? 2BC ?CD cos A , 则 cos A ? AB2 ? AD2 ? BC2 ? CD2 ? 62 ? 52 ? 32 ? 42 ? 3 ,
2( AB ? AD ? BC ?CD) 2(6? 5 ? 3? 4) 7

于是 sin A ?

1? cos2 A ?

1? (3)2

?2

10
.

7

7

连结 AC,同理可得

cos B ? AB2 ? BC2 ? AD2 ? CD2 ? 62 ? 32 ? 52 ? 42 ? 1 , 2( AB ? BC ? AD ?CD) 2(6? 3 ? 5? 4) 19

于是 sin B ?

1? cos2 B ?

1? ( 1 )2

?6

10
.

19 19

所以 tan A ? tan B ? tan C ? tan D

2

2

2

2

? 2?2 sin A sin B

? 14 ? 2?19 2 10 2 10

?4

10
.

3

214【. 2015 高考湖北,理 17】某同学用“五点法”画函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (? ? 0, | ? |? π) 在 2

某一个周期内的图象

时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ?? x

0

π

π





2

2

π



3

6

Asin(?x ? ?)

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填.写.在.答.题.卡.上.相.应.位.置.,并直接写出函数 f (x) 的解 析式;

70

(Ⅱ)将 y ? f (x) 图象上所有点向左平行移动? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g(x) 的图

象. 若 y ? g(x) 图象的一个对称中心为 (5π , 0) ,求? 的最小值. 12

【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? π . 数据补全如下表: 6

?x ??

0

π

2

x

π

π

12

3

π





2





13 π

12

6

12

Asin(?x ? ?) 0

5

0

?5

0

且函数表达式为 f (x) ? 5sin(2x ? π) . 6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) ? 5sin(2x ? π) ,得 g(x) ? 5sin(2x ? 2? ? π) .

6

6

因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z .

令 2x ? 2? ? π ? kπ ,解得 x ? kπ ? π ? ? , k ? Z .

6

2 12

由于函数 y ? g(x) 的图象关于点 (5π , 0) 成中心对称,令 kπ ? π ? ? ? 5π ,

12

2 12

12

解得? ? kπ ? π , k ? Z . 由? ? 0 可知,当 k ? 1时,? 取得最小值 π .

23

6

215.【2015 陕西高考,理 17】(本小题满分 12 分) ???C 的内角 ? , ? , C 所对的边分

? ? 别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ?cos ?,sin ?? 平行.

(I)求 ? ;

(II)若 a ? 7 , b ? 2 求 ???C 的面积.
【解析】

(I)因为 m//n ,所以 a sin B - 3b cos A = 0 ,

由正弦定理,得 sinA sinB- 3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

71

从而 sin B = 21 , 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B = 2

7
.

7

故 sinC

?

sin

?A?

B?

?

sin

? ??

?

?

? 3

? ??

?

sin

B cos

? 3

?

cos

B sin

? 3

?

3 21 14

所以 ???C 的面积为 1 bc sinA = 3

3
.

2

2

216.【2015 北京高考,理 15】已知函数 f (x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin2 x .

22

2

(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求 f (x) 在区间[?π ,0] 上的最小值.

【解析】

(Ⅰ)

f(x ) ?

2

sin

x 2

cos

x 2

?

2 sin2 x 2

?

2

?

1 2

sin

x

?

2

?

1

?

cos 2

x

?

?

2 2

sin x

?

2 2

cos x

?

2 2

?

sin(x

?

? 4

)

?

2 2

(1)f(x )的最小正周期为T

?

2? 1

? 2? ;

(2)

??

?x

?

0,?

?

3? 4

?

x

?

? 4

?

? ,当 x 4

?

? 4

?

?

? 2

,x

?

?

3? 4

时,

72

f(x )取得最小值为: ?1 ?

2 2

? 217.【2015 广东高考,理 16】在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量 m ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???



n

?

?sin

x,

cos

x

?



x

?

? ??

0,

? 2

? ??



(1)若 m ? n ,求 tan x 的值;

(2)若 m 与 n 的夹角为 ? ,求 x 的值. 3

【解析】(1)∵

? m ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???



n

?

?sin

x,

cos

x

?



m

?

n





? m ? n ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???

?

?sin

x,

cos

x

?

?

2 sin x ? 2

2 2

cos

x

?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

0

,又

x

?

? ??

0,

? 2

? ??





x

?

? 4

?

? ??

?

? 4

,

? 4

? ??

,∴

x ? ? ? 0 即 x ? ? ,∴

4

4

tan x ? tan ? ? 1 ; 4

(2)由(1)依题知 cos ? ? m ? n ? 3 m?n

? ?
?

2 2

?2 ?
?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

? ??
?

2 2

?2 ?
?

?

sin 2

x ? cos2

x

?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??





sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

1 2



x

?

? 4

?

? ??

?? 4

,

? 4

? ??



∴ x ? ? ? ? 即 x ? 5? .

46

12

218【. 2015 湖南高考,理 17】设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,a ? b tan A ,

且 B 为钝角. (1)证明: B ? A ? ? ;
2 (2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

73

? ? (2A ? ? ) ? ? ? 2A ? 0 ,∴ A? (0, ? ) ,于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin(? ? 2A)

22

4

2

? sin A ? cos 2A ? ?2sin2 A ? sin A ?1 ? ?2(sin A ? 1)2 ? 9 ,∵ 0 ? A ? ? ,∴

48

4

0 ? sin A ? 2 ,因此 2 ? ?2(sin A ? 1)2 ? 9 ? 9 ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范围

2

2

4 88

是( 2 , 9]. 28

219.(2014·山东高考理科·T16)已知向量 a ? (m, cos 2x) , b ? (sin 2x, n) ,设函数

f (x) ? a ?b ,且 y ? f (x) 的图象过点 ( ? , 3) 和点 ( 2? , ?2) .

12

3

(Ⅰ)求 m, n 的值;

(Ⅱ)将 y ? f (x) 的图象向左平移? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 y ? g(x) 的图象.若

y ? g(x) 的图象上各最高点到点 (0, 3) 的距离的最小值为 1,求 y ? g(x) 的单调增区间.

【解题指南】(1)先利用数量积的坐标运算写出 f ?x? 的函数关系式,再将已知两点代入解析

式,利用待定系数法求出 m,n 的值.(2)先利用图像变换法求出 g?x? 的解析式,再利用各最高

点到点 (0, 3) 的距离的最小值为 1,求出? 值,最后利用整体代入法求出单调区间.

【解析】(Ⅰ)已知 f (x) ? a ?b ? msin 2x ? ncos2x ,

因为f (x) 过点 ( ? , 3),( 2? ,?2)

12

3

所以f ( ? ) ? m sin ? ? n cos? ? 3

12

6

6

f ( 2? ) ? msin 4? ? n cos 4? ? ?2

3

3

3

74

?1 所以??? 2

m

?

3n? 2

3

解得

?m ?

?

3

????

3 ? 1 ? ?2 22

?n ? 1

(Ⅱ) f (x) ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2sin(2x ? ? ) 6
f (x) 左移? 后得到 g(x) ? 2sin(2x ? 2? ? ? ) 6

设 g (x) 的对称轴为 x ? x0 ,因为d ? 1 ? x02 ? 1解得 x0 ? 0

所以g(0) ? 2 ,解得? ? ? 6

所以g(x) ? 2sin(2x ? ? ? ? ) ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 cos2x

36

2

所以 ? ? ? 2k? ? 2x ? 2k? , k ? z

? ? ? k? ? x ? k? , k ? z 2
所以f (x) 的单调增区间为[? ? ? k? , k? ],k ? z 2

220. (2014·湖北高考文科·T13)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似

满足函数关系:

f(t)=10- 3 cos 错误!未找到引用源。t-sin 错误!未找到引用源。t,t∈[0,24).

(1)求实验室这一天上午 8 时的温度.

(2)求实验室这一天的最大温差.
【解题指南】(1)将 f(t)=10-错误!未找到引用源。cos π t-sin 错误!未找到引用源。t 化为 12
y=Asin(ω x+φ )+b 的形式,然后代入 x=8 求值.
(2)由(1)可求得这一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差.
【解析】(1)f(8)=10- 3 cos 错误!未找到引用源。-sin( π ? 8)
12 =10-错误!未找到引用源。cos 2π -sin 2π
33 =10-错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。- 3 =10.
2 故实验室上午 8 时的温度为 10℃.

75

(2)因为 f(t)=10 ? 2( 3 cos π t ? 1 sin π t) 2 12 2 12
=10-2sin ( π t ? π ) . 12 3
又 0≤t<24, 所以错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。t+ π < 7π ,-1≤sin 错误!未找到引用源。
33 ≤1. 当 t=2 时,sin 错误!未找到引用源。=1; 当 t=14 时,sin 错误!未找到引用源。=-1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃.

221. (2014·湖北高考理科·T17)某实验室一天的温度(单位: o C )随时间 (单位;h)

的变化近似满足函数关系: f (t) ? 10 ? 3 cos ? t ? sin ? t,t ?[0, 24).

12

12

(1) 求实验室这一天的最大温差;

(2) 若要求实验室温度不高于 11 o C ,则在哪段时间实验室需要降温?

【解题指南】(Ⅰ)将 f (t) ?10 ? 3cos π t ? sin π t 化为错误!未找到引用源。的形式,

12

12

可求得只一天的温度最大值和最小值,进而求得最大温差。

( Ⅱ ) 由 题 意 可 得 , 当 f( t) > 11 时 , 需 要 降 温 , 由 f( t) > 11, 求 得

si(n ? t ? ? )<? 1 , 即 7? ? ? t ? ?< 1 1? , 解 得 t 的 范 围 , 可 得 结 论 .

12 3

2

6 12 3 6

【解析】(Ⅰ)因为 f (t) ? 10 ? 2( 3 cos ? t? 1 sin ? t) ? 10 ? 2sin( ? t? ? )

2 12 2 12

12 3

又 0 ? t ? 24

当 t ? 2 时, sin( ? t? ? ) ? 1;当 t ?14 时, sin( ? t? ? ) ? ?1。

12 3

12 3

于是 f (t) 在[0,24)上取得最大值 12 o C ,取得最小值 8 o C .

故实验室这一天最高温度为 12 o C ,最低温度为 8 o C ,最大温差为 4 o C 。

(Ⅱ)依题意,当 f (t) ? 11时实验室需要降温

由(1)得 f (t) ? 10 ? 2sin( ? t? ? ) ,故有10 ? 2sin( ? t? ? ) ? 11

12 3

12 3

76

即 sin( ? t? ? ) ? ? 1 。 12 3 2
又 0 ? t ? 24 ,因此 7? ? ? t? ? ? 11? ,即10 ? t ?18。 6 12 3 6
在 10 时至 18 时实验室需要降温。
222(2014·福建高考文科·T18).(本小题满分 12 分)已知函数
f (x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .

(1)求 f (5? ) 的值; 4

(2)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

【解题指南】(1)直接将 5? 带入到解析式求值.(2)利用三角恒等变换将函数 f ? x? 解析
4
式化简,再利用正弦型函数的性质求解.

【解析】18.解法一:(1) f (5? ) ? 2cos 5? (sin 5? ? cos 5? )

4

44

4

? ?2cos ? (?sin ? ? cos ? ) ? 2

4

4

4

(2)因为 f (x) ? 2sin x cos x ? 2 cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ?1 ?

所以T ? 2? ? ? . 2

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,

2

4

2

得 k? ? 3? ? x ? k? ? ? , k ? Z ,

8

8

所以 f (x) 的单调递增区间为[k? ? 3? , k? ? ? ], k ? Z .

8

8

解法二:

2 sin(2x ? ? ) ?1. 4

因为 f (x) ? 2sin x cos x ? 2 cos2 x ? sin 2x ? cos 2x ?1 ?

(1) f (5? ) ? 2 sin 11? ?1 ? 2 sin ? ?1 ? 2

4

4

4

(2)T ? 2? ? ? 2

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,

2

4

2

得 k? ? 3? ? x ? k? ? ? , k ? Z ,

8

8

2 sin(2x ? ? ) ?1 4

77

所以 f (x) 的单调递增区间为[k? ? 3? , k? ? ? ], k ? Z .

8

8

223.(2014·福建高考理科·T16).(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? cos x(sin x ? cos x) ? 1 . 2

(1)若 0 ? ? ? ? ,且 sin? ? 2 ,求 f (? ) 的值;

2

2

(2)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

【解题指南】⑴先由平方关系式求出 cos? ;⑵运用降幂公式,辅助角公式进行化简,再研
究性质. 【解析】解法一:

(1)∵ 0 ? ? ? ? , sin? ? 2 ,∴ cos? ? 2 ,………………3 分

2

2

2

∴ f (? ) ? 2 ( 2 ? 2 ) ? 1 ? 1 ;……………………………………5 分 2 2 2 22

(2)∵ f (x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? 1 sin 2x ? 1? cos 2x ? 1

22

2

2

? 1 sin 2x ? 1 cos 2x ? 2 sin(2x ? ?) ,……………………………9 分

2

2

2

4

∴ T ? 2? ? ? ,由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? ,得 k? ? ?? ? x ? k? ? ? , k ? Z ,

?

2

4

2

?

?

∴ f (x) 的单调递增区间为[k? ? ?? , k? ? ?] , k ? Z .…………………………13 分

?

?

解法二: f (x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? 1 sin 2x ? 1? cos 2x ? 1

22

2

2

? 1 sin 2x ? 1 cos 2x ? 2 sin(2x ? ?) ,…………………………………4 分

2

2

2

4

(1)∵ 0 ? ? ? ? , sin? ? 2 ,∴? ? ? ,………………………………………6 分

2

2

4

∴ f (? ) ? 2 sin(2? ? ?) ? 2 sin ?? ? 1 ;……………………………9 分

2

4 2 42

(2) T ? 2? ? ? ,由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? ,得 k? ? ?? ? x ? k? ? ? , k ? Z ,

?

2

4

2

?

?

78

∴ f (x) 的单调递增区间为[k? ? ?? , k? ? ?] , k ? Z .……………………13 分

?

?

224.(2014·广东高考文科·T16)(12

分)已知函数

f(x)=Asin

? ??

x

?

? 3

? ??

,x∈R,且

f

? ??

5? 12

? ??

=

32 2

.

(1)求 A 的值.

(2)若 f(θ )-f(-θ )=

3





? ??

0,

? 2

? ??

,求

f

? ??

? 6

??

? ??

.

【解题提示】(1)属于给角求值问题,把 5? 代入解析式求角 A. 12
(2)可利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解.

【解析】(1)由

f

? ??

5? 12

? ??

=Asin

? ??

5? 12

?? 3

? ??

=Asin

3? 4

=

A2 2

32
=
2

可得 A=3.

(2)f(θ )-f(-θ )= 3 ,



3sin

????

?

? 3

? ??

-3sin

? ??

? 3

??

? ??

=

3,

3

? ???

1 2

sin ?

?

3 2

cos

?

? ???

-3

? ???

3 2

cos?

?

1 2

sin

?

? ???

=

3 ,sinθ =

3
.
3

因为θ



? ??

0,

? 2

? ??

,所以

cosθ

=

6
,
3

?? f ?? 6

??

? ??

?? =3sin ?? 6

??

?

? 3

? ??

?? =3sin ?? 2

??

? ??

=3cosθ

=

6.

225.(2014·广东高考理科)(12 分)已知函数 f(x)=Asin 错误!未找到引用源。,x∈R,且 f 错误!
未找到引用源。= 3 . 2
(1)求 A 的值.
(2)若 f(θ )+f(-θ )= 3 ,θ ∈错误!未找到引用源。,求 f 错误!未找到引用源。. 2
【解题提示】(1)属于给角求值问题,把 5? 代入解析式求得 A.(2)利用两角和与差的正弦和诱 12
导公式及同角三角函数的关系求解.

【解析】(1)由 f 错误!未找到引用源。=Asin 错误!未找到引用源。=Asin 2? = A 3 = 3 可 3 22

79

得 A= 3 .
(2)f(θ )+f(-θ )= 3 ,θ ∈错误!未找到引用源。,则 3 sin 错误!未找到引用源。+ 3 sin 错 2
误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,cosθ =

6
.

4

因为θ ∈错误!未找到引用源。,所以 sinθ =

10
,

4

f 错误!未找到引用源。= 3 sin 错误!未找到引用源。= 3 sin 错误!未找到引用源。= 3 sin

30
θ= .
4 226. (2014·四川高考理科·T16)已知函数 f (x) ? sin(3x ? ? ) .
4 (1)求 f (x) 的单调递增区间;

(2)若? 是第二象限角, f (? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2? ,求 cos? ?sin ? 的值.

35

4

【解题提示】本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换

等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合,划归与转化等数学思想.

【解析】(1)因为函数 y ? sin x 的单调增区间为[? ? ? 2k? , ? ? 2k? ], k ? Z ,

2

2

由 2k? ? ? ? 3x ? ? ? 2k? ? ? ( k ? Z ) ? 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? ( k ? Z )

2

4

2

34

3 12

所以 f (x) 的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ? ? ] ( k ? Z ) 3 4 3 12

(2)由已知,有 sin(? ? ? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2?

45

4

所以 sin? cos ? ? cos? sin ? ? 4 (cos? cos ? ? sin? sin ? )(cos2 ? ? sin2 ?)

4

45

4

4

即 sin? ? cos? ? 4 (cos? ? sin? )2 (cos? ? sin? ) 5

当 sin? ? cos? ? 0 时,由? 是第二象限角,知? ? 2k? ? 3? ,( k ? Z ) 4

此时 cos? ? sin? ? cos 3? ? sin 3? ? ? 2 .

4

4

当 sin? ? cos? ? 0 时,有 (cos? ? sin? )2 ? 5 ,由? 是第二象限角,知 cos? ?sin? ? 0 , 4

80

此时 cos? ? sin ? ? ? 5 . 2

综上, cos? ? sin? ? ?

2 或 cos? ? sin? ? ?

5
.

2

【误区警示】本题中容易丢掉 sin? ? cos? ? 0 的情况,导致结果 cos? ? sin? ? ? 2 丢

失.

227. (2014·四川高考文科·T17)与(2014·四川 高考理科·T16)相同
已知函数 f (x) ? sin(3x ? ? ) . 4
(1)求 f (x) 的单调递增区间;

(2)若? 是第二象限角, f (? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2? ,求 cos? ?sin ? 的值.

35

4

【解题提示】本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换

等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合,划归与转化等数学思想.

【解析】(1)因为函数 y ? sin x 的单调增区间为[? ? ? 2k? , ? ? 2k? ], k ? Z ,

2

2

由 2k? ? ? ? 3x ? ? ? 2k? ? ? ( k ? Z ) ? 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ? ( k ? Z )

2

4

2

34

3 12

所以 f (x) 的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ? ? ] ( k ? Z ) 3 4 3 12

(2)由已知,有 sin(? ? ? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2?

45

4

所以 sin? cos ? ? cos? sin ? ? 4 (cos? cos ? ? sin? sin ? )(cos2 ? ? sin2 ?)

4

45

4

4

即 sin? ? cos? ? 4 (cos? ? sin? )2 (cos? ? sin? ) 5

当 sin? ? cos? ? 0 时,由? 是第二象限角,知? ? 2k? ? 3? ,( k ? Z ) 4

此时 cos? ? sin? ? cos 3? ? sin 3? ? ? 2 .

4

4

当 sin? ? cos? ? 0 时,有 (cos? ? sin? )2 ? 5 ,由? 是第二象限角,知 4

cos? ?sin? ? 0 ,

此时 cos? ? sin ? ? ? 5 . 2

81

综上, cos? ? sin? ? ?

2 或 cos? ? sin? ? ?

5
.

2

【误区警示】本题中容易丢掉 sin? ? cos? ? 0 的情况,导致结果 cos? ? sin? ? ? 2 丢
失. 228. (2014·湖南高考理科·T18)(本小题满分 12 分)
如图 5,在平面四边形 ABCD中, AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos ?CAD 的值;

(2)若 cos ?BAD ? ? 7 ,sin ?CBA ? 21 , 求 BC 的长.

14

6

【解题提示】 利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。
【解析】(1)如图 5,在 ?ADC 中,由余弦定理,得 cos ?CAD ? AC 2 ? AD 2 ? CD2 2AC ? AD

由题设知, cos?CAD ? 7 ?1? 4 ? 2 7 .

27

7

(2)如图 5,设 ?BAC ? a, 则 a ? ?BAD? ?CAD.

因为 cos ?CAD ? 2 7 , cos ?BAD ? ? 7 , 所以

7

14

sin ?CAD ? 1? cos2 ?CAD ? 1? ( 2 7 )2 ? 21 ,

7

7

sin ?BAD ? 1? cos2 ?BAD ? 1? (? 7 )2 ? 3 21 .

14

14

于是

sin a ? sin(?BAD ? ?CAD)

? sin ?BAD cos ?CAD ? cos ?BAD sin ?CAD ? 3 21 ? 2 7 ? (? 7 ) ? 21 ? 3 .

14 7

14 7 2

82

在 ?ABC中,由正弦定理得, BC ? AC . sin a sin ?CBA

故 BC ? AC ? sin a ? sin ?CBA

7? 3 2 ? 3.
21 6

229. (2014·浙江高考文科·T18)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,

4sin2 A ? B ? 4sin Asin B ? 2 ? 2

已知

2

(1)求角 C 的大小;(2)已知 b ? 4 , ?ABC 的面积为 6,求边长 c 的值

sin2 A ? B ? 1? cos(A? B)

【解析】(1)因为

2

2



4sin2 A ? B ? 4sin Asin B

所以

2

= 2 ? 2cos(A? B) ? 4sin Asin B = 2 ? 2(cosAcosB? sinAsinB) = 2 ? 2cos(A? B)

=2+2 cosC =2+ 2

cosC ? 2 C ? ?

所以

2 , 4。

1

1

2

(2)由正弦定理知, S?ABC ? 2 absin C ? 2 ? a ? 4 ? 2 ? 6

所以 a ? 3 2 ;

由余弦定理知, c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ,所以 c2 ? (3

2)2 ? 42 ? 2? 3

2 ? 4?

2 2

=10,所以 c ? 10 所以当 b ? 4 , ?ABC 的面积为 6 时,边长 c 的值为 10 . 230. (2014·浙江高考理科·T18)(本题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边

83

分别为 a,b,c,已知 a ? b , c ? 3 ,

cos2 A ? cos2 B ? 3 sin Acos A ? 3 sin B cos B.

(1)求角 C 的大小;

sin A ? 4 ,

(2)若

5 求 ? ABC 的面积.

1? cos 2A ? 1? cos 2B ? 3 sin 2A ? 3 sin 2B

【解析】(1)由题意得, 2

2

2

2

3 sin 2A ? 1 cos 2A ? 3 sin 2B ? 1 cos 2B

所以 2

2

2

2

sin(2A ? ? ) ? sin(2B ? ? )



6

6

由 a ? b ,得 A ? B ,又 A ? B ?(0,? ) ,得

(2A ? ? ) ? (2B ? ? ) ? ?

A ? B ? 2? C ? ?

6

6

,所以

3 ,即 3

c ? 3,sin A ? 4 , a ? c

a? 8

(2)由

5 sin A sin C ,得 5



a<c

,得

A<C

,从而

cos

A

?

3 5



所以 sin B ? sin(A ? C) ? sin AcosC ? cos Asin C

? 4?1 ?3? 3 ? 4?3 3 5 2 5 2 10

S ? 1 ac sin B ? 1 ? 8 ? 3 ? 4 ? 3 3 ? 8 3 ?18

所以, ?ABC 的面积为 2

25

10

25

231. (2014·辽宁高考理科·T17)(2014·辽宁高考文科·T17)在 ?ABC 中,内角 A,

cos B ? 1

B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA? BC ? 2 ,

3 , b ? 3 ,求:(1)a 和 c

的值;(2) cos(B ? C) 的值.

84

cos B ? 1

【解析】(1)由 BA? BC ? 2 ,

3 得 BA? BC ? ca cos B ? 2 ,所以 ac ? 6 ;

又由 b ? 3 及余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ,所以 a2 ? c2 ? 13

结合 a ? c ,解得 a ? 3, c ? 2

(Ⅱ)由 a

? 3,b ? 3, c

? 2得 cos C

?

a2

? b2 ? c2 2ab

?

7 9

sin C


?

1? cos2 C ? 4 2 9

cos B ? 1 sin B ? 1? cos2 B ? 2 2



3得

9;

cos(B ? C) ? cos B cos C ? sin B sin C ? 1 ? 7 ? 2 2 ? 4 2 ? 23

所以

3 9 3 9 27

232. (2014·山东高考文科·T17)

在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别是 a,b, c .已知 a ? 3, cos A ? 6 , B ? A ? ? .

3

2

(Ⅰ)求 b 的值;

(Ⅱ)求 ?ABC的面积.

【解题指南】(1)本题先求出 sinA,再利用 A,B 之间的关系求出 sinB,然后用正弦定理求

出b

.(2)本题可利用余弦定理求出 c,再利用三角形面积公式求出三角形面积.

【解析】:

(Ⅰ)由题意知: sin A ? 1? cos2 A ? 3 , 3

sin

B

?

sin

? ??

A?

? 2

? ??

?

sin

Acos

? 2

?

cos

Asin

? 2

?

cos

A

?

6, 3

由正弦定理得: a ? b ? b ? a ?sin B ? 3 2

sin A sin B

sin A

(Ⅱ)由余弦定理得:

cos A ? b2 ? c 2? a

2
?

2bc

6 ? c2 ? 4 3

3c ? 9 ? 0 ? c1 ?

3, c2 ? 3 3,

85

又因为 B ? A ? ? 为钝角,所以 b ? c ,即 c ? 3 , 2

所以 S

ABC

?

1 ac sin B 2

?

3 2. 2

233.(2014·陕西高考文科·T16)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.

(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).

(2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值.

【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证;

(2)利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求 cosB 的值.

【解析】(1)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b.

由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB.

因为 sinB=sin[π -(A+C)]=sin(A+C),

sinA+sinC=2sin(A+C). (2)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac,又 c=2a,所以 b=错误!未找到引用源。a.

由余弦定理得 cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

234.(2014·陕西高考理科·T16)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.

(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C).

(2)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值.

【解题指南】(1)先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证.

(2)利用余弦定理及基本不等式解决最值问题,注意取最值的条件须注明.

【解析】(1)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b.

由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB.

因为 sinB=sin[π -(A+C)]=sin(A+C),

sinA+sinC=2sin 错误!未找到引用源。. (2)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac.

由余弦定理得 cosB=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≥错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。.

当且仅当 a=c 时等号成立.

所以 cosB 的最小值为错误!未找到引用源。.

235. (2014·天津高考文科·T16)(本小题满分 13 分)

86

在 ?ABC中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,已知 a ? c ? 6 b , 6
sin B ? 6 sin C
(1)求 cos A的值; (2)求 cos(2A ? ? ) 的值.
6 【解析】(1)在△ABC 中,由 b = c . 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。及 sin
sin B sinC
B= 6 sin C,可得 b=错误!未找到引用源。c,

又由 a-c= 6 b,有 a=2c. 6

所以 cos A= b2 ? c2 ? a2 = 6c2 ? c2 ? 4c2 错误!未找到引用源。= 6 错误!未找到引用源。.

2bc

2 6c2

4

(2)在△ABC 中,由 cosA= 6 错误!未找到引用源。, 4

可得 sin A= 10 错误!未找到引用源。. 4

于是 cos 2A=2cos2A-1=-错误!未找到引用源。,sin2A=2sin A·cos A= 15 错误!未找到引 4
用源。.

所以

cos

? ??

2

A

?

? 6

? ??

=cos

?
2Acos
6

错误!未找到引用源。+sin

2Asin 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 π = 15 ? 3 .

6

8

236.(2014·安徽高考文科·T16)设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a, b, c ,且

b ? 3, c ? 1, ?ABC 的面积为 2 ,求 cos A与 a 的值.
【解题提示】根据三角函数的基本公式及正、余弦定理解答。

【解析】(1)有三角形面积公式,得 1 ? 3?1.sin A ? 2 ? sin A ? 2 2 ,

2

3

87

因为 sin2 A+cos2 A =1,所以 cos A ? ? 1? sin2 A ? ? 1 , 3

(1)当

cos

A

=

1 3

时,由余弦定理得

a2

=c2

+b2

-2bc

cos

A

?

32

?1

?

2

?1?

3?

1 3

?

8

,所以

a=2 2。

(2)当

cos

A

=

-

1 3

时,由余弦定理得

a2

=c2

+b2

-2bc

cos

A

?

32

?1?

2

?1?

3?(-

1)? 3

12

237.(2014·安徽高考理科·T16)设 DABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b, c ,且

b ? 3,c ? 1, A ? 2B.

(1)求 a 的值;
(2)求 sin( A ? ? ) 的值. 4
【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答。

【解析】(1)因为 A=2B, 所以 sin A =sin 2B =2sin Bcos B ,

由正、余弦定理得 a = 2b. a2 +c2 - b2 ,因为 b=3,c=1,所以 a2 ? 12 ? a ? 2 3 。 2ac

(3)由余弦定理得 cos A = b2 +c2 - a2 = 9+1-12 =- 1 ,因为 0 < A <p ,所以

2bc

63

sin A=

1- cos2 A = 2

2

,故 sin(A + p )=sinAcos p

+ cos Asin p

4-
=

2

3

4

4

46

238. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T17)(本小题满分 12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与

C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

(1)求 C 和 BD.

(2)求四边形 ABCD 的面积.

【解题提示】(1)画出图形,结合图形利用余弦定理求解. (2)利用 S□ABCD=S△ABD+S△BCD 求解. 【解析】(1)设 x=BD,分别在△ABD,△BCD 中,对角 A,C 用余弦定理,则

1? 4?
cosA=

x2

9 ? 4 ? x2
,cosC=

.因为

A+C=π

,所以

cosA+cosC=0,

2?2

2?2?3

88

联立上式解得 x=

7

,cosC=

1

,所以

?
C=

,BD=

7.

2

3

(2)因为

A+C=π

?
,C=

,所以

sinA=sinC=

3
,

3

2

四边形

ABCD

的面积

S□ABCD=S△ABD+S△BCD=

1 2

AB·AD·sinA+

1 2

CB·CD·sinC=

3 2

(1+3)=2 3 .所以,四边形 ABCD 面积为 2 3 .

239. (2014·湖南高考文科·T19)(本小题满分 13 分)

如图 4,在平面四边形 ABCD中, DA ? AB, DE ? 1, EC ? ?BEC ? ?
3

7, EA ? 2, ?ADC ? 2? , 3

(1)求 sin ?CED 的值;

(2)求 BE 的长

【解题提示】利用正余弦定理,和三角变换公式求解。
【解析】如图,设 ?CED ? ? (1)在 ?CDE 中,由余弦定理,得 EC 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos?EDC

于是由题设知, 7 ? CD 2 ? 1 ? CD,即CD 2 ? CD ? 6 ? 0 解得 CD ? 2 ( CD ? ?3舍去) 在 ?CDE 中,由正弦定理,得 EC ? CD
sin?EDC ?

CD ? 2? 2 ? 3

于是, sin? ?

3? 2?

21,即sin?CED ?

21

EC

7

7

7

(2)由题设知, 0 ? ? ? ? ,于是由(1)知, 3

cos ? ? 1 ? sin2 ? ? 1 ? 21 ? 2 7 49 7

89

而 ?AEB ? 2? ? ? ,所以 3

cos ?AEB ? cos(2? ? ? ) ? cos 2? cos? ? sin 2? sin ?

3

3

3

? ? 1 cos? ? 3 sin ? ? ? 1 ? 2 7 ? 3 ? 21 ? 7

2

2

2 7 2 7 14

在 Rt?EAB中, cos?AEB ? EA ? 2 ,所以 cos?AEB ? EA ? 2 ? 4 7 .

BE BE

BE 7

14

240. (2014·上海高考理科·T21)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造

广告牌 CD ,其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A

和 B 看 D 的仰角分别为?和? .

(1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求? ? 2? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到

0.01 米)?
(2)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得? ? 38.12?,? ? 18.45?,求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)?

【解题指南】
(1)在Rt?ADC, Rt?BDC中,根据边角关系可得 tan?, tan ? ,根据? ? 2?,可得 tan? ? tan 2? ,解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.
【解析】

90

(1)设CD的长为x米,则 tan? ? x , tan ? ? x

35

80

? 2

??

?

2?

?

0,? tan?

?

tan 2? ,?tan?

?

2 tan ? 1? tan2 ?

?

x 35

?

2 1?

x
80 x2

?

160x 6400 ? x2

,解得:0 ?

x

?

20

2 ? 28.28

6400

?CD的长至多为28.28米.

(2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=1800 ?? ? ? ? 123.430则

a sin ?

?

AB sin ?ADB

, 解得a

?

115sin 38.120 sin123.430

? 85.06

?m ? 802 ? a2 ?160a cos18.450 ? 26.93

答:CD的长为26.93米.

241. (2014·上海高考文科·T21)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处

建造广告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,

从 A和 B 看 D 的仰角分别为?和? .

(3)设计中 CD 是铅垂方向,若要求? ? 2? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到
0.01 米)?
(4)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得? ? 38.12?,? ? 18.45?,求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)?

【解题指南】
(1)在Rt?ADC, Rt?BDC中,根据边角关系可得 tan?, tan ? ,根据? ? 2?,可得 tan? ? tan 2? ,解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.
【解析】

91

(1)设CD的长为x米,则 tan? ? x , tan ? ? x

35

80

? 2

??

?

2?

?

0,? tan?

?

tan 2? ,?tan?

?

2 tan ? 1? tan2 ?

?

x 35

?

2 1?

x
80 x2

?

160x 6400 ? x2

,解得:0 ?

x

?

20

2 ? 28.28

6400

?CD的长至多为28.28米.

(2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=1800 ?? ? ? ? 123.430则

a sin ?

?

AB sin ?ADB

, 解得a

?

115sin 38.120 sin123.430

? 85.06

?m ? 802 ? a2 ?160a cos18.450 ? 26.93

答:CD的长为26.93米.

242. (2014·重庆高考文科·T18)在 ?ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 且

a?b?c?8 .

(1)若 a ? 2,b ? 5 , 求 cosC 的值; 2

(2)若 sin Acos2 B ? sin B cos2 A ? 2sin C, 且 ?ABC 的面积 S ? 9 sin C, 求 a 和 b 的

2

2

2

值.

【解题提示】 (1)直接根据余弦定理即可求出 cos C 的值.(2)根据题设条件可以得到关于 a

和 b 的关系式进而求出 a 和 b 的值.

【解析】(1)由题意可知: c ? 8 ? (a ? b) ? 7 , 2

由余弦定理得: cos C

?

a2

? b2 ? c2 2ab

?

22

?

? ??

5 2

?2 ??

?

? ??

7 2

?2 ??

2?2? 5

?

?1. 5

2

(2)由 sin Acos2 B ? sin B cos2 A ? 2sin C 可得:

2

2

sin A? 1? cos B ? sin B ? 1? cos A ? 2sin C,

2

2

化简得 sin A? sin Acos B ? sin B ?sin Bcos A ? 4sin C.

因为 sin Acos B ? sin B cos A ? sin(A ? B) ? sin C, 所以 sin A? sin B ? 3sinC.

由正弦定理可知: a ? b ? 3c. 又因为 a ? b ? c ? 8,故 a ? b ? 6.

92

由 S ? 1 ab sin C ? 9 sin C, 所以 ab ? 9, 从而 a2 ? 6a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 3,b ? 3.

2

2

243.(2013·湖南高考理)已知函数 f(x)=sin??x-π6??+cos??x-π3??,g(x)=2sin22x.

(1)若 α 是第一象限角,且 f(α)=35 3,求 g(α)的值; (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解:本小题主要考查两角差的正、余弦公式,二倍角公式,同角三角函数关系式及三角函数 单调性,考查三角恒等变形能力和运算求解能力.属中档题.
f(x)=sin??x-6π??+cos??x-π3??



3 2 sin

x-12cos

x+12cos

x+

3 2 sin

x

= 3sin x,

g(x)=2sin22x=1-cos x.

(1)由 f(α)=35 3得 sin α=35.又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1-45=15. (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x,即 3sin x+cos x≥1.
于是 sin??x+6π??≥12.
从而 2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+56π,k∈Z,即 2kπ≤x≤2kπ+23π,k∈Z.

故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为???x|2kπ≤x≤2kπ+23π,k∈Z???. 244.(2013·福建高考理)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为 π,图象的一个
对称中心为??π4,0??.将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将
所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数 g(x)的图象. (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式;
(2)是否存在 x0∈??6π,π4??,使得 f(x0),g(x0),f(x0)·g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请
确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点. 解:本小题主要考查同角三角函数的基本关系、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函 数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推

93

理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想.

法一:(1)由函数 f(x)=sin(ωx+φ)的周期为 π,ω>0,得 ω=2Tπ=2.

又曲线 y=f(x)的一个对称中心为??π4,0??,φ∈(0,π),

故 f??π4??=sin??2×4π+φ??=0,得 φ=2π,所以 f(x)=cos 2x.

将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cos x 的图象,

再将 y=cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数 g(x)=cos??x-2π??的图象,所以 g(x)=

sin x.

(2)当 x∈??π6,4π??时,12<sin x< 22,0<cos 2x<12,所以 sin x>cos 2x>sin xcos 2x.

问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在??6π,π4??内是否有解.

设 G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈??π6,π4??,

则 G′(x)=cos x+cos xcos 2x +2sin 2x(2-sin x).

因为 x∈??π6,π4??,所以 G′(x)>0,G(x)在??6π,π4??内单调递增.

又 G??π6??=-14<0,G??π4??= 22>0,且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在??π6,π4??内

存在唯一零点 x0,即存在唯一的 x0∈??π6,4π??满足题意.

(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0.

当 sin x=0,即 x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而 x=kπ(k∈Z)不是方程 F(x)=0 的解,

所以方程 F(x)=0 等价于关于 x 的方程 a=-csoisn2xx,x≠kπ(k∈Z).

现研究 x∈(0,π)∪(π,2π)时方程 a=-csoisn2xx的解的情况.

令 h(x)=-csoisn2xx,x∈(0,π)∪(π,2π),

则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况. h′(x)=cos x?s2isni2nx2x+1?,令 h′(x)=0,得 x=π2或 x=32π.

当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:

x

??0,π2??

π 2

??π2,π??

??π,32π??

3π 2

??32π,2π??

H′(x)



0-



0



h(x)

1

-1

94

当 x>0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-∞, 当 x<π 且 x 趋近于 π 时,h(x)趋向于-∞, 当 x>π 且 x 趋近于 π 时,h(x)趋向于+∞, 当 x<2π 且 x 趋近于 2π 时,h(x)趋向于+∞. 故当 a>1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有 2 个交点; 当 a<-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内有 2 个交点,在(π,2π)内无交点; 当-1<a<1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)内有 2 个交点,在(π,2π)内有 2 个交点. 由函数 h(x)的周期性,可知当 a≠±1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交 点,从而不存在正整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个交点; 又当 a=1 或 a=-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有 3 个交点,由周期 性,2 013=3×671,所以依题意得 n=671×2=1 342. 综上,当 a=1,n=1 342 或 a=-1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点. 法二:(1)、(2)同法一. (3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x=-2sin2x+asin x+1. 现研究函数 F(x)在(0,2π]上的零点的情况. 设 t=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1), 则函数 p(t)的图象是开口向下的抛物线, 又 p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1. 当 a>1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0)(另一个零点 t2>1,舍去), F(x)在(0,2π]上有两个零点 x1,x2,且 x1,x2∈(π,2π); 当 a<-1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(0,1)(另一个零点 t2<-1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两 个零点 x1,x2,且 x1,x2∈(0,π); 当-1<a<1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0),另一个零点 t2∈(0,1),F(x)在(0,π)和(π,2π) 上分别有两个零点. 由正弦函数的周期性,可知当 a≠±1 时,函数 F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点,从而不存 在正整数 n 满足题意. 当 a=1 时,函数 p(t)有一个零点 t1∈(-1,0),另一个零点 t2=1; 当 a=-1 时,函数 p(t)有一个零点 t1=-1,另一个零点 t2∈(0,1), 从而当 a=1 或 a=-1 时,函数 F(x)在(0,2π]上有 3 个零点.由正弦函数的周期性,2 013= 3×671,所以依题意得 n=671×2=1 342. 综上,当 a=1,n=1 342 或 a=-1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有 2 013 个零点.
95

245.(2013·辽宁高考理)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈??0,π2??.

(1)若|a|=|b|,求 x 的值;

(2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值.

解:本题考查向量与三角函数的综合应用,侧重考查三角函数的性质.

(1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.

又 x∈??0,π2??,从而 sin x=12,

所以 x=π6.

(2)f(x)=a·b=

3sin

x·cos

x+sin2x=

3 2 sin

2x-12cos

2x+12=sin??2x-π6??+12,

当 x=π3∈??0,π2??时,sin??2x-π6??取最大值 1.

所以 f(x)的最大值为32.

246.(2013·安徽高考理)已知函数 f(x)=4cos ωx·sin??ωx+π4??(ω>0)的最小正周期为 π.

(1)求 ω 的值;

(2)讨论 f(x)在区间??0,π2??上的单调性.

解:本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调

性等知识,意在考查转化与化归思想的应用.

(1)f(x)=4cos ωx·sin??ωx+π4??=2 2sin ωx·cos ωx+2 2cos2ωx= 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2=

2sin??2ωx+π4??+ 2.

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,

从而有22ωπ=π,故 ω=1.

(2)由(1)知,f(x)=2sin??2x+4π??+ 2.若 0≤x≤π2,则π4≤2x+π4≤54π.

当π4≤2x+π4≤π2,即 0≤x≤π8时,f(x)单调递增;

当π2≤2x+π4≤54π,即π8≤x≤π2时,f(x)单调递减.

综上可知,f(x)在区间??0,π8??上单调递增,在区间??π8,π2??上单调递减.

96

247.(2013·重庆高考理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2 + 2ab=c2. (1)求 C; (2)设 cos Acos B=3 5 2,cos?α+cAo?sc2oαs?α+B?= 52,求 tan α 的值. 解:本题主要考查解三角形问题,意在考查考生对公式的运用能力.

(1)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

由余弦定理有

cos

C=a2+2ba2b-c2=-2a2bab=-

2 2.

故 C=34π.

(2)由题意得?sin

αsin

A-cos

αcos A??sin cos2α

αsin

B-cos

αcos

B?=

2 5.

因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 52,

tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= 52,

tan2αsin

Asin

B-tan

αsin(A+B)+cos

Acos

B=

2 5.



因为 C=34π,所以 A+B=π4,所以 sin(A+B)= 22, 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,

即3 5 2-sin Asin B= 22,

解得

sin

Asin

B=35 2-

22=

2 10 .

由①得 tan2α-5tan α+4=0,

解得 tan α=1 或 tan α=4.

248.(2013·新课标Ⅰ卷高考理)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.

(1)若 PB=12,求 PA; (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. 解:本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识,意在考查考 生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力.
97

(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+14-2×

3×12cos30°=74.故

PA=

7 2.

(2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sin α.

在△PBA 中,由正弦定理得sin 1350°=sin ?s3in0°α-α?,

化简得 3cos α=4sin α.

所以

tan

α=

43,即

tan∠PBA=

3 4.

249(2013·新课标Ⅱ卷高考理)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=

bcos C+csin B.

(1)求 B;

(2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

解:本题主要考查解三角形的基本知识,意在考查考生运用正、余弦定理以及三角形面积公

式求解相关问题的能力,属于得分题.

(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ① 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ② 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. 又 B∈(0,π),所以 B=4π.

(2)△ABC

的面积

S=12acsin

B=

2 4 ac.

由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accosπ4.

又 a2+c2≥2ac,故 ac≤2-4

,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2

因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

250.(2013·北京高考理)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 解:本题考查正弦定理、二倍角公式、三角恒等变换公式等基础知识,意在考查方程思想和

考生的运算求解能力.

(1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A,

所以在△ABC

中,由正弦定理得sin3

A=si2n

6 2A.

98

所以2sinsiAncAos

A=2

3

6 .



cos

A=

6 3.

(2)由(1)知 cos A= 36,所以 sin A=

1-cos2

A=

3 3.

又∠B=2∠A,所以 cos B=2cos2A-1=13.

所以 sin B=

1-cos2

B=2

3

2 .

在△ABC

中,sin

C=sin(A+B)=sin

Acos

B+cos

Asin

B=5

9

3 .

所以 c=assiinnAC=5.
251.(2013·陕西高考理)已知向量 a=??cos x,-12??,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函
数 f(x)=a·b. (1)求 f(x)的最小正周期.
(2)求 f(x)在??0,π2??上的最大值和最小值.
解:本题主要考查向量的数量积和三角恒等变换的方法以及三角函数的有界性,意在考查考

生应用向量和三角工具解决问题的能力.

f(x)=??cos x,-12??·( 3 sin x,cos 2x)

= 3cos xsin x-12cos 2x



3 2 sin

2x-12cos

2x

=cos

π 6sin

2x-sinπ6cos

2x

=sin??2x-π6??.

(1)f(x)的最小正周期为 T=2ωπ=22π=π,即函数 f(x)的最小正周期为 π.

(2)∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-π6≤56π.由正弦函数的性质,知

当 2x-6π=π2,即 x=π3时,f(x)取得最大值 1.

当 2x-6π=-π6,即 x=0 时,f(x)取得的最小值-12.

因此,f(x)在??0,π2??上的最大值是 1,最小值是-12.

99

252.(2013·江西高考理)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C

+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解:本题主要考查三角变换与解三角形知识,意在考查考生综合运用知识的能力.

(1)由已知得-cos(A+B)+cos A cos B- 3 sin Acos B=0,

即有 sin Asin B- 3 sin Acos B=0,

因为 sin A≠0,所以 sin B- 3 cos B=0,又 cos B≠0,所以 tan B= B=π3. (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B.

3,又 0<B<π,所以

因为 a+c=1,cos B=12,所以 b2=3??a-12??2+14.

又 0<a<1,于是有14≤b2<1,即有12≤b<1.

253.(2013·广东高考理)已知函数 f(x)= 2cos??x-1π2??,x∈R.

(1)求 f??-π6??的值;

(2)若 cos θ=35,θ∈??32π,2π??,求 f??2θ+π3??.

解:本题考查特殊角的三角函数值,同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识,考

查运算求解能力.

(1)f??-π6??= 2cos??-6π-1π2??= 2cos??-π4??= 2cos π4=1.

(2)f(2θ+3π)= 2 cos ??2θ+π3-1π2??= 2cos ??2θ+π4??=cos 2θ-sin 2θ.

因为 cos θ=35,θ∈??32π,2π??,所以 sin θ=-45.

所以 sin 2θ=2sin θcos θ=-2254,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=-275.

所以 f??2θ+3π??=cos 2θ-sin 2θ=-275-??-2245??=1275.

254.(2013·山东高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6, b=2,cos B=79.

(1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解:本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角差的正弦公式等基础知识,考

100

查方程思想,考查运算求解能力. (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又 b=2,a+c=6,cos B=79,所以 ac=9. 解得 a=3,c=3.

(2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B=4 9 2,

由正弦定理得 sin A=asibn B=2 3 2.

因为 a=c,所以 A 为锐角.所以 cos A= 1-sin2A=13.

因此

sin(A-B)=sin

Acos

B-cos

Asin

B=1027

2 .

255.(2013·大纲卷高考理)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.(a+b+c)(a-

b+c)=ac.

(1)求 B;

(2)若 sin Asin C= 34-1,求 C. 解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-b2=-12,因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°,所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin A sin C+2sin Asin C =cos (A+C)+2sin Asin C

=12+2×

3-1 4

= 23, 故 A-C=30°或 A-C=-30°,因此 C=15°或 C=45°. 256.(2013·湖北高考理)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A- 3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解:本题考查三角恒等变换公式、三角形的面积公式、正余弦定理等基础知识,考查化归与

转化思想、方程思想等数学思想方法,考查运算求解能力,考查分析问题和解决问题的能力. (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A=12或 cos A=-2(舍去).

101

因为 0<A<π,所以 A=π3.

(2)由 S=12bcsin A=12 bc·23= 43bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,知 c=4.由余弦定理得 a2=

b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21.

又由正弦定理得

sin

B

sin

C=basin

c A·asin

A=bac2sin2A=2210×34=57.

257.(2013·四川高考理)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2A-2 B·

cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35.

(1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量 B→A 在 B→C 方向上的投影. 解:本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的

关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.

(1)由 2cos2A-2 Bcos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,

得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35,

即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.

则 cos(A-B+B)=-35,即 cos A=-35.

(2)由 cos A=-35,0<A<π,得 sin A=45,

由正弦定理,有sina A=sinb B,所以,sin B=bsian A= 22.

由题知 a>b,则 A>B,故 B=4π.

根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×??-35??,
解得 c=1 或 c=-7(舍去).

故向量B→A在

B→C 方向上的投影为|B→A |cos

B=

2 2.

258.(2013·天津高考理)已知函数 f(x)=- 2sin??2x+4π??+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)在区间??0,π2??上的最大值和最小值.
解:本小题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性、

102

最值等基础知识,考查考生的基本运算能力.

(1)f(x)=- 2sin 2x·cosπ4- 2cos 2x·sinπ4+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=

2 2sin??2x-π4??.

所以 f(x)的最小正周期 T=22π=π.

(2)因为 f(x)在区间??0,38π??上是增函数,在区间??38π , π2??上是减函数,又 f(0)=-2,f??38π??=

2 2,f??π2??=2,故函数 f(x)在区间??0,π2??上的最大值为 2 2,最小值为-2.

259.(2013·北京高考文)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x.

(1)求 f(x)的最小正周期及最大值;

(2)若 α∈??π2,π??,且 f(α)= 22,求 α 的值.

解:本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、三角函数的周期和最值等相关知识,

意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力.

(1)因为 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+12cos 4x

=cos 2xsin 2x+12cos 4x

=12(sin 4x+cos 4x)

= 22sin??4x+π4??,

所以

f(x)的最小正周期为π2,最大值为

2 2.

(2)因为 f(α)= 22,所以 sin??4α+π4??=1.

因为 α∈??π2,π??,

所以 4α+π4∈??94π,174π??,

即 4α+π4=52π.故 α=91π6.

260.(2013·江苏高考文)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一 种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后, 乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的

103

速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A=1123,cos C=35.
(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? 解:本题考查正弦、余弦定理,二次函数的最值,两角和的正弦公式,不等式的解法,意在 考查考生阅读审题建模的能力和解决实际问题的能力. (1)在△ABC 中,因为 cos A=1132,cos C=35,所以 sin A=153,sin C=45. 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=153×35+1132×45=6653. 由正弦定理siAnBC=sAinCB,得 AB=sAinCB×sin C=1 62360×45=1 040(m).
65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1132=200(37t2-70t+50), 因 0≤t≤1103400,即 0≤t≤8,故当 t=3375(min)时,甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理sBinCA=sAinCB,得 BC=sAinCB×sin A=1 62360×153=500(m).
65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤5v00-75100≤3,解得1 42350≤v≤61245,所以为使两 位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在1 42350,61245(单位:m/min) 范围内.
261.(2013·安徽高考文)设函数 f(x)=sin x+sin??x+π3??.
(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变化得到. 解:本题主要考查三角恒等变换,三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换等基础知识 与基本技能,考查逻辑推理和运算求解能力.
104

(1)因为

f(x)=sin

x+12sin

x+

3 2 cos

x=32sin

x+

3 2 cos

x=

3sin??x+6π??,

所以当 x+π6=2kπ-π2,即 x=2kπ-23π(k∈Z)时,f(x)取最小值- 3.

此时 x 的取值集合为 xx=2kπ-23π,k∈Z.

(2)先将 y=sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得 y= 3sin x 的 图像;再将 y= 3sin x 的图像上所有的点向左平移6π个单位,得 y=f(x)的图像.

262.(2013·山东高考文)设函数 f(x)= 23- 3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图像 的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求 ω 的值;
(2)求 f(x)在区间??π,32π??上的最大值和最小值.
解:本题主要考查三角函数的图像和性质,考查转化思想和运算能力.

(1)f(x)= 23- 3sin2ωx-sin ωxcos ωx

= 23-

1-cos 3· 2

2ωx-12sin

2ωx



3 2 cos

2ωx-12sin

2ωx

=-sin??2ωx-π3??.

因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又 ω>0,

所以22ωπ=4×π4,因此 ω=1.

(2)由(1)知 f(x)=-sin??2x-π3??.

当 π≤x≤32π时,53π≤2x-π3≤83π.所以- 23≤sin??2x-3π??≤1.

因此-1≤f(x)≤

3 2.

故 f(x)在区间 π,32π上的最大值和最小值分别为 23,-1. 263.(2013·大纲卷高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a -b+c)=ac. (1)求 B;

105

(2)若 sin Asin C= 34-1,求 C. 解:本题主要考查余弦定理、三角恒等变换公式等基础知识,考查转化与化归、方程等数学

思想,考查逻辑思维能力和简单的计算能力. (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以 a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-b2=-12,因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°,所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C

=12+2×

3-1 4

= 23, 故 A-C=30°或 A-C=-30°, 因此 C=15°或 C=45°.

264.(2013·福建高考文)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90°,OP=2 2,点 M 在 线段 PQ 上.

(1)若 OM= 5,求 PM 的长;

(2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30°,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小?

并求出面积的最小值.

解:本题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识,

考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、

化归与转化思想.

(1)在△OMP 中,∠OPM=45°,OM= 5,OP=2 2,由余弦定理,得 OM2=OP2+MP2-

2×OP×MP×cos 45°,

得 MP2-4MP+3=0,

解得 MP=1 或 MP=3.

(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,

在△OMP

中,由正弦定理,得 sin

∠OMOPM=sin

∠OPOMP,

106

所以 OM=sOinP?4s5in°+45α°?,

同理 ON=sOinP?7s5in°+45α°?.

故 S△OMN=12×OM×ON×sin ∠MON =14×sin?45O°+P2αsi?nsi2n4?755°°+α?

=sin?45°+α?sin1?45°+α+30°?



1

sin?45°+α??? 23sin?45°+α?+12cos?45°+α???



1

23sin2?45°+α?+12sin?45°+α?cos?45°+α?



1

43[1-cos?90°+2α?]+14sin?90°+2α?



1

43+

3 4 sin

2α+41cos





1

.

43+12sin?2α+30°?

因为 0°≤α≤60°,则 30°≤2α+30°≤150°,所以当 α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为 1,

此时△OMN 的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为 8-4 3.
265.(2013·湖南高考文)已知函数 f(x)=cos x·cos??x-π3??.

(1)求 f??23π??的值;

(2)求使 f(x)<14成立的 x 的取值集合. 解:本题主要考查三角函数值的求解、三角函数化简和解三角不等式,意在考查考生的算求

解能力和转化处理能力.(1)f??23π??=cos 23π·cosπ3=-cosπ3·cosπ3=-??12??2=-14.

(2)f(x)=cos x·cos??x-3π??

=cos

x·??12cos

x+

3 2 sin

x ??

=12cos2x+

3 2 sin

xcos

x

107

=14(1+cos

2x)+

3 4 sin

2x

=12cos??2x-π3??+14.

f(x)<14等价于12cos??2x-3π??+14<14,即 cos??2x-3π??<0.于是 2kπ+2π<2x-π3<2kπ+32π,k∈Z.解得 kπ

+51π2<x<kπ+1112π,k∈Z.故使 f(x)<14成立的 x 的取值集合为???x|kπ+51π2<x<kπ+1112π,k∈Z???.

266.(2013·浙江高考文)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

2asin B= 3b.

(1)求角 A 的大小;

(2) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

解:本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识,同时考查运算求

解能力.

(1)由 2asin B=

3b

及正弦定理sina

A=sinb

B,得

sin

A=

3 2.

因为 A 是锐角,所以 A=π3.

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.

又 b+c=8,所以 bc=238.

由三角形面积公式 S=12bcsin A,得

△ABC

的面积为7

3

3 .

267.(2013·天津高考文)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A

=3csin B,a=3,cos B=23.

(1)求 b 的值;

(2)求 sin??2B-π3??的值.

解:本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式

以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.

(1)在△ABC 中,由sina A=sinb B,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B,可得 a=3c, 又 a=3,故 c=1. 由 b2=a2+c2-2accos B,cos B=23,可得 b= 6.

(2)由

cos

B=23,得

sin

B=

35,从而得

cos

2B=2cos2

B-1=-19,sin

2B=2sin

Bcos

B=4 9

5 .

108

所以 sin??2B-π3??=sin 2Bcos

π3-cos 2Bsin

π3=4

5+ 18

3 .

268.(2013·湖北高考文)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-

3cos(B+C)=1.

(1)求角 A 的大小;

(2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解:本题主要考查三角函数,三角形的面积公式,正弦定理和余弦定理等知识的综合应用,

考查考生的化简、运算、求解能力. (1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解 得 cos A=12或 cos A=-2(舍去). 因为 0<A<π,所以 A=π3.

(2)由 S=12bcsin A=12bc·23= 43bc=5 3,得 bc=20.又 b=5,知 c=4.

由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故 a= 21.

又由正弦定理得

sin

Bsin

C=basin

c A·asin

A=bac2sin2

A=2210×34=57.

269.(2013·陕西高考文)已知向量 a=??cos x,-12??,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数
f(x)=a·b. (1)求 f (x)的最小正周期;
(2)求 f (x)在??0,2π??上的最大值和最小值.
解:本题主要考查向量的数量积的运算、三角变换的方法以及三角函数的有界性,凸显向量

和三角的网络交汇以及等价转化思想的具体应用.意在考查考生应用向量和三角工具解决问

题的能力.

f(x)=??cos x,-12??·( 3sin x,cos 2x)

= 3cos xsin x-12cos 2x



3 2 sin

2x-12cos

2x

=cosπ6sin 2x-sinπ6cos 2x

=sin??2x-π6??.

(1)f(x)的最小正周期为 T=2ωπ=22π=π,即函数 f(x)的最小正周期为 π.

109

(2)∵0≤x≤π2, ∴-π6≤2x-π6≤56π. 由正弦函数的性质, 当 2x-6π=π2,即 x=π3时,f(x)取得最大值 1. 当 2x-6π=-π6,即 x=0 时,f(0)=-12,
当 2x-6π=56π,即 x=π2时,f??π6??=12,
∴f(x)的最小值为-12.
因此,f(x)在??0,π2??上的最大值是 1,最小值是-12.
270.(2013·江西高考文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B +sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C=23π,求ab的值. 解:本题主要考查正弦定理、余弦定理、倍角公式、等差数列的概念等基础知识,意在考查 考生的三角恒等变换能力与运算求解能力,以及运用所学知识综合分析、解决问题的能力. (1)证明:由已知得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B. 因为 sin B≠0,所以 sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有 a+c=2b,即 a,b,c 成等差数列. (2)由 C=23π,c=2b-a 及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有 5ab-3b2=0,所以ab=35. 200.(2013·四川高考文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)· cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35. (1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量 BA―→在 BC―→方向上的投影. 解:本题主要考查两角和的余弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关 系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想. (1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35. 则 cos(A-B+B)=-35,即 cos A=-35. 又 0<A<π,则 sin A=45.
110

(2)由正弦定理,有sina A=sinb B,

所以,sin

B=bsian

A=

2 2.

由题知 a>b,则 A>B,故 B=4π.

根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×??-35??,
解得 c=1 或 c=-7(负值舍去).

故向量

BA―→在

BC―→方向上的投影为|BA―→|cos

B=

2 2.

271.(2013·广东高考文)已知函数 f(x)= 2cos??x-1π2??,x∈R. (1)求 f??π3??的值; (2)若 cos θ=35,θ∈??32π,2π??,求 f??θ-π6??.
解:本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、

两角和与差的三角函数.在考查基础知识的同时突出基本运算能力,与 2012 年三角题相比 较,试卷结构稳定,涉及求值知识点,稳定平和中有亮点,为高考复习作出了较好的方向指

向.

(1)f??3π??= 2cos??3π-1π2??= 2cos4π= 2× 22=1.

(2)∵cos θ=35,θ∈??32π,2π??,

∴sin θ<0,sin θ=- 1-cos2θ=-45.

故 f??θ-π6??= 2cos??θ-π6-1π2??= 2cos??θ-π4??= 2??cos θcos4π+sin θsinπ4??=

2??cos θ× 22+sin θ× 22??=cos θ+sin θ=35-45=-15. 272.(2013·辽宁高考文)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈??0,π2??.
(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. 解:本题主要考查向量的坐标运算、模的定义、向量的数量积运算、三角函数式的化简,以

及闭区间上的函数最值问题,意在考查考生向量与三角函数的综合运用能力.

(1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得 4sin2x=1.
又 x∈??0,π2??,从而 sin x=12,所以 x=π6.

111

(2)f(x)=a·b=

3sin

x·cos

x+sin2x=

3 2 sin

2x-12cos

2x+12

=sin??2x-π6??+12,

当 x=π3∈??0,π2??时,sin??2x-π6??取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32.

273.(2012·重庆高考理)设 f(x)=4cos (ωx-π6)sin ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; (2)若 f(x)在区间[-32π,2π]上为增函数,求 ω 的最大值.

解:(1)f(x)=4(

3 2 cos

ωx+12sin

ωx)sin

ωx+cos

2ωx

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx

= 3sin 2ωx+1,

因为-1≤sin 2ωx≤1,

所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3 ].

(2)因 y=sin x 在每个闭区间[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上为增函数,故 f(x)= 3sin 2ωx+1(ω>0)

在每个闭区间[kωπ-4πω,kωπ+4πω](k∈Z)上为增函数.

依题意知[-32π,π2]?[kωπ-4πω,kωπ+4πω]对某个 k∈Z 成立,此时必有 k=0,于是

?-32π≥-4πω, ??π2≤4πω,

解得 ω≤16,故 ω 的最大值为16.

274.(2012·广东高考理)已知函数 f(x)=2cos(ωx+6π)(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设 α,β∈[0,π2],f(5α+53π)=-65,f(5β-56π)=1167,求 cos(α+β)的值. 解:(1)∵f(x)=2cos(ωx+π6),ω>0 的最小正周期 T=10π=2ωπ,∴ω=15. (2)由(1)知 f(x)=2cos(15x+6π), 而 α,β∈[0,π2],f(5α+53π)=-65,f(5β-56π)=1167, ∴2cos[15(5α+53π)+π6]=-65,2cos[15(5β-56π)+π6]=1167,

112

即 cos(α+π2)=-35,cos β=187,

于是 sin α=35,cos α=45,sin β=1157,

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=45×187-35×1175=-1835.

275.(2012·山东高考理)已知向量 m=(sin x,1),n=( 3Acos x,A2cos 2x)(A>0),函数 f(x)=

m·n 的最大值为 6. (1)求 A;

(2)将函数 y=f(x)的图像向左平移1π2个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12

倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求 g(x)在[0,52π4]上的值域.

解:(1)f(x)=m·n=

3Asin

xcos

x+A2cos

2x=A(

3 2 sin

2x+12cos

2x)=Asin(2x+π6).

因为 A>0,由题意知 A=6.

(2)由(1)f(x)=6sin(2x+π6).

将函数 y=f(x)的图像向左平移1π2个单位后得到

y=6sin[2(x+1π2)+π6]=6sin(2x+π3)的图像;

再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到 y=6sin(4x+π3)的图像.

因此 g(x)=6sin(4x+3π).

因为 x∈[0,52π4],所以 4x+π3∈[π3,76π],

故 g(x)在[0,52π4]上的值域为[-3,6].

276.(2012·江西高考理)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A=π4,bsin(π4

+C)-csin(π4+B)=a.

(1)求证:B-C=2π;

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

解:(1)证明:由 bsin(π4+C)-csin(π4+B)=a,应用正弦定理,得 sin Bsin(π4+C)-sin Csin(π4+

B)=sin A,

113

sin

B(

2 2 sin

C+

2 2 cos

C)-sin

C(

2 2 sin

B+

2 2 cos

B)=

22,

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1,

由于 0<B,C<34π,从而 B-C=π2.

(2)B+C=π-A=34π,因此 B=58π,C=π8.

由 a= 2,A=π4,得 b=assiinnAB=2sin 58π,c=assiinnAC=2sin π8,

所以△ABC 的面积 S=12bcsin A= 2sin58πsinπ8= 2cosπ8sinπ8=12.

277. (2012·四川高考理)函数 f(x)=6cos2ω2x+ 3sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图像如图所

示,A 为图像的最高点,B、C 为图像与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.

(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; (2) 若 f(x0)=85 3,且 x0∈(-130,23),求 f(x0+1)的值. 解:(1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx=2 3sin( ωx+3π), 又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即2ωπ=8,ω=π4. 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3 ]. (2)因为 f(x0)=8 5 3, 由(1)有 f(x0)=2 3sin(π4x0+π3)=85 3, 即 sin (π4x0+π3)=45. 由 x0∈(-130,23),知π4x0+π3∈(-2π,π2), 所以 cos(π4x0+3π)= 1-?45?2=35. 故 f(x0+1)=2 3sin (π4x0+π4+π3)=2 3sin[(π4x0+π3)+π4]
114

=2 3 [sin(π4x0+π3)cosπ4+cos(π4x0+π3)sinπ4]

=2

3×(45×

22+35×

22)=7 5

6 .

278.(2012·辽宁高考理)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等 差数列.

(1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°,所以 cos B=12.

(2)法一:由已知 b2=ac,及 cos B=12, 根据正弦定理得 sin2 B=sin Asin C,

所以 sin Asin C=1-cos2B=34.

法二:由已知 b2=ac,及 cos B=12, 根据余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-ac,解得 a=c,

所以 A=C=B=60°,故 sin Asin C=34.

279.(2012·天津高考理)已知函数 f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x-π3)+2cos2x-1,x∈R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[-π4,π4]上的最大值和最小值.

解:(1)f(x)=sin 2x·cos π3+cos 2x·sin π3+sin 2x·cosπ3-cos 2x·sin π3+cos 2x=sin 2x+cos 2x=

2sin(2x+π4).

所以,f(x)的最小正周期 T=22π=π.

(2)因为 f(x)在区间[-4π,π8]上是增函数,在区间[π8,π4]上是减函数.又 f(-4π)=-1,f(8π)= 2,

f(4π)=1,故函数 f(x)在区间[-4π,π4]上的最大值为 2,最小值为-1.

280.(2012·陕西高考理)函数 f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图像相邻

两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数 f(x)的解析式;

115

(2)设 α∈(0,π2),f(α2)=2,求 α 的值.

解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2,

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2,

∴最小正周期 T=π,

∴ω=2,故函数 f(x)的解析式为 y=2sin (2x-π6)+1.

(2)∵f(α2)=2sin(α-π6)+1=2,

即 sin(α-π6)=12,

∵0<α<π2,∴-π6<α-π6<π3,

∴α-π6=π6,故 α=π3.

281.(2012·江苏高考理)在△ABC 中,已知 AB―→·AC―→=3BA―→·BC―→.

(1)求证:tan B=3tan A;

(2)若 cos C= 55,求 A 的值.

解:(1)因为 AB―→·AC―→=3BA―→·BC―→,所以 AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,即 AC·

cos A=3BC·cos B,由正弦定理知sAinCB=sBinCA,

从而 sin Bcos A=3sin Acos B,

又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0,

所以 tan B=3tan A.

(2)因为 cos C= 55,0<C<π,所以 sin C= 1-cos2C=25 5,

从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, 亦即1t-antAan+AttaannBB=-2,由(1)得1-4t3atnanA2A=-2,解得 tan A=1 或-13,

因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A=π4.

282.(2012·大纲卷高考理)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-

C)+cos B=1,a=2c,求 C.

解:由 B=π-(A+C),得 cos B=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,

由已知得 sin AsinC=12.



116

由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C. ②

由①、②得 sin2C=14,

于是 sin C=-12(舍去),或 sin C=12.

又 a=2c,所以 C=6π.

283(2012·北京高考理)已知函数

f(x)=?sin

x-cos x?sin sin x

2x .

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期;

(2)求 f(x)的单调递增区间.

解:(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z),

故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.

因为

f(x)=?sin

x-cos x?sin sin x

2x

=2cos x(sin x-cos x)

=sin 2x-cos 2x-1

= 2sin(2x-π4)-1,

所以 f(x)的最小正周期 T=22π=π.

(2)函数 y=sin x 的单调递增区间为[2kπ-2π,2kπ+π2](k∈Z).

由 2kπ-π2≤2x-4π≤2kπ+2π,x≠kπ(k∈Z),

得 kπ-π8≤x≤kπ+38π,x≠kπ(k∈Z).

所以 f(x)的单调递增区间为[kπ-π8,kπ)和(kπ,kπ+38π](k∈Z).

284.(2012·湖北高考理)已知向量 a=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,

2 3cos ωx),设函数 f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω

∈(12,1).

(1)求函数 f(x)的最小正周期;

(2)若 y=f(x)的图象经过点(π4,0),求函数 f(x)在区间[0,35π]上的取值范围.

解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ=

2sin(2ωx-π6)+λ.

117

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin(2ωπ-π6)=±1, 所以 2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z),即 ω=2k+13(k∈Z).

又 ω∈(12,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω=56. 所以 f(x)的最小正周期是65π.

(2)由 y=f(x)的图象过点(π4,0),得 f(π4)=0,

即 λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin4π=- 2,

即 λ=- 2. 故 f(x)=2sin(53x-6π)- 2,

由 0≤x≤35π,有-6π≤53x-π6≤56π, 所以-12≤sin(53x-π6)≤1, 得-1- 2≤2sin(53x-π6)- 2≤2- 2, 故函数 f(x)在[0,35π]上的取值范围为[-1- 2,2- 2 ].

285.(2012·浙江高考理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A=23,

sin B= 5cos C. (1)求 tan C 的值;

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

解:(1)因为 0<A<π,cos A=23,得 sin A=

1-cos2A=

5 3.



5cos

C=sin

B=sin

(A+C)=sin

Acos

C+cos

Asin

C=

5 3 cos

C+23sin

C.

所以 tan C= 5.

(2)由 tan C= 5,得 sin C= 5,cos C= 1 .

6

6

于是 sin B=

5cos C=

5 .

6

由 a= 2及正弦定理sina A=sinc C,得 c= 3.

设△ABC

的面积为

S,则

S=12acsin

B=

5 2.

118

286.(2012·福建高考理)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数: (1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; (2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; (3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; (4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; (5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择(2)式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.

(2)法一:三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°·cos α+sin 30°sin α)

=sin2α+34cos2α+

3 2 sin

αcos

α+14sin2α-

3 2 sin

αcos

α-12sin2α

=34sin2α+34cos2α

=34. 法二:三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=34. 证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =1-c2os 2α+1+cos?620°-2α?-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

=12-12cos

2α+12+12(cos

60°cos

2α+sin

60°sin

2α)-

3 2 sin

αcos

α-12sin2α

=12-12cos

2α+12+14cos

2α+

3 4 sin

2α-

3 4 sin

2α-14(1-cos

2α)

=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.

287.(2012·安徽高考理)设函数 f(x)= 22cos(2x+π4)+sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有 g(x+π2)=g(x),且当 x∈[0,π2]时,g(x)=12-f(x).求 g(x)在 区间[-π,0]上的解析式.

119

解:(1)f(x)=

22cos(2x+π4)+sin2 x=

2 2 (cos 2x cos

π4-sin 2x sin

π4)+1-c2os 2x=12-12sin 2x,

故 f(x)的最小正周期为 π.

(2)当 x∈[0,π2]时,g(x)=12-f(x)=12sin 2x,故

①当 x∈[-π2,0]时,x+π2∈[0,π2].

由于对任意 x∈R,g(x+π2)=g(x),

从而 g(x)=g(x+2π)=12sin[2(x+π2)]=12sin(π+2x)=-12sin 2x.

②当 x∈[-π,-π2)时,x+π∈[0,π2).从而

g(x)=g(x+π)=12sin[2(x+π)]=12sin 2x.

综合①、②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为

1
?2sin

2x,x∈[-π,-π2?,

? g(x)=

?-12sin 2x,x∈[-π2,0].

288.(2012·新课标高考理)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C

+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A;

(2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得

sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0.

因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C≠0,所以 sin(A-π6)=12. 又 0<A<π,故 A=π3. (2)△ABC 的面积 S=12bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 289.(2012·浙江高考文)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A

= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

120

解:(1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理sina A=sinb B,得 sin B= 3cos B, 所以 tan B= 3,所以 B=π3. (2)由 sin C=2sin A 及sina A=sinc C,得 c=2a. 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3. 290.(2012·湖北高考文)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图像 关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈(12,1). (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图像经过点(π4,0),求函数 f(x)的值域. 解:(1)因为 f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2 3sin ωx·cos ωx+λ=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ= 2sin(2ωx-π6)+λ. 由直线 x=π 是 y=f(x)图像的一条对称轴,可得 sin(2ωπ-π6)=±1. 所以 2ωπ-π6=kπ+π2(k∈Z), 即 ω=2k+13(k∈Z). 又 ω∈(12,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω=56. 所以 f(x)的最小正周期是65π. (2)由 y=f(x)的图像过点(π4,0)得 f(π4)=0, 即 λ=-2sin(56×π2-π6)=-2sin4π=- 2, 即 λ=- 2, 故 f(x)=2sin(53x-6π)- 2, 函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2]. 291(2012·四川高考文)已知函数 f(x)=cos22x-sin2xcos2x-12. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 f(α)=3102,求 sin 2α 的值.
121

解:(1)f(x)=cos22x-sin2xcos2x-12

=12(1+cos x)-12sin x-12



2 2 cos

(x+π4).

所以 f(x)的最小正周期为 2π,值域为[- 22, 22].

(2)由(1)知

f(α)=

2 2 cos

(α+π4)=3102,所以

cos

(α+π4)=35.

所以 sin 2α=-cos(π2+2α)=-cos 2(α+π4) =1-2cos2(α+4π)=1-2158=275. 292.(2012·辽宁高考文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成 等差数列.

(1)求 cos B 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值. 解:(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180°, 解得 B=60°,所以 cos B=12.

(2)法一:由已知 b2=ac,及 cos B=12, 根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C, 所以 sin Asin C=1-cos2B=34.

法二:由已知 b2=ac,及 cos B=12, 根据余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-ac,解得 a=c,

所以 A=C=B=60°,故 sin Asin C=34. 293.(2012·天津高考文)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 a=2,

c=

2,cos

A=-

2 4.

(1)求 sin C 和 b 的值;

(2)求 cos (2A+π3)的值.

解:(1)在△ABC 中,由 cos A=- 42,可得 sin A= 414.又由sina A=sinc C及 a=2,c= 2,

可得 sin C= 47. 由 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+b-2=0,因为 b>0,故解得 b=1.

所以 sin C= 47,b=1.

122

(2)由 cos A=- 42,sin A=

414,得

cos

2A=2cos2

A-1=-34,sin

2A=2sin

Acos

A=-

7 4.

所以,cos(2A+π3)=cos 2Acosπ3-sin 2Asin

π3=-3+8

21 .

294.(2012·山东高考文)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知

sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.

(1)求证:a,b,c 成等比数列;

(2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.

解:(1)在△ABC 中,由于 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,

所以

sin

sin B(cos

AA+csoins

CC)=csoins

A sin A·cos

CC,

因此 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,

所以 sin Bsin(A+C)=sin Asin C.

又 A+B+C=π,

所以 sin(A+C)=sin B,

因此 sin2B=sin Asin C.

由正弦定理得 b2=ac,

即 a,b,c 成等比数列.

(2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2, 由余弦定理得 cos B=a2+2ca2c-b2=122+×212×-22=34,

因为 0<B<π,所以 sin B= 1-cos2B= 47,

故△ABC

的面积

S=12acsin

B=12×1×2×

47=

7 4.

295.(2012·江苏高考文)在△ABC 中,已知 AB―→·AC―→=3BA―→·BC―→.

(1)求证:tan B=3tan A;

(2)若 cos C= 55,求 A 的值. 解:(1)因为 AB―→·AC―→=3BA―→ ·BC―→,所以 AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,即 AC· cos A=3BC·cos B,由正弦定理知sAinCB=sBinCA, 从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A.

(2)因为 cos C= 55,0<C<π,所以 sin C= 1-cos2C=2 5 5,从而 tan C=2,于是 tan[π-(A

123

+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, 亦即1t-antAan+AttaannBB=-2,由(1)得1-4t3atnanA2A=-2,

解得 tan A=1 或-13,

因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A=π4. 296.(2012·福建高考文)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数: ①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15° ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12° ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式,计算如下: sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.

(2)法一:三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

=sin2α+34cos2α+

3 2 sin

αcos

α+14sin2α-

3 2 sin

αcos

α-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.

法二:三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 证明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =1-c2os 2α+1+cos?620°-2α?-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

=12-12cos

2α+12+12(cos

60°cos

2α+sin

60°sin

2α)-

3 2 sin

αcos

α-12sin2α

=12-12cos

2α+12+14cos

2α+

3 4 sin

2α-

3 4 sin

2α-14(1-cos

2α)

=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.

124

297.(2012·安徽高考文)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 解:(1)法一:由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B, 因为 sin B≠0,所以 cos A=12.

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