新高中数学第二章参数方程3参数方程化成普通方程学案北师大版选修4_4

新高中数学第二章参数方程 3 参数方程化成普通方程学案北师 大版选修 4_4

[对应学生用书 P31] [自主学习] 1.代数法消去参数 (1)代入法:从参数方程中选出一个方程,解出参数,然后把参数的表达式代入另一个 方程,消去参数,得到曲线的普通方程. (2)代数运算法:通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形, 然后把参数方程中的两个方程进行代数运算,消去参数,得到曲线的普通方程. 2.利用三角恒等式消去参数 如果参数方程中的 x,y 都表示为参数的三角函数,那么可以考虑用三角函数公式中的 恒等式消去参数,得曲线的普通方程. [合作探究] 1.将参数方程化为普通方程时要注意什么? 提示: 注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点, 即要求参数方程和消去参数后 的普通方程是等价的. 2.将参数方程?

?x= t+1, ?y=1-2 t

(t 为参数)化为普通方程是 y=-2x+3 吗?

提示:不是,应是 y=-2x+3(x≥1).

[对应学生用书 P32] 将参数方程化为普通方程 [例 1] 将下列参数方程化成普通方程.

t+1 x= ? ? t-1, (1)? 2t y= ? ? t -1;
3

?x=2t -t-3, ? (2)? 2 ?y=t -t-1; ?

2

1 / 11

?tan θ + 1 ?, ? ? ?x=a? cos θ ? ? (3)? a ? ?y=cos θ
p ? ?x=t +pt , (4)? p ? ?y=t-pt
2 2

(θ 为参数);

(t 为参数).

[思路点拨] 本题考查参数方程化普通方程及运算、 转化能力, 解答此题需要根据方程 的特点,选择适当的消参方法求解. [精解详析] (1)由 x= 代入 y= 2t 化简得 t3-1

t+1 x+1 得 t= , t-1 x-1

y=

x+
2

x-
3x +1

2

(x≠1).

(2)由 x-2y=t-1 得

t=x-2y+1,
代入 y=t -t-1 化简得
2

x2-4xy+4y2+x-3y-1=0.
1 ? a ? (3)把 y= 代入 x=a?tan θ + ? cos θ ? cos θ ? 得 x-y=atan θ ,(x-y) =a tan θ , 由题设得 y = 2 ,因而 x -2xy+a =0. cos θ (4)将 y= -pt 的两边平方得
2 2 2 2

a2

2

2

p t

p2 p y2= 2+p2t2-2p2=p( 2+pt2-2p). t t
把 x= 2+pt 代入上式,得 y =p(x-2p).

p t

2

2

将参数方程化为普通方程的一般思路: 先分析方程的结构特征, 再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参, 但要注

2 / 11

意需由参数方程讨论 x,y 的变化范围,并验证其两种形式下的一致性.

1.(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:?
?x=3cos φ , ? ? ?y=2sin φ ?

?x=t, ? ? ?y=t-a

(t 为参数)过椭圆 C:

(φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________.

解析:由题设可得直线 l:y=x-a,又由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0),代入 y =x-a 得 a=3. 答案:3 1-t x= ? ? 1+t , 2.把参数方程? t y= ? ? 1+t
2 2 2

(t 为参数)化为普通方程,并说明它表示什么曲线.

解:由?
2

?1-t2?2+? 2t 2?2=1, ? ? ? ?1+t ? ?1+t ?
2 2

2

得 x +4y =1, 1-t 又-1< 2≤1,得-1<x≤1. 1+t ∴所求普通方程是 x +4y =1(-1<x≤1). 将 x +4y =1 转化为 + =1, 1 1 4 它表示中心在原点, 对称轴为坐标轴, 长轴长为 2, 短轴长为 1, 除去点(-1,0)的椭圆. 参数方程化普通方程的应用 [ 例 2] 求 曲 线 C1 : ?
? ?x=1+cos θ , ?y=sin θ ?
2 2 2 2

x2 y2



为 参 数 ) 上 的 点 到 曲 线 C2 :

1 x=-2 2+ t, ? ? 2 ? 1 ? ?y=1-2t

(t 为参数)上的点的最短距离.

[思路点拨] 本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、 运算能力, 解答此题需要 将曲线 C1,C2 的参数方程化为普通方程,转化为圆上点到直线的最短距离求解.

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[精解详析] 由曲线 C1:?
?cos θ =x-1, ? ? ?sin θ =y. ?

? ?x=1+cos θ , ?y=sin θ ?

(θ 为参数)得

两式平方相加得:(x-1) +y =1. 得 C1 为圆心 C1(1,0),半径为 1 的圆. 1 x=-2 2+ t, ? ? 2 对于曲线 C :? 1 y=1- t ? ? 2
2

2

2

消去参数 t 得直线方程 x+y+2 2-1=0, 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为

d=

|1+2 2-1| 2

=2,所以最短距离为 2.

对于根据曲线的参数方程定形问题,位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题, 直接求解有困难时,常将参数方程化为普通方程再求解.

5 ? ?x=-1- 5 t, 3.求参数方程? 2 5 ? ?y= 5 t 图形相交所得的弦长. 解:由?

(t∈R)与?

?x= 2cos θ , ?y=sin θ

(θ ∈R)所表示的

?x= 2cos θ , ?y=sin θ

(θ ∈R)消去 θ 得椭圆 +y =1, 2

x2

2

5 ? x =-1- t, ? 5 将? 2 5 ? ?y= 5 t
2

(t∈R)代入椭圆方程,

化简得 9t +2 5t-5=0,

4 / 11

设该方程的两实根为 t1,t2, 2 5 5 则 t1+t2=- ,t1t2=- . 9 9 所求弦长为|t1-t2|= =

t1+t2

2

-4t1t2

? 2 5?2 20 10 2 ?- ?+ = 9 . ? 9 ? 9
?x=cos θ , ? ?y=-1+sin θ ?

4.将曲线 C:?

(θ 为参数)化为普通方程,如果曲线 C 与直线 x+y

+a=0 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:∵?
? ?x=cos θ , ?y=-1+sin θ , ?

∴x +(y+1) =1.

2

2

∴曲线 C 是以(0,-1)为圆心,半径为 1 的圆. 若圆与直线有公共点, |0-1+a| 则圆心到直线的距离 d= ≤1, 2 解得 1- 2≤a≤1+ 2. ∴a 的取值范围为[1- 2,1+ 2].

本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点,主要考查参数方程化为普通方程及其应 用,同时考查转化、运算求解能力,常与三角、解析几何等知识交汇命题. [考题印证] 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为?
?x=acos φ , ? ?y=bsin φ ? ? ?x=cos φ , ? ?y=sin φ

(φ 为参数),曲线 C2

的参数方程为?

(a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极

轴的极坐标系中,射线 l:θ =α 与 C1,C2 各有一个交点.当 α =0 时,这两个交点间的距 π 离为 2,当 α = 时,这两个交点重合. 2 (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α = 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α =- 时,l 与 C1,C2 的交 4 4 点分别为 A2,B2,求四边 形 A1A2B2B1 的面积.

5 / 11

[命题立意] 本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题, 极坐标方程与直角坐标 方程的互化. [自主尝试] (1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α =0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距 离为 2,所以 a=3. π 当 α = 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合, 2 所以 b=1. (2)C1,C2 的普通方程分别为 x +y =1 和 +y =1. 9 π 2 3 10 当 α = 时, 射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= , 与 C2 交点 B1 的横坐标为 x′= . 4 2 10 π 当 α =- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四 4 边形 A1A2B2B1 为梯形,故四边形 A1A2B2B1 的面积为
2 2

x2

2

x′+2x
2

x′-x

2 = . 5

[对应学生用书 P33] 一、选择题

? ? 1.参数方程? 5-t ? ?y=1+t
x=
A.直线

3t 2, 1+t
2 2

2

(t 为参数)表示的图形为(

)

B.圆 D.椭圆
2

C.线段(但不包括右端点)
2

3t x 5-t 2 2 解析:选 C 从 x= ,代入 y= 2中解得 t = 2,整理得 2x+y-5=0.由 t 1+t 3-x 1+t = ≥0 解得 0≤x<3.所以参数方程化为普通方程为 2x+y-5=0(0≤x<3),表示一条 3-x

x

线段,但不包括右端点.

? ?x= 3 , 2.下列双曲线中,与双曲线? cos θ ? ?y=tan θ

(θ 为参数)的离心率和渐近线都相同

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的是(

)

A. - =1 9 3 C. -x =1 3

y

2

x2

B. - =1 3 9 D. -x =-1 3 2 3 3 2 ? -y =1? e= ,渐近线为 y=± x,经验证知 3 3 3

y2 x2 y2

y2

2

2

? ?x= 3 , 解析:选 B ? cos θ ? ?y=tan θ
B 正确. 1 ? ?x=t+ , t 3.方程? ? ?y=2, A.一条直线 C.一条线段

x2

(t 为参数)表示的曲线为(

)

B.两条射线 D.抛物线的一部分

1 1 解析:选 B x=t+ ,当 t>0 时,x=t+ ≥2.

t

t

1 当 t<0 时,x=t+ ≤-2.∴y=2(x≥2 或 x≤-2)表示的曲线为两条射线.

t

4.下列参数方程中,与方程 y =x 表示同一曲线的是( A.?
?x=t, ? ? ?y=t
2

2

)

B.?

?x=sin t, ? ? ?y=sin

2

t

?x= |t|, C.? ?y=t
2

1-cos 2t ? ?x= , D.? 1+cot 2t ? ?y=tan t

解析:选 D B 中 sin t 和 sint 都表示在一定范围内; A,C 中化简不是方程 y =x,而是 x =y,故借助万能公式代入化简可知选 D. 二、填空题 5.椭圆?
?x=-4+2cos θ , ? ?y=1+5sin θ ?
2 2

(θ 为参数)的焦距为________.
2

解析:椭圆的普通方程为 ∴c =21,∴2c=2 21. 答案:2 21
2

x+
4



y-
25

2

=1.

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x=3+3tan φ , ? ? 6.双曲线? 1 y= ? cos φ ?
解析:化为普通方程是 y -
2 2

(φ 为参数)的渐近线方程是________.

x-
9

2

=1,
2

它是由 y - =1 向右移 3 个单位长度得到 y - =1 的渐近线方程为:x±3y=0, 9 9 ∴原双曲线的渐近线方程为:x±3y-3=0. 答案:x±3y-3=0 7.(江西高考)设曲线 C 的参数方程为?
?x=t, ? ?y=t ?
2

x2

x2

(t 为参数),若以直角坐标系的原点

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 解析:消去曲线 C 中的参数 t 得 y=x ,将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y=x 中, 得 ρ cos θ =ρ sin θ ,即 ρ cos θ -sin θ =0. 答案:ρ cos θ -sinθ =0 8.(湖北高考)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为?
?x=acos φ , ? ?y=bsin φ ?
2 2 2 2 2 2

(φ 为参

数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 π? 2 ? x 轴正半轴为极轴)中, 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρ sin?θ + ?= m(m 为非零常

?

4?

2

数)与 ρ =b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为________. 解析:由题意知,椭圆 C 的普通方程为 2+ 2=1,直线 l 的直角坐标方程为 x+y=m, |m| 2 2 2 圆 O 的直角坐标方程为 x +y =b ,设椭圆 C 的半焦距为 c,则根据题意可知,|m|=c, 2 =b,所以有 c= 2b,所以椭圆 C 的离心率 e= = 6 3

x2 y2 a b

c a

c b +c
2 2



6 . 3

答案:

三、解答题 9.(江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?
?x=t+1, ? ? ?y=2t

(t 为参

8 / 11

? ?x=2tan θ , 数),曲线 C 的参数方程为? ?y=2tan θ ?

2

(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,

并求出它们的公共点的坐标. 解:因为直线 l 的参数方程为?
?x=t+1, ? ?y=2t ?

(t 为参数),

由 x=t+1,得 t=x-1,代入 y=2t, 得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y =2x. 联立方程组?
?y= ?
2 2

x-



?y =2x, ?

?1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),? ,-1?. 2 ? ?
10.已知直线 l:x-y+9=0 和椭圆 C:? (1)求椭圆 C 的两焦点 F1,F2 的坐标; (2)求以 F1,F2 为焦点且与直线 l 有公共点 M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程. 解:(1)由椭圆的参数方程消去参数 θ 得椭圆的普通方程为 + =1, 12 3 所以 a =12,b =3,c =a -b =9. 所以 c=3.故 F1(-3,0),F2(3,0). (2)因为 2a=|MF1|+|MF2|, 所以只需在直线 l:x-y+9=0 上找到点 M 使得|MF1|+|MF2|最小即可. 点 F1(-3,0)关于直线 l 的对称点是 F1′(-9,6), 所以 M 为 F2F1′与直线 l 的交点,则 |MF1|+|MF2|=|MF1′|+|MF2|=|F1′F2| = -9-
2 2 2 2 2 2

?x=2 3cos θ , ?y= 3sin θ

(θ 为参数).

x2

y2





2

=6 5,

故 a=3 5. 又 c=3,b =a -c =36. 此时椭圆方程为 + =1. 45 36
2 2 2

x2

y2

9 / 11

1 ? ?x= 3+2t, 11.已知直线 l 的参数方程为? 3 y=7+ t ? ? 2
?x=4cos θ , ? ? ?y=4sin θ ?

(t 为参数),曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数).

(1)将曲线 C 的参数方程转化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,试求线段 AB 的长.
? ?x=4cos θ , 解:(1)由? ?y=4sin θ ? ? ?x =16cos θ , 得? 2 2 ?y =16sin θ . ?
2 2

故圆的方程为 x +y =16. 1 x= 3+ t, ? 2 ? (2)法一:把? 3 ? ?y=7+ 2 t
2 2 2

2

2

(t 为参数)

代入方程 x +y =16,得 t +8 3t+36=0. ∴t1+t2=-8 3,t1t2=36. ∴线段 AB 的长为 |AB|=|t1-t2|=

t1+t2

2

-4t1t2=4 3.

1 x= 3+ t, ? 2 ? 法二:直线 l 的参数方程:? 3 ? ?y=7+ 2 t 3x-y+4=0. 由(1)知:圆心的坐标为(0,0),圆的半径 R=4. ∴圆心到直线 l 的距离 d=
2 2

化为普通方程:

|4| 3
2

+ -

2

=2.

∴|AB|=2 R -d =2 16-4=4 3.

10 / 11

1 ? ?x= 3+2t, 法三:直线 l 的参数方程:? 3 y=7+ t ? ? 2 化为普通方程: 3x-y+4=0.

?x +y =16, 由? ? 3x-y+4=0

2

2

得 x +2 3x=0.

2

∴x1=0,x2=-2 3.∴y1=4,y2=-2. ∴|AB|=

x1-x2

2



y1-y2

2

=4 3.

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