(浙江专版)2018年高中数学第二章数列2.1第二课时数列的通项公式与递推公式课件新人教A版必修5_图文

第二课时 数列的通项公式与递推公式 预习课本 P30~31,思考并完成以下问题 (1)什么叫数列的递推公式? (2)由数列的递推公式能否求出数列的项? [新知初探] 数列的递推公式 定义:如果已知数列的第 1 项(或前几项),且从第___ 2 项(或 an-1 或前几项)(n≥2) an 与它的前一项_____( 某一项)开始的任一项___ 间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做这个数列的 递推公式. [点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样, 并不是 所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通 项公式一样都是关于项数 n 的恒等式,用符合要求的正整数依 次去替换 n,就可以求出数列的各项. (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的 任何一项和所需的项. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项 (2)有些数列可能不存在最大项 (3)递推公式是表示数列的一种方法 (4)所有的数列都有递推公式 ( ( ( ( ) ) ) ) 解析:(1)正确.只需将项数 n 代入即可求得任意项. (2)正确.对于无穷递增数列,是不存在最大项的. (3)正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法. (4) 错 误 . 不 是 所 有 的 数 列 都 有 递 推 公 式 . 例 如 2 精 确 到 1,0.1,0.01,0.001, …的近似值排列成一列数: 1,1.4, 1.41, 1.414, … 就没有递推公式. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2. 符合递推关系式 an= 2an-1 的数列是 A.1,2,3,4,… C. 2,2, 2,2,… ( ) B.1, 2,2,2 2,… D.0, 2,2,2 2,… 解析:选 B B 中从第二项起,后一项是前一项的 2倍, 符合递推公式 an= 2an-1. 3. 数列{an}中, an+1=an+2-an, a1=2, a2=5, 则 a5= A.-3 C.-5 解析:选 D ( ) B.-11 D.19 由 an+1=an+2-an,得 an+2=an+an+1, 则 a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19. 1 1 4.已知数列{an}中,a1=2,an+1=1-a (n≥2),则 a16=________. n 1 1 1 1 解析:a2=1-a =-1,a3=1-a =2,a4=1-a =2, 1 2 3 1 ∴此数列为 3 的周期数列,∴a1=a16=2. 1 答案:2 由递推公式求数列的项 [典例] 的前 5 项. n 数列{an}中,a1=1,a2=3,a2 - a a = ( - 1) ,求{an} + + n 1 n n 2 2 n a - ? - 1 ? + n 1 n [解] 由 a2 - a a = ( - 1) ,得 a = ,又∵a1 n+1 n n+2 n+ 2 an 1 2 a2 32+1 a2 102-1 2-?-1? 3-?-1? =1,a2=3,∴a3= = 1 =10,a4= = 3 a1 a2 3 2 a2 - ? - 1 ? 33 +1 4 = 33 , a5 = = 10 = 109. ∴ 数 列 {an} 的 前 5 项 为 a3 1,3,10,33,109. 由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式 中各部分的关系,依次代入计算即可. (2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项 表示后面的项的形式. (3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项 表示前面的项的形式. 1 ? ?2an,0≤an<2, 已知数列{an}满足 an+1=? ?2an-1,1≤an<1, 2 ? ________. [活学活用] 6 若 a1=7,则 a2 017= 5 3 6 解析: 计算得 a2=2a1-1=7, a3=2a2-1=7, a4=2a3=7.故数列{an} 是以 3 为周期的周期数列,又因为 2 017=672×3+1,所以 a2 6 =a1=7. 6 答案:7 017 由递推公式求通项公式 题点一:累加法求通项公式 1 1.已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ ,n∈N*,求数 n?n+1? 列的通项公式 an. 1 1 1 解: ∵ an + 1 - an = ,∴ a2 - a1 = ; a3 - a2 = ; a4 n?n+1? 1×2 2×3 1 1 -a3= ;…an-an-1= ; 3×4 ?n-1?n 1 1 1 以上各式累加得,an-a1= + +… + 1×2 2×3 ?n-1?n ? 1 ? 1? 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? - = 1-2 + 2-3 +…+?n-1 n?=1-n. ? ? ? ? ? ? 1 1 ∴an+1=1-n,∴an=-n(n≥2). 1 又∵n=1 时,a1=-1,符合上式,∴an=-n. 题点二:累乘法求通项公式 ? 1? 2.设数列{an}中,a1=1,an=?1-n?an-1(n≥2),求数列的通项公 ? ? 式 an. ? 1? an n-1 ? ? 解:∵a1=1,an= 1-n an-1(n≥2),∴ = n , an-1 ? ? an an-1 an-2 a3 a2 an= × × ×…×a ×a ×a1 an-1 an-2 an-3 2 1 n-1 n-2 n-3 2 1 1 = n × × ×…×3×2×1=n. n-1 n-2 1 又∵n=1 时,a1=1,符合上式,∴an=n. 由数列的递推公式求通项公式时, 若递推关系为 an+1=an+f(n) 或 an+1=g(n)· a n,

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