2016海淀区高二数学理科期中统考试卷

2016 海淀区高二数学理科期中统考试卷

海淀区高二年级第二学期期中练习
数 学(理科)

学校

班级

姓名

成绩

2016.4

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的.

1.复数 z ?1? 2i 的虚部是 A. ?2 B. 2 C. ?2i
2.下列导数运算错.误.的是(

D. 2i )

A. (x?2 )' ? ?2x?1 B. (cos x)' ? ?sin x C. (xln x)' ?1? ln x D. (2x )' ? 2x ln 2

3. 函数 f (x) 的图象如图所示,则 f (x) 的极大值点的个数

y

为( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

O

x

4.若函数 f (x) 的导函数 f '(x) ? x(2 ? x)e?x ,则下列关系一定成立的是( )

A. f (2) ? 0

B. f (0) ? f (1)

5. 已知两个命题:

C. f (2) ? f (1)

D. f (2) ? f (3)

p : “若复数 z1, z2 满足 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 .”
q :“存在唯一的一个实数对 (a,b) 使得 a ? bi ? i(2 ? i) .” 其真假情况是( ) A. p 真 q 假 B. p 假 q 假 C. p 假 q 真 D. p 真 q 真 6.若小球自由落体的运动方程为 s(t) ? 1 gt2 ( g 为常数),该小球在 t ?1到 t ? 3 的平均速
2

度为 v ,在 t ? 2 的瞬时速度为 v2 ,则 v 和 v2 关系为( )

A. v ? v2

B. v ? v2

C. v ? v2

D.不能确定

7.如图,过原点斜率为 k 的直线与曲线 y ? ln x 交于两点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) .
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① k 的取值范围是 (0, 1) .
e

② 1 ?k? 1 .

x1

x2

③ 当 x ?(x1, x2 ) 时, f (x) ? kx? ln x先减后增且恒

为负.

以上结论中所有正确结论的序号是(

A.①

B.①②

C.①③

) D.②③

y A x1

8.已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其导函数的图象如图所示,

则函数 f (x) 的图象可能是( )

y

y

y

B x2 x

y

1

O1

x

y

O1

x

O1

x

O1

x

O1

x

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

9.计算 1+2i =_________. i

? 10.

2
(x ? 3)dx ? _____________.

0

11.已知 f (x) ? x ,则 f '(x) ? ______________. x ?1

12. 方程 (x ?1)ex ?1 的解的个数为_______________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2/7

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13.(本小题 12 分)

已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ,其导函数为 f ' (x) 的部分值如下表所示:

x

-3

-2

0

1

3

4

8

f '(x) -24

-10

6

8

0

-10

-90

根据表中数据,回答下列问题:
(Ⅰ)实数 c 的值为___________;当 x ? ________时, f (x) 取得极.大.值.(将答案填写在横
线上).
(Ⅱ)求实数 a , b 的值.
(Ⅲ)若 f (x) 在 (m, m ? 2) 上单调递减,求 m 的取值范围.

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14.(本小题 10 分) 如图,四棱锥 B ? ACDE 的底面 ACDE 满足 DE //AC,AC=2DE.
(Ⅰ)若 DC⊥平面 ABC, AB⊥BC,求证:平面 ABE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求证:在平面 ABE 内不存在直线与 DC 平行; 某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第 (2)问,证明过 程如下,请你在横线上填上合适的内容. (Ⅰ)证明:欲证平面 ABE ? 平面 BCD,
A
只需证_______________________________,
由已知 AB⊥BC,只需证_________________, 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD.
(Ⅱ)证明:假设________________________________________, 又因为 DC ? 平面 ABE ,所以 DC / / 平面 ABE . 又因为平面 ACDE 平面 ABE = AE ,
所以__________________, 又因为 DE //AC,所以 ACDE 是平行四边形,
所以 AC ? DE ,这与_______________________________矛盾, 所以假设错误,原结论正确.

E

D

C B

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2016 海淀区高二数学理科期中统考试卷 15.(本小题 12 分)
已知函数 f (x) ? ln x ? ax ( a ?R ).
(Ⅰ)若函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 2x 平行,求实数 a 的值及该切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x ? (0,??) ,都有 f (x) ? 1 成立,求实数 a 的取值范围.
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16. (本小题 8 分) 请阅读问题 1 的解答过程,然后借鉴问题 1 的解题思路完成问题 2 的解答:
问题 1:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??1 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P :

对任意的 i,

j ?1 ? i ?

j

?

n?



ai

a

j



aj ai

两数中至少有一个属于 A .若数集 ?a1, 2,3, a4? 具

有性质 P ,求 a1, a4 的值.

解:对于集合中最大的数 a4 ,因为 a4 ? a4 ? a4 , 3? a4 ? a4 , 2 ? a4 ? a4 .

所以 a4 , a4 , a4 都属于该集合. a4 3 2

又因为1 ? a1

? 2 ? 3 ? a4

,所以

a4 a4

?

a4 3

?

a4 2

? a4

.

所以 a1

?

a4 a4

?1,

a4 3

? 2, a4 2

? 3 ,故 a1

?1, a4

?6.

问题 2:已知数集 A ? ?a1, a2 , an??0 ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2? 具有性质 P : 对任意的 i, j ?1 ? i ? j ? n? ,ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A .若数集?a1,1,3, a4?

具有性质 P ,求 a1, a4 的值.

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17. (本小题 10 分)

已知函数

f

(x)

?

1 x

(x

?

0)

,对于正数

x1 ,x2

,…,xn

(n∈N+),记 Sn

?

x1

?

x2

?

? xn ,

如图,由点 (0, 0) ,(xi , 0) ,(xi , f (xi )) ,(0, f (xi )) 构成的矩形的周长为 Ci (i ? 1, 2, , n) ,

都满足 Ci ? 4Si (i ? 1, 2, , n) .

y

(Ⅰ)求 x1 ;

f (xi ) (xi , f (xi ))

(Ⅱ)猜想 xn 的表达式(用 n 表示),并用数学归纳法证明.

O xi

x

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