[推荐学习]2018—2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第一课时椭圆的简单

[k12]

第一课时

椭圆的简单几何性质

【选题明细表】 知识点、方法 椭圆的简单几何性质 求椭圆的标准方程 椭圆的离心率 综合问题 【基础巩固】 1.椭圆 6x +y =6 的长轴的端点坐标是( D ) (A)(-1,0),(1,0) (B)(-6,0),(6,0)
2 2

题号 1,2 3,9 4,7,10 5,6,8,11,12,13

(C)(- ,0),( ,0) (D)(0,- ),(0, ) 2 解析:因为椭圆的焦点在 y 轴上,且 a =6, 所以长轴的两个端点坐标为(0,故选 D. ),(0, ).

2.椭圆

+

=1 和

+

=k(k>0)具有( D )

(A)相同的长轴 (C)相同的顶点

(B)相同的焦点 (D)相同的离心率

解析:椭圆

+

=1 和

+

=k(k>0)中,

不妨设 a>b,椭圆

+

=1 的离心率 e1=

,

椭圆 故选 D.

+

=1(k>0)的离心率 e2=

=

.

3.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是(

B )

(A)

+

=1

(B)

+

=1 或

+

=1

(C)

+

=1

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(D)

+

=1 或

+

=1

解析:因为 a=4,e= , 所以 c=3. 2 2 2 所以 b =a -c =16-9=7.

所以椭圆的标准方程是

+

=1 或

+

=1. B )

故选 B. 2 2 4.已知椭圆的方程为 2x +3y =m(m>0),则此椭圆的离心率为(

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:因为 2x +3y =m(m>0)?

2

2

+

=1,

所以 c = - = .

2

所以 e = . 故选 B.

2

5.(2018·衡水周测)若 AB 为过椭圆 最大值为( B ) (A)6 (B)12 (C)24 解析:如图, = (D)48 +

+

=1 中心的线段,F1 为椭圆的焦点,则△F1AB 面积的

=2

.

又因为 OF1=c=3 为定值, 所以点 A 与(0,4)重合时,OF1 边上的高最大,

此时△AOF1 的面积最大为 ×4×3=6.

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所以 故选 B.

的最大值为 12.

6.(2018·昆明质检)椭圆

+

=1 上的点到直线 x+2y-

=0 的最大距离是( D )

(A)3 (B) (C)2 (D) 解析:设与直线 x+2y- =0 平行的直线为 x+2y+m=0 与椭圆联立得,

(-2y-m) +4y -16=0, 2 2 2 即 4y +4my+4y -16+m =0 得

2

2

2y +my-4+

2

=0.

Δ =m -8( 即-m +32=0,
2

2

-4)=0,

所以 m=±4 . 所以两直线间距离最大是当 m=4

时,

dmax= 故选 D.

=

.

7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:

x +y =b 的一条切线 , 若直线 l 的倾斜角为 , 且恰好经过椭圆的右顶点 , 则椭圆离心率 为 .

2

2

2

解析:直线 l 的倾斜角为 ,且过椭圆的右顶点(a,0),

则直线 l:y=tan (x-a), 即 y= (x-a),直线 l 为圆 O:x +y =b 的一条切线,
2 2 2



=b,

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即 b=

a,c=

=

= a,

则 e= = .

答案:

8.(2018·许昌高二月考)若 F1,F2 是椭圆 C: 个数为 .

+

=1 的焦点,则在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的

解析:因为椭圆 C:

+

=1,

所以 c=2. 所以 F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为 B(0,2),A(0,-2), 所以∠F1BF2=∠F1AF2=90°. 又短轴端点与 F1,F2 连线所成的角是椭圆上动点 P 与 F1,F2 连线所成角中的最大角, 所以在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点有 2 个. 答案:2 【能力提升】

9.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、 右焦点为 F1,F2,离心率为 ,则 C 的方程为( A )

,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B

两点.若△AF1B 的周长为 4

(A)

+

=1 (B)

+y =1

2

(C)

+

=1 (D)

+

=1

解析:e= =

, ,

又△AF1B 的周长为 4 所以 4a=4 , 所以 a= , 所以 c=1. 2 2 2 所以 b =a -c =2.

故 C 的方程为 最新 K12

+

=1.

[k12] 故选 A.

10.(2018·上饶质检)已知圆 C1:x +2cx+y =0,圆 C2:x -2cx+y =0,椭圆 C: 焦距为 c,若圆 C1,C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( B )

2

2

2

2

+

=1(a>b>0),半

(A)[ ,1)

(B)(0, )

(C)[

,1)

(D)(0,

]

解析:圆 C1,C2 都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,

所以只需 2c<a,所以 0< < .

即椭圆离心率的取值范围是(0, ). 故选 B.

11.(2017·全国Ⅰ卷)设 A,B 是椭圆 C: AMB=120°,则 m 的取值范围是( A )

+

=1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠

(A)(0,1]∪[9,+∞) (B)(0, ]∪[9,+∞) (C)(0,1]∪[4,+∞) (D)(0, ]∪[4,+∞) 解析:当点 M 为短轴的端点时,∠AMB 最大;0<m<3 时, A(,0),B( ,0),M(0, ).

由题意可知∠AMO≥60°, 所以|OM|≤1. ≤1,所以 0<m≤1. m>3 时,A(0,- ),B(0, ),M(由题意可知∠AMO≥60°, 所以|OA|≥3,||≥3, ,0).

≥3,m≥9.故选 A.

12.设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为

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(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB.

.

(1)解:由题设条件知,点 M 的坐标为( a, b),

又 kOM=

,

从而

=

.

进而得 a=

b,c=

=2b,故 e= =

.

(2)证明:由 N 是线段 AC 的中点知,点 N 的坐标为( ,- ),可得 又 =(-a,b),

=( ,

).

从而有

·
2

=- a + b = (5b -a ).
2

2

2

2

2

由(1)可知 a =5b , 所以 · =0, 【探究创新】

故 MN⊥AB.

13.在直线 l:x-y+9=0 上任取一点 P,过点 P 以椭圆

+

=1 的焦点为焦点作椭圆.

(1)P 点在何处时,所求椭圆的长轴最短? (2)求长轴最短时的椭圆方程. 解:|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是 P 到 F1,F2 两点的距离之和最小,因而问题转化为 在直线 l 上求一点 P,使|PF1|+|PF2|为最小.

(1)如图,连接 PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点 F2 关于直线 l:y=x+9 的对称点 F2′,则 F2′ 最新 K12

[k12] (-9,12),那么 F1F2′与直线 l 的交点即为所求的点 P. 易知 F1F′2 的方程为 2x+y+6=0. 与直线 y=x+9 联立,得 P(-5,4). (2)由(1)知 2a=6 ,a=3 2 2 2 所以 b =a -c =36, ,

此时,椭圆的方程为

+

=1.

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