rongxuan:湖北省部分重点高中2015-2016学年度上学期高一期中联考数学试题

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试卷类型:A
湖北省部分重点高中 2015~2016 学年度上学期

高一期中联考数学试题
考试时间:2015 年 11 月 17 日上午 9:00~ 11:00 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)

1,2,3 ? ,则 A ? (?U B) ? ( ▲ ) 1.已知全集 U ? ?0,1,2,3?, A ? ?0,1,2 ?, B ? ?
A. ?0? B. ?1, 2? C. ?0,3? D. ? y 3 2 1 0 1

2.已知函数 y ? f ( x) 的图象是如下图的曲线 ABC,其中 A(1,3) , B(2,1) ,C(3,2) ,则 f [ f (3)] 的值为( ▲ ) A.0 C.2 B.1 D.3

A C B 2 3 x 第 2 题图

ln( x ? 1) 3.函数 f ( x ) ? 的定义域为 ( ▲ ) x?2
A. (1, 2) B. (1, ? ?) C. (1, 2) ? (2, ? ?)

D.[1, 2) ? (2, ? ?)

4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 ( ▲ ) A. y ? x ? 1 B. y ? ? x3 C. y ? x | x | D. y ?

1 x

5.已知 m=0.9 5 . 1 , n=5.1 0 . 9 , p=log 0 . 9 5.1 , 则这三个数的大小关系是( ▲ ) A . m< p < n B . m< n < p C. p< n< m D . p< m< n 6.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据 如下: f(1)= -2 f(1.375)= -0.260 f(1.5)= 0.625 f(1.4375)= 0.162 f(1.25)= -0.984 f (1. 40625) = -0. 054

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)可以是( ▲ ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 7.已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? logb x 的图象可能是( ▲ ) y y y y
x

1 -1 O A. x

1 O 1 B. x

1 O 1 x

1 O 1 D. x

C.

高一数学期中试题 A

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8.函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 2 x) 的单调递增区间是( ▲ )
2 2

A. (??, 0)

B. (1, ? ?)

C. (2, ? ?)

D. (??, 1)

2 9.用 Min?a, b? 表示 a, b 两个数中的最小值,设 f ( x ) ? Min x ? 2, 4 ? x ,则 f ( x) 的

?

?

最大值为( ▲ ) A.0

B.1

C.3

D.4

10.已知函数 f ( x ) 对任意的 x1 ? x2 且 x1 , x2 ? (?1, 0) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,又函数 x1 ? x2

y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则下列结论正确的是( ▲ )
4 1 1 4 B. f ( ? ) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 3 2 2 3 4 1 1 4 C. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( ? ) D. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( ? ) 3 2 2 3 2 11. x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ? 1) ? loga x 恒成立,则的 a 取值范围是为( ▲ ) 1 A . ( 0, ) B. (0, 1) C. (1, 2) D. (1, 2] 2 kx ?b 12.某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位: ?C )满足函数关系 y ? e ( e ? 2.718? 为自然对数的底数,k、b 为常数).若该食品在 0 ?C 的保鲜时间是 192 小时,在 22 ?C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ?C 的保鲜时间是( ▲ )小时.
A. f ( ? ) ? f ( ? ) ? f ( ?1) A.16 小时 B.24 小时 C.32 小时 D.36 小时 二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;请将正确答案填在答题卡相应位置上) 13.已知幂函数 f ( x) ? (m ? 3m ? 3) x
2

m?1

为偶函数,则 m ?

▲ ▲

14.集合 A ? {x ? Z | 2 ? x ? k} 中恰有 2 个元素,则实数 k 的取值范围为 15.函数 f ? x ? ? x ? 4x ? 5 ? 2 ln x 有
2



个不同的零点.

2 16 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 和 g ( x) ? 2x ? x ? 1 ; 对 任 意 x1 , 总 存 在 x2 使 ? 2 x? a

g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围使 ▲
三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 求下列各式的值: (Ⅰ) ( 2 2 ) 3 ? 4 ? (
4
4

16 ? 1 ) 2 ? 4 2 ? 80.25 ? (?2015)0 49

(Ⅱ) log3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 ? ln1 3
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18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x|x2 ? 4 x ? 0} , B ? {x|x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1=0} (Ⅰ)若 A ? B ? B ,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A ? B ? B 且 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?1, a](a ? ?1) 上的最小值.

20. (本小题满分 12 分) 莫愁湖风景区有 40 辆自行车供游客租赁使用, 管理这些自行车的费用是每日 72 元. 根 据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每 超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金 x (元)只 取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y (元)表 示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得) . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式及其定义域; (Ⅱ)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

高一数学期中试题 A

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) . 2 ?1
x

(Ⅰ)用单调函数的定义探索函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明 理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x ) 的全体:存在非零常数 T ,对任意 x ? R ,有

f (x ?T ) ?Tf (x ) 成立.
(Ⅰ)函数 f ( x) ? x 是否属于 M?说明理由; (Ⅱ)若函数 f ( x ) ? a x (a ? 0 ,a ? 1 ) 的图象与函数 y ? x 的图象有公共点,求证:

f ( x) ? a x ? M ;
? lnx ( Ⅲ ) 设 f ( x) ? M , 且 T ? 2 , 已 知 当 1 ? x ? 2 时 , f ( x)? x ,若

f ( x) ? ?t 2 ? 2at ?
范围

1 对任意 x ? ? ?3, ?2? , a ? ? ?1, 1? 恒成立,求实数 t 的取值 4

高一数学期中试题 A

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高一数学期中考试题参考答案
一、选择题:A 卷: ABCCD

CBACB DB B 卷: BCDBD BACAD BC

二、填空题:13.1 ; 14. 4 ? k ? 5 ; 15.2; 16. a ? ?1 三、解答题:
1 3 7 4 4 17、 【解】 (1)原式 ? (2 ) ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 7 ? 2 ? 1 ? ?6 4 3 4 4 3

……………5 分

(2)原式= log 3

3 ? lg(25 ? 4) ? 2 ? 0 3

3 4

= log 3

3 ? lg 102 ? 2

?

1 4

=?

1 15 ?2?2 ? 4 4

…………10 分

(评分建议:若结果有误,过程中则每算对一个值给 1 分) 18、 【解】 (1)由题 A ? {0, ?4} 且 A ? B , ………………2 分

易知 B ? {0, ?4} ,即方程 x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ?1=0 的根为 0, ?4 , 可得: a ? 1 (2)由题 B ? A , ………………5 分 ………………6 分 ……………9 分

?

① B ? ? 时,由 ? ? 0 得 a ? ?1 ;

② B ? {0} 或 B ? {?4} 时,由 ? ? 0 得 a ? ?1 ,此时 B ? {0} 满足 B ? A 综上, a ? ?1
2

…………12 分

19、 【解】 (1)当 x>0 时,f(x)=﹣x +2x,又 f(x)为奇函数,则 2 2 当 x<0 时, f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x ﹣2x)=x +2x,又 f(0)=0

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 0, x ? 0 故 f ( x) ? ? ? 2 ? x ? 2 x, x ? 0
(2)结合 f(x)的图象,f(﹣1)=﹣1, 由

………6 分

? f (aa)??0?1

得 a ? 1? 2

①当 ?1 ? a ? 1 ? 2 时,函数在 [?1, a] 上的最小值为

f (?1) ? ?1 ;

………9 分

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②当 a ? 1 ? 2 时,函数在 [?1, a] 上的最小值为 f (a) ? ?a2 ? 2a 20、 【解】 (1)当 x ? 6时, y ? 40 x ? 72,由 40 x ? 72 ? 0, 解得x ?1.8

………12 分

? x ? N * ,? x ? 2,?2 ? x ? 6, x ? N * 当x ? 6 时,y ? [40 ? 3( x ? 6)]x ? 72 ? ?3x2 ? 58x ? 72

………2 分 ………4 分

4 由y ? 0, 有3x 2 ? 58 x ? 72 ? 0, 即 ? x ? 18 (x ? N *) …6 分 ?6 ? x ? 17 ( x ? N * ) , 3
故y??

?40 x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N * ) ? 2 * ? ??3x ? 58 x ? 72 (6 ? x ? 17, x ? N )
*

……7 分

(2)对于 y ? 40 x ? 72 (2 ? x ? 6, x ? N ) ,显然当 x ? 6 时, ymax ? 168(元) ;…9 分

对于y ? ?3x 2 ? 58 x ? 72 ? ?3( x ?

29 2 625 ) ? (6 ? x ? 17, x ? N * ) 3 3

当x ? 10 时, ymax ? 208 (元)
元时,才能使一日的净收入最多

? 208 ? 168 ∴当每辆自行车的日租金定在 10
………12 分

21、 【解】 (1)函数定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,设 x1 ? x2 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ) ? ( a ? ) ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 ? x2 ?2x1 ? 2x2 ?2x1 ? 2x2 ? 0
对任意的 x1 , x2 ? (??,0) , 2 1 ? 1, 2 2 ? 1 ,即 2 1 ?1 ? 0, 2 2 ?1 ? 0
x x x x

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,? f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数;
同理 f ( x ) 在 (0, ??) 上也是增函数. (2)若 f ( x ) 是奇函数,则由 f (?1) ? f (1) 可得, a ? ?1 ; 当 a ? ?1 时,任意的 x ? (??,0) ? (0, ??) , ? x ? (??,0) ? (0, ??) , ………6 分

f (? x) ? f ( x) ? (?1 ?

2 2 2 2 ? 2x ) ? ( ? 1 ? ) ? ? 2 ? ( ? ) ? ?2 ? 2 ? 0 2? x ? 1 2x ? 1 2x ?1 1 ? 2x
………12 分

? f (? x) ? ? f ( x) ,? 存在 a ? ?1 使 f ( x) 为奇函数.

22、 【解】 (1)∵函数 f(x)=x,∴对于非零常数 T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx, 若 f ( x) ? x 属于 M, 则存在非零常数 T, 使得 x ? T ? Tx 即 (T ? 1) x ? T ? 0 对任意 x∈R
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恒成立,则须

?T T? 1? ?0 0

,这样的 T 不存在,∴ f ( x) ? x 不属于 M

……3 分

(2)要证 f ( x) ? a x ? M ,∵ f ( x) ? a x , f ( x ? T ) ? a x?T ,若 f ( x ? T ) ? Tf ( x) ,则
T x a x ?T ? Ta x ,即 (a ? T )a ? 0 ;由题须存在非零的常数 T 满足 aT ? T ? 0 ;

∵函数 f ( x) ? a x 的图象与函数 y=x 的图象有公共点,∴方程 a x ? x 有解,不妨设解为

T0 ,显然 T0 ? 0 ,即存在非零常数 T0 满足 aT0 ? T0 ,∴ f ( x) ? a x ? M
(3)先求 f ( x ) 在 x ? ? ?3, ?2? 上的最小值: ∵ f ( x) ? x ? ln x 为单调增函数,∴ 1 ? x ? 2 时, f ( x)Min ? f (1) ? 1 又由题对任意 x ? R 有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? 4) ? 2 f ( x ? 2) ? 4 f ( x)

……6 分

∵ x ? ? ?3, ?2? 时 x ? 4 ?[1, 2] ∴ f ( x ? 4)Min ? 1 ,从而 x ? ? ?3, ?2? 时 f ( x ) Min ? 要使 f ( x) ? ?t ? 2at ?
2

1 ; 4

1 对任意 x ? ? ?3, ?2? , a ? ? ?1, 1? 恒成立,只要 4
……9 分

?t 2 ? 2at ?

1 1 ? ? ?t 2 ? 2at ? 0 ; 4 4
2

设 g (a ) ? ?t ? 2at , 对?a ? ? ?1, 1? , g (a ) ? 0 恒成立, ∴?

? g (?1) ? ?t 2 ? 2t ? 0 ?t 2 ? 2t ? 0 ?t ? 0或t ? ?2 ?? 2 ?? ? t ? 2或t ? ?2或t ? 0 2 ?t ? 2t ? 0 ? t ? 2或t ? 0 ? g (1) ? ?t ? 2t ? 0
1 [ x ? 4 ? ln( x ? 4)] 4
……12 分

法二:也可先求出 x ? ? ?3, ?2? 时 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 再由其单调递增可得 f ( x ) Min ?

1 ,以下解法同上. 4

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