人教版高中数学全套试题8.6

第六节 椭圆 强化训练当堂巩固

1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

答案:B

解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c.

又b2 ? a2 ? c2?

所以 (a ? c)2 ? 4(a2 ? c2 ) .

所以 a

?

5 3

c .所以 e

?

c a

?

3 5

.

2.已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且 BF

?

x 轴,直线

AB交y轴于点P.若 AP ? 2PB ,则椭圆的离心率是( )

A.

3 2

答案:D

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

解析:对于椭圆,∵ AP ? 2PB ,则 OA ? 2OF ,

∴a=2c.∴

e

?

1 2

.

3.已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1(?c? 0) 、F2 (c? 0)? 若椭圆上存在一

点P使

a sin?PF1F2

?

c ? 则该椭圆的离心率的取值范围为 sin?PF2F1

.

答案: ( 2 ?1?1)

解析:因为在△

PF1

F2

中,由正弦定理得

? PF2 ? sin?PF1F2

?

? PF1 ? ? sin?PF2F1

则由已知,得

?

a P1F2

?

?

?

c P1F1

?

?

即a|

PF1

|=c|

PF2

|.

由椭圆的定义知| PF1 |+| PF2 |=2a,



c a

|

PF2 |+|

PF2 |=2a,即|

PF2 |

?

2a2 c?a

?

由椭圆的几何性质知|

PF2 |<a+c,则

2a2 c?a

? a+c,即 c2

?

2c

?

a2

?

0?

所以 e2 ? 2e ?1? 解得 e ? ? 2 ?1或 e ? 2 ?1.

又 e ? (0?1)? 故椭圆的离心率 e ? ( 2 ?1?1) .

4. 椭 圆

x2 9

?

y2 2

?1

的左、右焦点分别为

F1



F2 ?

点P在椭圆上,若|

PF1 |=4, 则

| PF2 |=

; ?F1PF2 的大小为

.

答案:2 120

解析:∵ a2 ? 9? b2 ? 2?

∴ c ? a2 ?b2 ? 9 ? 2 ? 7 .

∴| F1F2 | ? 2 7 .

又| PF1 |=4,| PF1 |+| PF2 |=2a=6,

∴| PF2 |=2.

又由余弦定理,得cos ?F1PF2

?

22

? 42 ? (2 2?2?4

7)2

?

?

1 2

?

∴ ?F1PF2 ? 120 ,故应填2,120 .

5.已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)的离心率 e

?

3 ? 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2

积为4.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).

①若|AB|

?

4

2 5

?

求直线l的倾斜角;

②若点 Q(0? y0 ) 在线段AB的垂直平分线上,且 QA ? QB =4.求 y0 的值.

解:(1)由 e ? c ? a

3 2

?

得 3a2

?

4c2

.再由 c2

?

a2

? b2?

解得a=2b.

由题意可知

1 2

?

2a

?

2b

?

4?

即ab=2.

解方程组

?a ? 2b? ??ab ? 2?

得a=2,b=1.

所以椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 4

(2)①由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为 (x1? y1)? 直线l的斜率为k.
则直线l的方程为y=k(x+2).

于是A,B两点的坐标满足方程组

?? ? ??

y?
x2 4

k ?

(x y2

? 2)? ? 1?

消去y并整理,得

(1? 4k 2 )x2 ?16k 2x ? (16k 2 ? 4) ? 0 .

由 ?2x1

?

16k 1?

2 ?4 4k 2

?



x1

?

2 ? 8k 2 1 ? 4k 2

.从而

y1

?

4k 1? 4k 2

.

所以|AB| ?

(?2 ?

2 1

? ?

8k 4k

2 2

)2

?

( 1

4k ? 4k

2

)

2

?

4 1? k2 1 ? 4k 2

.

由|AB| ?

4

5

2

?



4 1

1 ?

? k2 4k 2

?

42 5

.

整理得 32k 4 ? 9k 2 ? 23 ? 0? 即 (k 2 ?1)(32k 2 ? 23) ? 0? 解得 k ? ?1.

所以直线l的倾斜角为

? 4

或 3? 4

.

②设线段AB的中点为M,由①得M的坐标为

(?

1

8k 2 ? 4k

2

?

1

2k ? 4k

2

)

.

以下分两种情况:

(ⅰ)当k=0时,点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴,

于是 QA ? (?2??y0)? QB ? (2??y0).

由 QA ? QB =4,得 y0 ? ?2 2 .

(ⅱ)当 k

?

0 时,线段AB的垂直平分线方程为

y

?

1

2k ? 4k

2

?

?

1 k

(

x

?

1

8k 2 ? 4k

2

)

令x=0,解得

y0

?

?

1

6k ? 4k

2

.

由 QA ? (?2??y0)? QB ? (x1? y1 ? y0 )?

QA ? QB ? ?2x1 ? y0 ( y1 ? y0 )

?

?2(2 ? 8k 2 ) 1 ? 4k 2

?

6k 1 ? 4k 2

( 1

4k ? 4k

2

?

6k 1 ? 4k 2

)

?

4(16k 4 ? 15k 2 (1 ? 4k 2 )2

? 1)

?

4?

整理得 7k 2 ? 2 .故 k ? ? 14 ? 7

所以

y0

?

?

2

14 5

.

综上 ? y0 ? ?2

2



y0

?

?

2

14 5

.

课后作业巩固提升

见课后作业A

题组一 椭圆的离心率问题

1.椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满

足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )

A. (0?

2 2

]

B.

(0?

1 2

]

C.[ 2 ?1?1)

D.[

1 2

? 1)

答案:D

解析:|AF| ? a2 ? c ? b2 ? 而|PF| ? a ? c?

c

c

所以 a ? c ? b2 ? c



2e2

?

e

?1

?

0?

解得

1 2

?

e

?

1.

2.已知 F1? F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△

ABF2 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )

A.

3 2

B.

2 2

C. 2 ?1
答案:C

D. 2

解析:根据题意: ?AF2F1 ? 45

? b2 ? 2c?e2 ? 2e ? 1=0,又 e ? (0?1)? ∴ e ? a

2 ?1.

3.设椭圆

x2 m2

?

y2 n2

? 1(m ? 0? n>0)的右焦点与抛物线

y2

?

8x

的焦点相同,离心率为

1 2

?

则此

椭圆的方程为

)

A. x2 ? y2 ? 1 12 16

B. x2 ? y2 ? 1 16 12

C. x2 ? y2 ? 1 48 64
答案:B

D. x2 ? y2 ? 1 64 48

解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由 e

?

1 2

?

可得m=4,∴

n2

?

m2

? c2

? 12

.故选B.

题组二 椭圆的定义

4.设P是椭圆

x2 25

?

y2 16

? 1上的点.若

F1?

F2

是椭圆的两个焦点,则|

PF1 |+|

PF2 |等于(

)

A.4

B.5

C.8

D.10

答案:D

解析:因为a=5,所以| PF1 |+| PF2 |=2a=10.

5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆 x2 ? y2 ? 1的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为 4

1 3

的点P的个数为(

)

A.1 答案:D

B.2 C.3 D.4

解析:联立方程组

?2x ? y ? 2 ? 0?

?

? ??

x2 ? y2 ? 1? 4

消去y整理解得:

?x

? ?

y

? ?

0? 2



? x ? 1?

? ?

y

?

0?

|AB| ?

5?

结合图象知P的个数为4. 题组三 椭圆的综合应用

6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 3 ? 且G上一点到G的两个焦点的距 2

离之和为12,则椭圆G的方程为

.

答案: x2 ? y2 ? 1 36 9

解析: e ? 3 ? 2a ? 12? a ? 6,b=3,则所求椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1.

2

36 9

7.已知 F1 、 F2 是椭圆C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

? 0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且 PF1

?

PF2

.

若△ PF1F2 的面积为9,则b=

.

答案:3

解析:依题意,有

? ? ?

? PF1 ? ? ? PF2 ?? 2a? ? PF1 ? ? ? PF2 ?? 18?

可得 4c2 ? 36 ? 4a2? 即 a2 ? c2 ? 9? ∴b=3.

??? PF1 ?2 ? ? PF2 ?2 ? 4c2?

8.在平面直角坐标系xOy中 ? A1? A2? B1? B2 为椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)的四个顶点,F为其右

焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆

的离心率为

.

答案: 2 7 ? 5

解析:直线

A1B2

的方程为:

x ?a

?

y b

?1;

直线

B1F

的方程为:

x c

?

y ?b

?

1

;二者联立解得点

T

(

2ac a?c

?

b(a ? c) a?c

)?

则OT中点

M

(

ac a?c

?

b(a 2(a

? ?

c) c)

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)上,

(a

c2 ? c)2

?

(a ? c)2 4(a ? c)2

? 1? c2

? 10ac

? 3a2

?

0?

e3

? 10e-3=0,

解得 e ? 2 7 ? 5 .

9. 已 知 椭 圆 C:

x2 2

? y2 ?1 的 两 焦 点 为

F1? F2?



P(x0? y0 )

满足

0?

x02 2

? y02 ? 1?



|

PF1

|+|

PF2

|的取值范围为,直线

x0 x 2

?

y0 y ? 1与椭圆C的公共点个数为

.

答案:[2? 2 2) 0

解析:延长 PF1 交椭圆C于点M,故| F1F2 | ? | PF1 |+| PF2 |<| MF1 |+| MF2 |=2a,

即 2 ? | PF1 |+| PF2 | ? 2 2 ;



y0

?

0

时?0

?

x02

?

2?

直线

x0 x 2

?

y0 y

? 1为x=

2 x0

? (??? ?

2) ?(

2???) 与椭圆C无交





y0

?

0 时,直线

x0 x 2

?

y0 y

?1为

y

?

1?

x0 x 2

y0

? 代入

x2 2

?

y2

? 1中有

( x02 2

?

y02 )x2

?

2 x0 x

?

2?

2 y02

?

0

∵?

?

4x02

?

4( x02 2

?

y02 )(2

?

2 y02 )

?

8( x02 2

?

y02

? 1)

?

0?

∴直线与椭圆无交点.

10. 已 知 F 是 椭 圆 C 的 一 个 焦 点 ,B 是 短 轴 的 一 个 端 点 , 线 段 BF 的 延 长 线 交 C 于 点 D, 且

BF ? 2FD? 则椭圆C的离心率为

.

答案:

3 3

解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,

设D(x,y).由 BF ? 2FD? 得(c,-b)=2(x-



?c ? 2(x ? c)?

? ?

?b ? 2y?

解得

? ? ? ? ?

x y

? ?

3c 2

?

?

b 2

?

D(

3c 2

?

?

b 2

)

.



BF

?

2FD?

可得|

FD |

?

1 2

|

BF

|

?

a? 2



又由椭圆第二定义知,| FD | ? (a2 ? 3c) ? e ? (a2 ? 3c) ? c . ②

c2

c 2a

由①②解得

a2

?

3c 2 ?



e2

?

1 3

?



e

?

3 3

.

11.如图,椭圆C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1的顶点为

A1? A2? B1? B2? 焦点为 F1? F2? |

A1B1 | ?

? 2S . B1F1B2 F2

7 ? S B1 A1B2 A2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,| OP |=1.是否存 在上述直线l使 OA ? OB ? 0 成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 解:(1)由| A1B1 | ? 7 知 a2 ? b2 ? 7? ① 由 S B1A1B2 A2 ? 2S B1F1B2 F2 知a=2c, ② 又b2 ? a2 ? c2? ③ 由①②③,解得 a2 ? 4? b2 ? 3? 故椭圆C的方程为 x2 ? y2 ? 1 .
43 (2)设A,B两点的坐标分别为 (x1? y1)? (x2? y2 )? 假设使 OA ? OB ? 0 成立的直线l存在,
①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=
由l与n垂直相交于P点且| OP |=1得 ? m ? ? 1? 即 m2 ? k 2 ?1 . 1? k2

由 OA ? OB ? 0 得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
将y=kx+m代入椭圆方程,得
(3 ? 4k 2 )x2 ? 8kmx ? (4m2 ?12) ? 0?

由求根公式可得

x1

?

x2

?

?8km 3 ? 4k2

?



x1x2

?

4m2 ?12 3 ? 4k 2

.



0 ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1? k 2 )x1x2 ? km(x1 ? x2 ) ? m2?
将④⑤代入上式并化简得

(1? k 2 )(4m2 ?12) ? 8k 2m2 ? m2 (3 ? 4k 2 ) ? 0 . ⑥

将 m2 ? 1? k 2 代入⑥并化简得 ?5(k 2 ?1) ? 0? 矛盾

即此时直线l不存在.

②当l垂直于x轴时,满足| OP |=1的直线l的方程为x=1或x=-1,

则A,B两点的坐标为

(1?

3 2

)?

(1?

?

3 2

)

或(-1

?

3 2

)?

(?1?

?

3 2

)?

当x=1时 ?OA

? OB

?

(1?

3 2

)

?

(1? ?

32 )

?

?

5 4

?

0

当x=-1时 ?OA ? OB

?

(?1?

3 2

)

?

(?1?

?

3 2

)

?

?

5 4

?

0?

∴此时直线l也不存在.

综上可知,使 OA?OB ? 0 成立的直线l不存在

12.如图,已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)过点 (1?

2 )? 离心率为 2

2 ?左 2

、右焦点分别为F 1



F 2 .点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为A

? B和 C?

D? O为坐标原点?
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线 PF1 ,PF 2 的斜率分别为 k1 ,k 2 . (ⅰ)证明: 1 ? 3 ? 2 .
k1 k2 (ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA ?OB?OC?OD的斜率 k OA ,k OB ,k OC ,k OD 满 足
kOA + kOB +kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由.

解:(1)因为椭圆过点 (1?

2 2

)?

e

?

2 2

?

所以 1 a2

?

1 2b2

?

1?

c a

?

2 2

.

又 a2 ? b2 ? c2?

所以 a ? 2? b ? 1? c ? 1.

故所求椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 2

(2)(ⅰ)证明:方法一:由于 F1(?1? 0) ,F 2 (1? 0)? PF1,PF 2 的斜率分别为 k1 ,k 2? 且点P不在x轴上,

所以 k1 ? k2? k1 ? 0? k2 ? 0 .

又直线 PF1? PF2 的方程分别为 y ? k1(x ?1)? y ? k2 (x ?1)?

联立方程解得

? ?? ? ? ??

x y

? ?

k1 ? k2 k2 ? k1
2k1k2 k2 ? k1

? ?

所以

P(

k1 k2

? ?

k2 k1

?

2k1k2 k2 ? k1

)

.

由于点P在直线x+y=2上,

所以 k1 ? k2 ? 2k1k2 k2 ? k1

? 2.

因此 2k1k2 ? 3k1 ? k2 ? 0?

即 1 ? 3 ? 2? 结论成立. k1 k2

方法二:设 P(x0?

y0 )?

则 k1

?

y0 x0 ?

1

?

k2

?

y0 x0 ?

1

.

因为点P不在x轴上,所以 y ? 0 .

又 x0 ? y0 ? 2?

所以

1 k1

?

3 k2

?

x0 ? 1 ? y0

3(x0 ?1) y0

?

4 ? 2x0 y0

?

2 y0 y0

?

2

.

因此结论成立.

(ⅱ)设 A(xA? yA )? B(xB? yB )?C(xC ? yC )? D(xD ? yD )

联立直线 PF1 与椭圆的方程得

?? y ? k1(x ? 1)?

? ??

x2 2

?

y2

? 1?

化简得 (2k12 ?1)x2 ? 4k12 x ? 2k12 ? 2 ? 0?

因此

xA

?

xB

?

?

4k12 2k12 ?

? 1

xA

xB

?

2k12 2k12

?2? ?1

由于OA,OB的斜率存在,

所以 xA ? 0? xB ? 0? 因此 k12 ? 0?1 .

因此 kOA

? kOB

?

yA xA

?

yB xB

?

k1(xA ? 1) xA

?

k1(xB ? 1) xB

? 2k1 ? k1

xA ? xB xA xB

? k1(2 ?

4k12 2k12 ?

2

)

?

?

2k1 k12 ?

1

.

相似地,可以得到 xC ? 0? xD ? 0? k22 ? 0?1?

kOC

?

kOD

?

?

2k2 k22 ?

1

?

故 kOA

?

kOB

?

kOC

?

kOD

?

?2(

k1 k12 ?

1

?

k2 k22 ?

) 1

?

?2

k1k22 ? (k12

k1 ? k12k2 ?1)(k22 ?

? 1)

k2

?

?

2(k1k2 ?1)(k1 ? k2 (k12 ? 1)(k22 ? 1)

)

.

若 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0? 须有 k1 ? k2 ? 0 或 k1k2 ? 1.

①当 k1 ? k2 ? 0 时,结合(ⅰ)的结论,可得 k2 ? ?2 ,所以解得点P的坐标为(0,2);

②当 k1k2 ? 1时,结合(ⅰ)的结论,解得 k2 ? 3 或 k2 ? ?1( 此时 k1 ? ?1? 不满足 k1 ? k2? 舍去),

此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得

x

?

5 4

?

y

?

3 4

.

因此

P(

5 4

?

3 4

)

.

综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0

?

2)?

(

5 4

?

43)


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