巴蜀中学高2016届15-16学年(上)10月月考——数学理

重庆市巴蜀中学高 2016 级高三(上)期第二次月考

理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求) 1.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A .1 2. 若 B. ? ) D. ?2

1 3
)

C. ?

2 3

1 1 < <0 ,则下列结论不正确的是( a b
B. ab ? b 2

A. a 2 ? b 2

C. a+b ? 0

D. a + b ? a ? b

[来

3.设集合 A={x| A. [?2, 2]

x2 y 2 + ? 1 },B={y|y=x2},则 A∩B=( 4 3
B. [0, 2] C. [0, ??)

) D. {(?2, 4),(2, 4)} )

4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(

A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无理数;结论:π 是无限不循环小数 B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:π 是无限不循环小数;结论:π 是无理数 C.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:π 是无理数 D.大前提:π 是无限不循环小数;小前提:π 是无理数;结论:无限不循环小数是无理数

?y ? x ? 5.已知 x、y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是( ?x ? a ?
A.

)

6.若 p : a ? R ,且 a ? 1 ; q : 关于 x 的一元二次方程: x ? ?a ? 1?x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零,
2

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D.4

另一个根小于零,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分条件也不必要条件

7.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a ,若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 (??, ?2] ? [4, ??) ,则 a 的值为 ( ) B.﹣7 或 5 C.3 D.3 或 5

A.﹣7 或 3

8.在极坐标系中,设曲线 C1:? ? 2sin ? 与 C2:? ? 2cos ? 的交点分别为 A,B,则线段 AB 的垂

1

直平分线的极坐标方程为( A. ? ?

) B. ? ?

1 sin ? ? cos ?

1 sin ? ? cos ?

?? C.

?
4

( ? ? R)

?? D.

3? ( ? ? R) 4

9.已知 F1 ,F2 为椭圆 C: 最小值分别为( A. 9, 7 )

???? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 E 是椭圆 C 上的动点,EF1 ? EF2 的最大值、 9 8

B. 8, 7

C. 9,8

D. 17,8 ) D.16

10.若正数 a,b 满足 a ? b ? 2 ,则 A .1 11. 函数 f ( x) ? ? A .1 B.

1 4 ? 的最小值是( a +1 b +1
C.9

9 4

?log2 x,
2

x?0

? x ? 4 x ? 1, x ? 0 17 ? 5 B. 16

, 若实数 a 满足 f ( f (a)) =1, 则实数 a 的所有取值的和为( C. ?
x ? y ?2

)

15 ? 5 16

D. ?2 )

12.若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 ax ? e A.

? e x? y ?2 ? 2 恒成立,则实数 a 的最大值是(
D.2

1 4

B.

1 2

C.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 13.写出命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 0 ”的否定 . .

14.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [?2, 2] ,则 f ( x) 的值域为

15.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有 圆中,半径最大的圆的标准方程为 16. 过双曲线 .

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线, 切点为 E, 2 a b
??? ? ? ??? ? 1 ??? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率 2

2 延长 FE 交抛物线 y ? 4cx 于点 P,O 为坐标原点,若 OE ?



.

2

第Ⅱ卷
三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18—22 题每题 12 分,共计 70 分) 17 . 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 是 ?

? x ? cos ? ?? 为参数? , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? y ? m ? sin ?

? 5 t ?x ? 1? ? 5 ? t为参数 ? , ? ?y ? 4? 2 5 t ? 5 ?
(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,且 PQ ?

4 5 ,求实数 m 的值。 5

18.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? 1, g ? x ? ? x ? 2x ?
2

1 . 2

(1)解不等式 f ( x) ? 3 ? x ; (2)若对 ?x ? R ,

1 f ( x)+ x +1 ? g ? m ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

19.已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ,其中 a ? R . (1)当 a ? 4 时,求 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上的最大值; (2)若 f ( x ) 在 ?1, +? ? 上存在单调递减区间,求 a 的取值范围。

20.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标为 k ,当

k ? 85 时,产品为一级品;当 75 ? k ? 85 时,产品为二级品;当 70 ? k ? 75 时,产品为三级品。
现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做实验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产 品的质量指标值,得到下面试验结果: (以下均视频率为概率) A 配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [75,80) 10 [80,85) 30 [85,90) 40 [90,95) 20 指标值 分组 频数 [75,80) 5 B 配方的频数分布表 [80,85) 10 [85,90) 15 [90,95) 40 [75,80) 30

(1)若从 B 配方产品中有放回地 随机抽取 3 件,记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级品”为事件 C , .... 求事件 C 的概率 P (C ) ;
3

(2) 若 两 种 新 产 品 的 利 润 率 y 与 质 量 指 标 值 k 满 足 如 下 关 系 :

? t, k ? 85 1 1? ? ? y ? ?5t 2 , 75 ? k ? 85 ? 其中 ? t ? ? ,从长期来看,投资哪种配方的产品平均利润率较大? 7 6? ?t 2 , 70 ? k ? 75 ? ?

21.如图,已知抛物线 C:x ? 2 py ? p ? 0? ,其焦点 F 到准线的距离为 2 ,点 A 、点 B 是抛物线
2

C 上的定点,它们到焦点 F 的距离均为 2 ,且点 A 位于第一象限. (1)求抛物线 C 的方程及点 A 、点 B 的坐标;
(2)若点 Q ? x0 , y0 ? 是抛物线 C 异于 A 、 B 的一动点,分别以点 A 、 B 、 Q 为切点作抛物线 C 的三 条切线 l1、l2、l3 ,若 l1与l2 、 l1与l3 、 l2与l3 分别相交于 D、E、H,设 ?ABQ, ?DEH 的面积依次 为 S?ABQ ,S?DEH ,记 ? =

S?ABQ S?DEH

,问: ? 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。

22.已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? (a ? 1) x ? ln x, a ? R . 2

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)证明:当 x ? ? 0,1? 时, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ; (3)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,比较 f ? ?

? x1 +x2 ? ? 与 0 的大小,并证明你的结论。 ? 2 ?

4

重庆市巴蜀中学高 2016 级高三(上)期第二次月考

理科数学参考答案
DDBBBA CABBCD 13. ?x ? R, x2 ? x ? 0 14. [ ?6,

25 ] 4
2 2
[

15. ( x ? 1) ? y ? 2.

16.

1? 5 2
2 2

17. 【答案】(1)C: x ? ( y ? m) ? 1;l: y ? 2 x ? 2 ; (2)m=1 或 3 18. 【答案】(1) 2x ? 2 ? 2 ? x ? 2x ? 2 ? 2 ? x或2x ? 2 ? x ? 2 ? x ? (??, 0) ? ( , ??)

4 3

(2) ?x ? R , ∴-3<m<1

1 f ? x ? + x +1 ? g ? m ? ? x ? 1 ? x +1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? 2 ? m 2 ? 2m ? 1 2

19. 【答案】(1) f ? x ? ? x ? 4x ? 3x , f ' ? x ? ? 3x ? 8x ? 3=(3x ?1)( x ? 3)
3 2

2

∴ f ( x) 在 ( ?1, ? ) 上单调递增,在 ( ? ,1) 上单调递减,∴ f ( x ) max =f ( ? ) ? (2) f ' ? x ? ? 3x ? 2ax ? 3
2

1 3

1 3

1 3

14 , 27

∵ f ? x ? 在 ?1, +? ? 上存在单调递减区间 ∴① f '(1) ? 0 ? a ? 0

②?

? f '(1) ? 0 ? 无解 a x ? ? 1 0 ? 3 ?

综上: a ? 0 20. 【答案】(1)P(抽中二级品)= (3)A 的分布列为:

1 3 3 3 37 ,P(没抽中二级品)= , P (C ) ? 1 ? ( ) ? ; 4 4 4 64

5

y P

t 0.6

5t2 0.4

∴E(A)=0.6t+2t2 B 的分布列为: y P t 0.7 5t2 0.25 t2 0.05

∴E(B)=0.7t+1.3t2 ∵

1 1 ?t ? 7 6

∴ E ? A? ? E ? B ? ?

7 ? 1? t ?t ? ? ? 0 10 ? 7 ?

∴E(A)较大,投资 A. 21. 【答案】(1) C:x2 ? 4 y ;A(2,1);B(-2,1); (2) y =

1 2 1 x ,∴ y ' = x 4 2

1 1 x0 x ? x0 2 2 4 x ? 2 x0 x ? 2 x0 , ) , H( 0 ,? ) ∴ D(0,-1), E ( 0 2 2 2 2
∴ l1: y ? x ? 1 ;l2: y ? ? x ? 1 ;l3: y ? ∴ EH ?

4 ? x0 2 ;
1?

d D ?l3

1 2 x0 4 ? x0 2 4 ? = 1 2 2 4 ? x0 2 1 ? x0 4

∴ S?ABQ =

4 ? x02 1 ? AB ? dQ? AB ? 2 2

4 ? x02 1 S?DEH = ? EH ? d D?l3 ? 2 4
∴ ?=

S?ABQ S?DEH

=2

22. 【答案】解: (1) f '( x) ?

?(ax ? 1)( x ? 1) , ( x ? 0) x

6

① a ? 0 时,f(x)在(0,1)上递增,在 (1, ??) 上递减; ② a ? 0 时,f’(x)=0 的两根为 ? A. ?

1 ,1 a

1 =1 ,即 a ? ?1 时,f(x)在 (0, ??) 上递增; a 1 1 1 1) 上递减, (1, ??) 上递增; B. ? <1 ,即 a ? ?1 时,f(x)在 (0, ? ) 上递增, ( ? , a a a 1 1 1 ? ln(? ) ? 0 ,故此时 f(x)在 (0, ??) 上有且只有一个零点. 且 f ( ? ) ? ?1 ? a 2a a 1 1 1 ? ) 上递减, (? , ??) 上递增; C. ? >1 ,即 ?1 ? a ? 0 时,f(x)在 (0,1) 上递增, (1, a a a a 且 f (1) ? ? 1 ? 0 ,故此时 f(x)在 (0, ??) 上有且只有一个零点. 2 1 1 1) 上递减, (1, ??) 上递增; 综上所述: a ? ?1 时,f(x)在 (0, ? ) 上递增, ( ? , a a

a ? ?1 时,f(x)在 (0, ??) 上递增;
1 1 ?1 ? a ? 0 时,f(x)在 (0,1) 上递增, (1, ? ) 上递减, (? , ??) 上递增; a a a ? 0 时,f(x)在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减;
(2) f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ?

1 2 ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 0 设 g ( x) ? 2 x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x), x ? (0,1)
∴ g '( x) ? 2 ?

? ? a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? a(1 ? x) 2 ? (a ? 1)(1 ? x) ? ln(1 ? x)

1 2

?1 1 ?2 x 2 ? ? ?0 1 ? x 1 ? x (1 ? x)(1 ? x) ∴ g ( x) 在 x ? (0,1) 上单调递减 ∴ g ( x) ? g(0) ? 0 得证.
?a ? 0 ? (3)由(1)知,函数 f ? x ? 要有两个零点 x1 , x2 ,则 ? a f (1) ? ? 1 ? 0 ? ? 2 ∴a ? 2 不妨设 0 ? x1 ? 1 ? x2
∴由(2)得 f (2 ? x2 ) ? f (1 ? 1 ? x2 ) ? f ( x2 )=0 ∴ 2 ? x2 ? x1 ∴

x1 +x2 ?1 2

7

∴ f ??

? x1 +x2 ? ??0 ? 2 ?

8


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