【2019年整理】第三章 幂级数展开

第3章

幂级数展开

本章内容提要
? ? ? ?
?

1 幂级数 2 泰勒级数 3 洛朗级数 4 孤立奇异点分类
5 小结

幂级数

? a (z ? z )
k ?0 k 0

?

k

? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 ) ? ? ak ( z ? z0 ) ?
k

2

其中 a0 , a1 , a2 ,?, ak ,? 都是复常数, 则此级数称 为以 z0 为中心的幂级数。

一 幂级数的收敛范围
1. 收敛半径:

y
CR

ak R ? lim k ?? a k ?1



R ? lim

1 ak

R z0 x

k ?? k

图3.1

2. 收敛圆:以 z0 为圆心, R 为半径的圆 C R 。在收敛圆内 部 z ? z0 ? R , 幂级数收敛; 在收敛圆外部 z ? z0 ? R , 幂级数发散。

【说明】
由幂级数可得一个正项级数,
k a ( z ? z ) ? a0 ? a1 z ? z 0 ? a2 z ? z 0 ? ? ? a k z ? z 0 ? ? ? k 0 2 k k ?0 ?

① 用达朗伯判别法: 如果 lim
k ??

a k ?1 z ? z 0 ak z ? z 0
a k ?1 z ? z 0 ak z ? z 0

k ?1 k

ak ,则 ? 1 ,即 z ? z 0 ? lim k ?? a k ?1

幂级数收敛,且绝对收敛。
k ?1 k

如果 lim
k ??

ak 即 z ? z 0 ? lim ? 1, ? R, k ?? a k ?1

则幂级数发散。

②用根值判别法: 如果 lim
k ?? k

ak z ? z 0

k

即 z ? z 0 ? lim ? 1,

1 ak

k ?? k

? R,

则幂级数收敛,且绝对收敛。
如果 lim
k ?? k

ak z ? z 0

k

? 1 ,即 z ? z 0 ? lim

1 ak

k ?? k

? R,

则幂级数发散。

1 k 例 1. 求幂级数 ? z 的收敛半径。 k ?0 k!

?

R ? lim
?

1 k! 1 k ?? ( k ?1)!

(k ? 1)! ? lim ? lim(k ? 1) ? ? k ?? k ?? k!

zk ? ? 在整个复平面上都收敛。 k ?0 k!

(?1) k 2 k ?1 z 的收敛半径。 例 2. 求幂级数 ? k ?0 ( 2k ? 1)!
?

R ? lim
k ??

( ?1) k ( 2 k ?1)! ( ?1) ( 2 k ? 3)!
k ?1

? lim (2k ? 3)(2k ? 2) ? ?
k ??

(?1) k 2k ?1 ?? z 在整个复平面上收敛。 k ?0 (2k ? 1)!
?

二 幂级数的性质
1.
k a ( z ? z ) 在收敛圆内部可以逐项求导、求积分。 ? k 0 k ?0 ?
k a ( z ? z ) ,则有 ? k 0 k ?0 ?

若记幂级数的收敛函数为: w( z ) ?
? ?

w?( z ) ? ? a k k ( z ? z 0 ) k ?1 ? ? (k ? 1)a k ?1 ( z ? z 0 ) k
k ?1 k ?0

?

l

w( z )dz ? ? a k ? ( z ? z 0 ) k d z
k ?0 l

?

? ( z ? z 0 ) k ?1 ak ?1 k w ( z ) dz ? a ? ( z ? z ) ? ? k 0 ? z0 k ? 1 k k ?0 k ?1 z ?

2.

k a ( z ? z ) 在收敛圆内一致收敛,且为解析函数。 ? k 0 k ?0

?

记幂级数的收敛函数为 w( z ) ,则有:

w(? ) ? ? ak (? ? z 0 ) k ,对收敛圆内的点 z ,一定存在
k ?0

?

R1 ? R ,使得 z ? z0 ? R1 。
1 2? i
? w(? ) 1 ak ? CR1 ? ? z d? ? ? 2? i k ?0 ?

(? ? z0 )k ? CR1 ? ? z d?

? ? ak ( z ? z0 ) k ? w( z )
? w( z ) 为解析函数。
k ?0

1 k 例 1. 求幂级数 ? z 的收敛半径。 k ?0 k!
R ? lim
?

?

1 k! 1 k ?? ( k ?1)!

(k ? 1)! ? lim ? lim(k ? 1) ? ? k ?? k ?? k!

zk ? ? 在整个复平面上都收敛。 k ?0 k!

一 泰勒级数定理
设复变函数 f ( z ) 在 z0 的邻域上解析,以 z0 为圆心,以

z0 跟最邻近的奇点之间的距离 R 为半径作圆 C R ,则在圆的
内部,即 z ? z0 ? R ,可把 f ( z ) 展开为幂级数,

1 (k ) f ( z ) ? ? f ( z 0 )(z ? z 0 ) k k ? 0 k!
称该幂级数为泰勒级数。

?

一 泰勒级数定理
定理的另一种表示:设 f ( z ) 在以 z0 为圆心、以 R 为半径的圆 C R 内解析,则 对圆内的任意点 z , f ( z ) 可展为幂级数,
z z0 CR1 ζ CR

f ( z) ? ? ak ( z ? z 0 )
k ?0

?

k

1 (k ) 1 f (? ) 其中 ak ? C R1 d? ? f ( z 0 ) , k ?1 ? C k! 2?i R1 ?? ? z 0 ? 为圆 C R 内包含 z 且与 C R 同心的圆,如图所示。

一 泰勒级数定理
证明:对于 C R 内的点 z ,总可以找到 R1 ? R ,使得

z ? z0 ? R1 ,而在 C R1 所围的闭区域上 f ( z ) 是解析的。 1 f (? ) ? f ( z) ? d? ? 2?i CR1 ? ? z
1 1 1 ? ? ? ? ? z (? ? z 0 ) ? ( z ? z 0 ) (? ? z 0 ) 1 z ? z0 1? ? ? z0

z ? z0 ?1 ? z 在 C R1 内部, ? 在 C R1 上,? ? ? z0

1 1 ? ? ? ? z ? ? z0

? z ? z0 ? ? ? k ?0 ? ? ? z 0
?
?

? ? z ? z0 ? ? ? ? ? ?? ? z ?k ?1 k ?0 ? 0
k ? k
k

1 f ( z) ? 2? i
?

?

CR 1

z ? z0 ? ? f (? )? d? k ?1 k ? 0 ? ? ? z0 ?
k

? ? ? z ? z0 ?
k ?0
?

1 2? i

? ?? ? z ?
CR 1 0
CR1

f (? )d?
k ?1

??
k ?0 ?

? z ? z0 ?
k!

k

k! ? 2? i

? ?? ? z ?
0

f (? )d?
k ?1

1 (k ) k ? ? f ( z0 ) ? z ? z 0 ? k ?0 k !

二、泰勒级数的性质
1. 在指定区域内给定解析函数的泰勒级数
是唯一的。 2. 泰勒级数的收敛半径等于与的最邻近的 奇点的距离。

z 例 1. e ? ? ,在全平面上解析。 k ?0 k!
z

?

k

解:

f ( z) ? e ,
z

f (0) ? 1
f ?(0) ? 1 ;
……;

f ?( z) ? e z ,

f ( k ) ( z) ? e z ,
? e ??
z k ?0 ?

f ( k ) (0) ? 1
? k

f

(k )

(0) k z z ?? k! k ?0 k!

例 2. 将 f ( z ) ? sin z ,展开为泰勒级数。
解:

f (0) ? 0 ,
f ?( z ) ? cos z ? sin( z ?

?
2

),

f ??( z) ? ? sin z ? sin(z ? ? ) ,
3? f ???( z ) ? ? cos z ? sin( z ? ) , 2
……

f

(n)

n? ( z ) ? sin( z ? ) 2

f

(n)

n? ?0 (0) ? sin ?? 2 ?(?1) k
?

n ? 2k n ? 2k ? 1

(?1) k 2 k ?1 1 3 1 5 1 7 f ( z ) ? sin z ? ? z ? z ? z ? z ? z ?? 3! 5! 7! k ?0 (2k ? 1)! (?1) k 2 k z 同理有: cos z ? ? k ?0 ( 2k )!
?

例 3. 在 z 0 ? 1 的邻域上把 f ( z ) ? ln z 展开为泰勒级数。
解: f ( z ) ? ln z 的奇点为 z ? 0 ,所以其泰勒级数的收 敛圆为 z ? 1 ? 1 ,收敛半径为 R ? 1

f (1) ? ln1 ? 2n?i
f ?( z ) ? 1 1 ? ? , f ?(1) ? 1 , f ( z ) ? ? 2 , z z

f ??(1) ? ?1
……

f

(k )

( z ) ? (?1)

k ?1

1 (k ? 1)! k , z

f

(k )

(1) ? (?1)

k ?1

(k ? 1)!
?

(?1)k ?1 (k ? 1)! f ( z ) ? ln z ? 2n? i ? ? ( z ? 1) k k! k ?1 (?1) ? 2n? i ? ? k k ?1
? k ?1

( z ? 1) k

例 4. 求 (1 ? z) 在 z 0 ? 0 的邻域内的泰勒级数。

?2

解:

1 d 1 d k ? ? ?z 2 (1 ? z ) dz 1 ? z dz k ?0 ? ?k z
k ?1 ? k ?1

?

? ? (k ? 1) z
k ?0

?

k

洛朗级数
sin z 例 1. 在 z 0 ? 0 的邻域上把 展开为级数。 z
1 3 1 5 1 7 解: ? sin z ? z ? z ? z ? z ? ? 3! 5! 7! sin z 1 2 1 4 1 6 ? ? 1 ? z ? z ? z ? ? , (0 ? z ? ?) z 3! 5! 7! ? sin z z?0 ? 如果定义: f ( z ) ? ? z ? z ?1 ? 1 则: f ( z ) 在整个复平面上解析,其泰勒级数为: 1 2 1 4 1 6 f ( z) ? 1 ? z ? z ? z ? ? 3! 5! 7!

1 例 2. 在 z 0 ? 1 的邻域上把函数 f ( z ) ? ( z ? 1)(z ? 2)
展开为级数。

1 1 1 ?? ? 解: f ( z ) ? z ?1 z ? 2 ( z ? 1)(z ? 2) 1 1 ?? ? z ? 1 1 ? ( z ? 1) 当 0 ? z ? 1 ? 1 时,
? ? 1 k k f ( z) ? ? ? ? ?z ? 1? ? ? ? ?z ? 1? z ? 1 k ?0 k ? ?1

例 3. 在 z 0 ? 0 的邻域上把函数 e 展开为级数。
0 1 1 k 1 k 解: e ? ? ( ) ? ? ( z ? 0) z , k ?0 k! z k ? ?? ( ?k )! 1 z ?

1 z

【例题小结】

共同点:收敛区域都是挖去奇点的圆环域;
不同点:“例1”没有负幂项,“例2”只有有限个负幂 项,“例3”无限个负幂项。

一、双边级数及其收敛环
k ??? k a ( z ? z ) ? ? k 0 ??

? a?2 ( z ? z0 )?2 ? a?1 ( z ? z0 ) ?1 ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ?

称为双边级数。

正幂部分的收敛范围: 在 z ? z0

ak 。 ? R1 圆域内收敛,收敛半径为 R1 ? lim k ? ?? a k ?1

负幂部分的收敛范围:

R2 ? lim 在 R2 ? z ? z0 圆外域内收敛,

a ?( k ?1) a ?k

k ? ??



k ???

lim

a ?( k ?1) ( z ? z 0 ) a?k ( z ? z 0 )
k ? ??

? ( k ?1) ?k

? z ? z0


?1

k ???

lim

a ?( k ?1) a?k

? 1,

即 z ? z 0 ? lim

a ?( k ?1) a ?k

若 R2 ? R1 ,则双边级数不收敛。
若 R2 ? R1 ,则双边级数在环域 R2 ? z ? z0 ? R1 内收敛, 称该环域为收敛环。

二 洛朗级数定理
设 f ( z ) 在环域 R2 ? z ? z0 ? R1 内解析,则对环 域内任意点 z , f ( z ) 可展开为双边级数

f ( z) ?

k ? ??

k a ( z ? z ) ? k 0

??

1 f (? ) 其中 a k ? d? ,C 为环域 R2 ? z ? z0 ? R1 k ? 1 ? 2?i C (? ? z 0 )
内任意闭曲线,积分沿逆时针。

证明: 如图 3.3 所示, 对任意给定的 z ? R2 ? z ? z0 ? R1 ,

? ? R1 ? ? R1 ,使得 z ? R2 ? ? z ? z0 ? R1 ?, 总存在 R2 ? R2
因 f ( z ) 在 C R2 ? 和 C R?1 所围成的闭环域中解析,

1 f (? ) ? f ( z) ? d? ? C ? C 2?i R?1 R?2 ? ? z 1 f (? ) 1 f (? ) ? d? ? d? ? ? 2?i CR?1 ? ? z 2?i CR?2 ? ? z
(正方向)

C

z CR2 z0
CR’2
ζ

ζ CR1

CR’1

图3.3

? 在 C R2? 上,

? ? z0
z ? z0

?1

1 1 ? ? ? z z ? z0
?

? (? ? z 0 ) k ?1 ? ?? k ?1 ? ? z0 ( z ? z ) k ?0 0 1? z ? z0

?1 (? ? z 0 ) k ?1 ( z ? z0 ) k ? ?? ??? k k ?1 ( z ? z ) ( ? ? z ) k ?1 k ? ?? 0 0

? ?1 ( z ? z0 ) k ( z ? z0 ) k 1 1 ? f ( z) ? f (? )d? ? f (? )d? ? ? k ?1 k ?1 ? ? C C 2?i R?1 k ?0 (? ? z 0 ) 2?i R?2 k ??? (? ? z 0 )

(正方向)
?1 1 f ( ? ) d ? f (? )d? k 1 ? ? ( z ? z0 ) k ? ( z ? z ) ? 0 ? ? CR ?1 (? ? z ) k ?1 CR ?2 (? ? z ) k ?1 2 ? i 2 ? i k ?0 k ? ?? 0 0 ?

(正方向)
?1 1 f (? )d? f (? )d? k 1 ? ? ( z ? z0 ) ? ? ( z ? z0 ) k ?1 ? ? C CR ?2 (? ? z ) k ?1 R ?1 (? ? z ) 2 ? i 2 ? i k ?0 k ? ?? 0 0 ? k

(逆时针)

?

k ? ??

k a ( z ? z ) ? k 0

??

1 f (? )d? 当 k ? 0 时,a k ? (逆时针) ,因在 C R?1 与 k ? 1 ? 2?i CR?1 (? ? z 0 ) 1 f (? )d? f (? ) C 所围闭环 解析, 所以 a k ? (逆 k ?1 k ? 1 ? 2?i C (? ? z 0 ) (? ? z 0 )
时针) 。

1 f (? )d? 当 k ? 0 时,a k ? (逆时针) ,因在 C R?2 与 k ? 1 ? 2?i CR?2 (? ? z 0 ) 1 f (? )d? f (? ) C 所围闭环 解析, 所以 a k ? (逆 k ?1 k ? 1 ? 2?i C (? ? z 0 ) (? ? z 0 )
时针) 。

三 洛朗级数的性质
洛朗级数的性质:在指定珍环域内,给定函数的洛 朗级数是唯一的,同一函数在不同环域内的洛朗级

数不同。

z 例1. 将函数 f ( z ) 在指定环域内展开 2 ( z ? 1)(z ? 2)
为洛朗级数。 ①在 z ? 1 ,②在 1 ? z ? 2 ,③在 2 ? z 。

z z z ? ? 解: f ( z ) ? 2 2 ( z ? 2) ( z ? 1)( z ? 2) ( z ? 1)( z ? 2)
z z z ? ? ? 2 ( z ? 2) ( z ? 1) ( z ? 2)
d 1 z z ?z ? ? dz (2 ? z ) 2 ? z 1 ? z

①在 z ? 1 , f ( z ) 解析,洛朗级数退化为泰勒级数。

z d 1 z 1 1 f ( z) ? ? ? ?z z 2 z 2 dz 1? z 1? 1? 2 2
? z d z ?z? ?z? k ? ? ? z z ? ? ? ? ? ? ? 2 dz k ?0 ? 2 ? 2 k ?0 ? 2 ? k ?0 ? k ? k

z ? k k ?1 ? z k ?1 ? k ?1 ? ? k z ? ? k ?1 ? ? z 2 k ?1 2 k ?0 2 k ?0
k ? ? k ?2 z k k ? ? k ?1 z ? ? k ? ? z ? ? ( k ?1 ? 1) z k k ?1 2 k ?1 2 k ?1 2 k ?1 ?

k

?

1 1 1 z ? 1, ? ? 1。 ②在 1 ? z ? 2 ,则有 ? 2 z 2 2

z d 1 z 1 1 f ( z) ? ? ? ? z 2 z 1 2 dz 1? 1? 1? 2 2 z
0 ? k?2 k k ?2 k 1 ? ? k ? ? k ?1 z ? ? ? ? ? ? z ? ? k ?1 z k ? ?? k ?1 2 k ?1 2 k ?0 ? z ?

?

?

k

2 1 1 ③在 2 ? z ,则有 ? 1, ? z z 2 d 1 z z f ( z) ? z ? ? dz 2 ? z 2 ? z 1 ? z d ?1 1 1 1 ?z ( )? ? 2 2 1 dz z 1? 1? 1? z z z k k k ? ? ? ? ? d ?1 ? 2 ? ?2? ?1? ? z ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? dz ? k ?0 ? z ? ? z k ?0 ? z ? ? ? k ?0 ? z ?
? ? d ? 2k 2k 1 ? ? z ? k ?1 ? ? k ? ? k dz k ?0 z k ?0 z k ?0 z

? 2 (k ? 1) 2 1 ?? ?? k ?? k k ?1 z k ?0 k ?0 z k ?0 z ? ? 2 k ?1 k ? 2 k 1 ? ? k ?? k ?? k k ?1 z k ?1 z k ?1 z ? k ? k

? ? (2
k ?1 ?1

?

k ?1

k ? 2 ? 1)z
k

?k

?

? k?2 ? k ? k ? 2? k ? ? ? ? k ?1 ? 1?z ? ? ?1 ? k ?1 ?z 2 ? 2 ? k ? ?? ? k ? ?? ?

k ? ?? ?2

? ?2
?1

? k ?1

( ?k ) ? 2

?k

?1z

?

k

一 孤立奇点
1 奇点:如果 f ( z ) 在 z0 不可导,则称 z0 为 f ( z ) 的奇点。

2 孤立奇点,如果 z0 是 f ( z ) 的奇点,且存在着一个

? ? 0 ,使得 f ( z ) 在邻域 0 ? z ? z0 ? ? 内解析,则
称 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点。

【解释】对初等复变函数,奇点即函数无意义的点, 或“定义域以外的点”。

1 例:① f ( z ) ? , z 0 ? a 是孤立奇点; z?a
② f ( z) ? e
1 z ?a

, z 0 ? a 是孤立奇点;

二 孤立奇点分类
在 0 ? z ? z0 ? ? 环域内,把 f ( z ) 展开为洛朗级数,即:

f ( z) ?

a? m ? ? m ( z ? z0 ) ? a1 ( z ? z0 ) ?

a?1 ? ? a0 ( z ? z0 ) ? an ( z ? z0 ) ?
n

1.可去奇点:如果洛朗级数没有负幂项,即

f ( z) ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 ) ? ? ,则称 z0 为 f ( z ) 的可去奇点。
2

可去奇点判据: lim f ( z ) ? a 0 (存在)
z ? z0

2.极点:如果洛朗级数只有有限个负幂项,即

a? m f ( z) ? ? m ( z ? z0 )
2

a?1 ? ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ( z ? z0 )

? a2 ( z ? z0 ) ? 则称 z0 为 f ( z ) 的极点,m 称为极点的阶,一阶极点
简称单极点。

m 阶极点判据: lim f ( z ) ? ? ,
z ? z0

z ? z0

lim ( z ? z 0 ) f ( z ) ? a ?m ? 0 。
m

3.本性奇点: 如果洛朗级数有无穷多负幂项, 则称 z0 为 f ( z ) 的本性奇点。 本性奇点判据: lim f ( z ) 不存在。
z ? z0

例 1.

z 0 ? 0 是函数 e 的本性奇点。
当 z 沿正实轴趋于 0 时, e ? ? 。 当 z 沿负实轴趋于 0 时, e ? 0 。
1 z 1 z

1 z

1 当z ? , n ? ? 时, e ? 1 。 2n?i

1 z

? z 0 ? 0 是 f ( z ) 的本性奇点。

三 无穷远点的奇点性质
1. 无穷远点邻域的洛朗级数
设 f ( z ) 在无穷远点的邻域 R ? z ? ? 内解析,把

f ( z ) 展开为无穷远点的洛朗级数,

f ( z) ? ? ak z 。
k ??

??

1 f (? ) 其中 a k ? d? , C 为环域 R ? z ? ? k ? 1 ? 2?i C ?
内任意闭曲线,积分沿逆时针。

证明: 如图 3.4 所示,对任意给定的 z ? R ? z ? ? , 总存在 R ? R2 ? R1 ,使得 z ? R2 ? z ? R1 ,因 f ( z ) 在

C R2 和 C R 1 所围成的闭环域中解析,
1 f (? ) ? f ( z) ? d? ? 2?i CR1 ?CR 2 ? ? z 1 f (? ) 1 f (? ) ? d? ? d? ? ? 2?i CR1 ? ? z 2?i CR 2 ? ? z
(正方向)
ζ

y
z ζ

CR2
O

x CR CR1

CR2 C 图3.4

? 在 C R 1 上,

z

?

?1
ζ

y
z ζ

? 1 1 ?z? zk ? ? ?? ? ? k ?1 ? ? ? ? z ? k ?0 ? ? ? k ?0 ? ?

k

CR2
O

x

CR
CR2 C 图3.4

CR1

? 在 C R2 上,

?
z

?1

? ? ?1 1 ?k ? k ?1 zk ? ?? k ?1 ? ?? k ? ? ? k ?1 ? ?z k ?0 z k ?1 z k ? ?? ?

? ?1 1 zk 1 zk ? f ( z) ? f (? )d? ? f (? )d? ? ? k ?1 k ?1 ? ? C C 2?i R1 k ? 0 ? 2?i R2 k ? ?? ?

(正方向)
?1 1 f (? )d? f (? )d? k 1 ? ?z ? ?z k ?1 k ?1 ? ? C C R2 R1 2 ? i ? 2 ? i ? k ?0 k ? ?? ? k

(正方向)
?1 1 f (? )d? f (? )d? k 1 ? ?z ? ?z k ?1 k ?1 ? ? C C R2 R1 2 ? i ? 2 ? i ? k ?0 k ? ?? ? k

(逆时针)

?

k ? ??

k a z ? k

??

1 f (? )d? 当 k ? 0 时, ak ? (逆时针) ,因在 C R 1 与 C k ? 1 ? 2?i C R1 ? f (? ) 所围闭环 k ?1 解析,所以 ? 1 f (? )d? ak ? (逆时针) 。 k ? 1 ? 2?i C ?
1 f (? )d? 当 k ? 0 时, ak ? (逆时针) ,因在 CR 2 与 C k ?1 ? C 2?i R 2 ? f (? )
所围闭环

?

k ?1

解析,所以

1 f (? )d? ak ? (逆时针) 。 k ? 1 ? 2?i C ?

1.可去奇点: 如果在无穷远点的邻域内 f ( z ) 的洛朗展 开不含正幂项,即:

a ?1 a ? 2 f ( z ) ? a0 ? ? 2 ?? z z
则 z 0 ? ? 为 f ( z ) 的可去奇点。

可去奇点判据: lim f ( z ) ? a 0 。
z ??

2. m 阶极点:如果洛朗级数只有有限个正幂项,即:

a ?1 a ? 2 f ( z ) ? a m z ? ? ? a0 ? ? 2 ?? z z
m

则称 z 0 ? ? 为 f ( z ) 的 m 阶极点。

f ( z) m 阶极点判据: lim f ( z ) ? ? , lim m ? a m ? 0 z ?? z ?? z

3. 本性奇点:如果洛朗级数有无限个正幂项,即:

a ?1 a ?2 f ( z ) ? ? ? a m z ? ? ? a0 ? ? 2 ?? z z
m

则称 z 0 ? ? 为 f ( z ) 的本性奇点。
本性奇点判据: lim f ( z ) 不存在。
z ??

例: z 0 ? ? 是函数 f ( z) ? e z 的本性奇点。
当 z 沿正实轴趋于 ? 时, f ( z ) ? ? 。 当 z 沿负实轴趋于 ? 时, f ( z ) ? 0 。 当 z 沿着 z ? 2n?i 趋于 ? 时, f ( z ) ? 1 。

本章小结
本章研究复幂级数的收敛范围。 讨论给定函数 f ( z ) 展 开 为 幂 级 数 的 形 式 及 相 应 条 件 , 若 f ( z) 在 圆 域

z ? z0 ? R 内解析,则 f ( z ) 可展开为泰勒级数;若
f ( z ) 在环域 R2 ? z ? z0 ? R1 内解析,则 f ( z ) 可展开
为洛朗级数。根据函数 f ( z ) 在孤立奇点 z0 的邻域的洛 朗级数的特点对孤立奇点进行分类。

1. 在收敛圆内 z ? z0 ? R ,幂级数收敛;在收敛圆外, 幂级数发散。

ak 1 ,或 R ? lim R ? lim k ?? k k ?? a ak k ?1
2. 设复变函数 f ( z ) 在 z0 的邻域上解析,以 z0 为圆心,以

z0 跟最邻近的奇点之间的距离 R 为半径作圆 C R ,则在圆
内 z ? z0 ? R , 可 把 f ( z ) 展 开 为 泰 勒 级 数 ,

1 (k ) k f ( z ) ? ? f ( z 0 )(z ? z 0 ) 。 k ? 0 k!

?

3. 设 f ( z ) 在环域 R2 ? z ? z0 ? R1 内解析,则对环域内任 意点 z , f ( z ) 可展开为洛朗级数

f ( z) ?

k ? ??

?a

??

k

( z ? z0 )

k





1 f (? ) ak ? d? k ? 1 ? 2?i C (? ? z )



C







R2 ? z ? z0 ? R1 内任意闭曲线,积分沿逆时针。

4. 在指定区域上,给定函数的泰勒级数或洛朗级数是唯一 的。

5. 如果 f ( z ) 在 z0 不可导,则称 z0 为 f ( z ) 的奇点。如果 z0 是 f ( z ) 的奇点,且存在着一个 ? ? 0 ,使得 f ( z ) 在环域

0 ? z ? z0 ? ? 内解析,则称 z0 为 f ( z ) 的孤立奇点。

6. 在 0 ? z ? z0 ? ? 环域内,把 f ( z ) 展开为洛朗级数,即:

f ( z) ?

a? m ? ? m ( z ? z0 )

a?1 ? ? a0 ( z ? z0 )

? a1 ( z ? z0 ) ?

? an ( z ? z0 )n ?

该洛朗级数没有负幂项、只有 m 个负幂项、无穷多个负幂项三 种情况,分别称 z0 为 f ( z ) 的可去奇点、 m 阶极点、本性奇点, 一阶极点简称单极点。

可去奇点判据: lim f ( z ) ? a 0 (存在)
z ? z0

m 阶极点判据: lim f ( z ) ? ? ,
z ? z0

z ? z0

lim ( z ? z 0 ) f ( z ) ? a ?m ? 0 。
m

本性奇点判据: lim f ( z ) 不存在。
z ? z0


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