最新高中人教A版数学选修4-1优秀课件2.1圆周角定理_图文

[读教材·填要点] 1.圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半. 2.圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数. 3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等 ;同圆或等 圆中,相等的圆周角所对的弧 也相等 . (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90° 直径 的圆周角所对的弦是 . [小问题·大思维] 1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗? 提示:圆心角的度数等于它所对弧的度数,与圆的半径 没有关系. 2.相等的圆周角所对的弧也相等吗? 提示:不一定.只有在同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧才相等. [研一题] [例1] 锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=60°, ∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧 AB 于点E,连接EC, 求∠OEC. 分析:本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用. 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数,然后根据圆心 角定理得∠OEC的度数. 解:连接 OC. ∵∠ABC= 60° ,∠BAC= 40° , ∴∠ACB= 80° . ∵ OE⊥AB,∴ E 为 AB 的中点. ∴ BE 和 BC 的度数均为 80° . ∴∠EOC= 80° + 80° =160° . ∴∠OEC= 10° . [悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半. [通一类] 1.已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径, 求证:∠BAE=∠DAC. 证明:连接BE,因为AE为直径, 所以∠ABE=90°. 因为AD是△ABC的高, 所以∠ADC=90°. 所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C, 所以∠BAE=180°-∠ABE-∠E, ∠DAC=180°-∠ADC-∠C. 所以∠BAE=∠DAC. [研一题] [例2] 上的一点. 已知三角形ABC是圆内接正三角形,M是B 求证:MA=MB+MC. 分析:本题考查圆周角定理及全等三角形的应用. 解答本题可先将MA分成MD和AD两段,然后证明MB= AD,DM=MC即可. 证明:在 MA 上取点 D,使 MD= MC. ∵△ ABC 为正三角形, ∴∠ 1=∠ 2= 60° . ∴△ MDC 是等边三角形. ∴ CD= MC. 在△ ADC 与△ BMC 中 ?∠ 3=∠ 4, ? ?AC= BC, ? ∠ ADC=∠ BMC= 120° , ? ∴△ ADC≌△ BMC. ∴ AD= BM. ∴ MA= MD+ DA= MC+ MB. [悟一法] (1)在圆中,只要有弧,就存在着所对的圆周角.同 弧所对的圆周角相等,而相等的角为几何命题的推理提 供了条件,要注意此种意识的应用. (2)证明一条线段等于两条线段之和,可将其分为两 段,其中一段等于已知线段,再去证明另一段也等于已 知线段. [通一类] 2.如图,G是以BC为直径的圆上一点, A是劣弧 BG 的中点,AD⊥BC,D为 垂 足,连接AC、BG,其中BG交AD、 AC于点E、F. 求证:BE=EF. 证明:连接 AB, ∵BC 为直径, ∴∠BAC=90° . ∴∠2+∠DAC=90° . ∵∠ C+∠ DAC= 90° , ∴∠ 2=∠ C. ∵ BA = AG ,∴∠ 1=∠ C. ∴∠ 1=∠ 2.∴ AE= BE. 又∵∠ 1+∠ BFA= 90° , ∠ 2+∠ DAF= 90° , ∴∠ BFA=∠ DAF, ∴ AE= EF,∴ BE= EF. [研一题] [例3] 如图,AB是⊙O的直径, AB=2 cm,点C在圆周上,且∠BAC =30°,∠ABD=120°,CD⊥BD于 D.求BD的长. 分析:本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用.解答本题可连接BC,然后利用直角三角形的有关知识 解决. 解:连接 BC,∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴∠ ACB= 90° . ∵∠ BAC= 30° , AB= 2 cm, AB ∴ BC= = 1 (cm). 2 ∵∠ ABD= 120° , ∴∠ DBC= 120° - 60° = 60° . ∵ CD⊥ BD, ∴∠ BCD= 90° - 60° = 30° . BC ∴ BD= = 0.5 (cm). 2 [悟一法] 在圆中,直径是一条特殊的弦,其所对的圆周角是 直角,所对的弧是半圆,利用此性质既可以计算角、线 段又可以证明线线垂直、平行等位置关系,还可以证明 比例式相等. [通一类] 3.如图,△ABC中,∠C=90°,AB= 10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边 交于点P,求BP长. 解:连接 CP,∵ AC 为圆的直径, ∴∠ CPA=90° ,即 CP⊥ AB. 又∵∠ACB= 90° , ∴由射影定理可知 AC2= AP· AB. AC2 36 ∴ AP= = =3.6. AB 10 ∴ BP= AB- AP= 10- 3.6=6.4. 本课时考点常与相似三角形、平行线分线段成比 例定理等问题相结合考查,2012年江苏高考以证明题 的形式重点考查圆周角定理、圆心角定理及三角形边 角关系. [考题印证] (2012· 江苏高考)如图,AB是圆O的 直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两 点,连结BD并延长至点C,使BD=DC, 连结AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C. [命题立意] 本题主要考查圆周角定理和三角形的边角 关系在证明中的应用. 证明:连结OD,因为BD=DC, O为AB的中点, 所以OD∥AC,于是∠ODB= ∠C. 因为OB=OD,所以∠ODB= ∠B.于是∠B=∠C. 因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上 位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周 角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C.

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