云南省保山曙光学校高二数学《221等差数列的概念、等差数列的通项公式》教学设计

2.2.1 一、内容及其解析 等差数列的概念与通项公式? (一)内容:等差数列的概念、等差数列的通项公式 (二)解析: 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念, 接着用不完全归纳法归纳出等差数 列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观 察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观 察——分析概括——师生互动, 形成概念——启发引导, 演绎结论——拓展开放, 巩固提高. 在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.? 在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识 的形成和发展过程, 激发他们的学习兴趣, 发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体 地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认 知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学 问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化.?教学重点 理解等差数列的概念,探索 并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题.?教学难点 (1)等差数列的性 质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;?(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思 想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式. 二、目标及其解析 (一)目标: 1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是 等差数列;? 2.正确认识使用等差数列的各种表示法, 能灵活运用通项公式求等差数列的首项、 公差、 项数、指定的项.?? 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力;? 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.?? 三、问题诊断分析 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新 知的创新意识.?? 四、教学过程 问题与题例? 问题:上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几 种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的 角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子: (课本 P41 页的 4 个例子)? (1)0,5,10,15,20,25,…;? (2)48,53,58,63,…;? (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;? (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 366,….? 请你们来写出上述四个数列的第 7 项.? 第一个数列的第 7 项为 30,第二个数列的第 7 项为 78,第三个数列的第 7 项为 3,第四 个数列的第 7 项为 10 510.? 问题:依据什么写出了这四个数列的第 7 项呢?以第二个数列为例来说一说.? 这是由第二个数列的后一项总比前一项多 5,依据这个规律性我得到了这个数列的第 7 项为 78.? 再请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征?我说的是共同特征.? 每相邻两项的差相等,都等于同一个常数.? 问题:作差是否有顺序,谁与谁相减?? (作差的顺序是后项减前项,不能颠倒.?) 以上四个数列的共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即 等差);我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.? 这就是我们这节课要研究的内容.?? [概念形成]? (一)等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同 一个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).? (1)公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;? (2)对于数列{an},若 an-a n-1=d(与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N*,则此数列是等差数 列,d 叫做公差.? 问题: 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念, 能否抓住定义中的关键字, 是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他学科的重要一环. 因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念,以培养学生分析问题、认识问题的能力)? 从“第二项起”和“同一个常数”.? 问题: 请同学们思考:数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 数列(1)通项公式为 5n-5,数列(2)通项公式为 5n+43,数列(3)通项公式为 2.5n-15.5,…. 这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式, 实质上这几个通项公式有共 同的特点,无论是在求解方法上,还是在所求的结果方面都存在许多共性,下面我们来共同 (二)等差数列的通项公式? 问题:等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的,若一个等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则据其定义可得什么?? a2-a1=d,即 a2=a1+d.? a3-a2=d,即 a3=a2+d=a1+2d;? a4-a3=d,即 a4=a3+d=a1+3d;? ……? 问题:由此归纳出等差数列的通项公式吗?? 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d.? 若已知一数列为等差数列, 则只要知其首项 a1 和公差 d, 便可求得其通项 an 了.需要说明的 是:此公式只是等差数列通项公式的猜想,你能证明它吗?? 证明过程:? 因为 a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到:an=a1+(n-1)d.? [精讲]? 由上述关系还可得:am=a1+(m-1)d,? 即 a1=am-(m-1)d.? 则 an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,? 即等差数列的第二通项公式 an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)? 由此我们还可以得到 d ? am ? an .? m?n [例题]? 【例 1】 (1)求等差数列 8

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