高三一轮数列基本概念_图文

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考纲预览 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推 公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列 的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

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命题探究 1.数列是高中数学的重要内容之一,主要考查两个方面: 一方面是数列的基本概念,另一方面是数列的运算.对这 部分内容的考查除了基础知识的考查外,重点考查运用数 列的知识和方法解决问题的能力,在高考中可能会出现新 的命题背景,如与日常生活联系密切的教育贷款,购房贷 款,增长率等问题. 2.本章以考查数列内容为背景,综合运用函数、方程、不 等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜 想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法,同时还要 注意与解析几何、导数结合的创新题型.

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第一节

数列的概念

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1.理解数列的概念. 考纲 2.了解数列通项公式的意义. 要求 3.了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项. 1.以an与Sn的关系为条件考查数列通项的 考试 求法. 热点 2.以递推数列、新情境下的数列为载体, 考查数列的通项及性质.

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1.数列的定义 按 一 定 次 序 排 成 的 一 列 数 叫 做 数 列 , 即 a1 , a2 , a3,?,an,?,简记为{an}.其中, 项, 称为数列{an}的首 称为数列{an}的通项.数列{an}可以看作是项数n的

函数,an=f(n),其定义域为 正整数集N*或它的子集.

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2.数列的分类 (1)按项分类:

(2)按an的增减性分类:

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(3)按 an 是否有界分类: ?有界数列:存在正数M使|an|≤M,n∈N*; ? ? ?无界数列:对于任何正数M,总有项an使得|an|>M. ?

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3.数列的表示法 (1)解析法(公式法):通项公式或递推公式; (2)列表法:a1,a2,a3,?,an,?; (3)图象法:数列可用 一群孤立 的点表示;

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4.通项公式 如果数列{an}的 第n项an与项数n 之间的关 系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式,可以记为 an=f(n) (n∈N*).

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5.数列的前 n 项和 数列{an}的前 n 项之和叫做数列的前 n 项和,常用 Sn 表示.Sn=a1+a2+?+an,Sn 与通项 an 的基本关系是:

6.递推公式 递推公式往往明确了后项与前项(一项、二项)的关系, 要能由递推关系式准确写出数列的前若干项.

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1.数列 1,-1,-1,1,1,-1,-1,1?的一个通项 公式可能是 ( ) nπ π A.an= 2cos( - ) 2 4 nπ π B.an= 2cos( + ) 2 4 1 nπ C.an= sin +2 2 2 1+(-1)n-1 D.an= 2 解析:令n=1,2,3,4?,逐项代入验证可知选A. 答案:A

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3 2.若数列{an}的前 n 项的和 Sn= an-3,那么 2 这个数列的通项公式为 ( ) A.an=2×3n-1 B.an=3×2n C.an=3n+3 D.an=2×3n

答案:D

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3. 数列{an}中 a1=1, 对所有的 n≥2 都有 a1·2·3· an=n2, a a ?· 则 a3 等于 ( ) 9 3 A. B. 4 2 25 25 C. D. 9 16

答案:A

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3(3n+1) 4. 已知数列{an}的前 n 项的和 Sn= , 则数列{an} 2 的通项 an=________.

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5.已知数列{an}中,a1=5,an+1=2an+5,求通项公 式.

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[例 1] 根据下面各数列前几项的值, 写出数列的一 个通项公式. (1)-1,7,-13,19,?; 2 4 6 8 10 (2) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 25 (3) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (4)5,55,555,5555,?.

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[解] (1)各项的符号可通过(-1)n 或(-1)n + 1 表 示,各项的绝对值的排列规律为:后一项的绝对值总 比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而 分母可分解成 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?,每一 项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合,知所求数列 的一个通项公式为 2n an= . (2n-1)(2n+1)

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(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数 1 4 9 16 25 列的各项都统一成分数再观察.即 , , , , ,?, 2 2 2 2 2 n2 从而可得数列的一个通项公式为 an= . 2 (4)联想 99?9 =10n-1, n个 5 n个 5 n 则 an= 55?5 = ( 99?9 )= (10 -1), 9 9 5 n 即数列的一个通项公式为 an= (10 -1). 9
n个

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[拓展提升] ①借助(-1)n 或(-1)n+1 来解决项的 符号问题. ②项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分 子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系. ③对较复杂的数列通项公式的探求,可借助熟知 ?1? ? ? 2 的数列,如{n },?n?,{2n},{(-1)n}等,以及等差数 ? ? ? ? 列、等比数列来解决.

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写出下列数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,? 8 15 24 (2)-1, ,- , ,? 5 7 9 1 1 1 (3)1,0, ,0, ,0, ,0,? 3 5 7 (4)-1,0,-1,0,?

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解: (1)观察各项的特点: 每一项都比 2 的方幂多 1, 所以 an=2n+1. (2)数列的符号规律为(-1)n,由第二、三、四项特 3 点,可将第一项看作- ,这样,先不考虑符号,则分 3 母为 3,5,7,9, 可归纳为 2n+1, ?, 分子为 3,8,15,24, ?, 将其每一项加 1 后变为 4,9,16,25, 可归纳为(n+1)2, ?, 综上,数列的通项公式为 (n+1)2-1 n2+2n an=(-1)n· =(-1)n . 2n+1 2n+1

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1 0 1 0 1 0 1 0 (3)把数列改写成 , , , , , , , ,?,分母 1 2 3 4 5 6 7 8 依次为 1,2,3,?,而分子 1,0,1,0,?周期性出现,因此数 1+(-1)n+1 列的通项可表示为 an= . 2n ?-1 (n为奇数) ? (4)an=? .亦可将原数列看作两个数 ?0 (n为偶数) ? 列-1,1,-1,1,?和-1,-1,-1,?对应项相加之和 1 1 的 构成,由这两个数列的通项公式得 an= [(-1)n-1]. 2 2

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[例2]

已知数列{an}的前n项和为Sn,根据下列条件,

求数列的通项公式an. (1)Sn=n2-2n+1; (2)Sn=1+2an.

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[解] (1)当 n=1 时,a1=S1=0,当 n≥2 时,an= Sn -Sn - 1 =n2 -2n+1-[(n-1)2 -2(n-1)+1]=2n- 3(n≥2), 因为 a1 不符合上式,所以数列的通项公式为 ?0 (n=1), ? an=? ?2n-3 (n≥2). ?

(2)由题意,知 Sn+1=1+2an+1,Sn=1+2an. 两式作差,得 Sn+1-Sn=2an+1-2an, 即 an+1=2an+1-2an,所以 an+1=2an, an+1 又因为 a1=S1=1+2a1,所以 a1=-1,而 =2, an 故由等比数列的通项公式可知 an=-2n-1.

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?S1 ? an=? ?Sn-Sn-1 ?

(n=1), [拓展提升] 解本题的依据是 (n≥2). 第(1)小题应注意对 n=1 和 n≥2 两种情况的讨论,第(2) 小题是依据上述关系式得出数列的递推公式,然后再求数列 的通项公式.

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1 设正数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1)2. 4 求数列{an}的通项公式.

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[例 3] 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2+1-na2 n n +an+1·n=0(n=1,2,3,?),求它的通项公式. a

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解法 1:累乘法 a2 a3 a4 a5 an 1 2 3 4 n-1 ···· ?· = ···· ?· , a1 a2 a3 a4 an-1 2 3 4 5 n 1 ∴an= . n 解法 2:迭代法 n-1 n-1 n-2 n ∵an + 1 = an , ∴an = a = · · a = n n-1 n n-1 n - 2 n+1 n-1 n-2 n-3 n-1 n-2 n-3 1 · · a =?= · · · a, ?· n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 2 1 1 ∴an= . n

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解法 3:特殊数列法 an+1 (n+1)an+1 n ∵ = ,∴ =1, an n+1 nan ∴数列{(n+1)an+1}是一个以 a1 为首项,1 为公比的等 1 n -1 比数列,∴nan=a1· =1· q 1=1,∴an= . n

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已知数列{an}满足a1 =1,an =3n-1 +an-1(n≥2),求通 项公式an.

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解法 2:由 an=3n-1+an-1 得 an=3n-1+an-1=3n-1+3n-2+an-2=3n-1+3n-2+3n-3+ an-3=?=3n-1+3n-2+?+32+a2=3n- 1+3n-2+?+32+ 3n-1 31+a1=3n-1+3n-2+?+32+31+1= . 2

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[例4]

(2009·湖南高考)对于数列{un},若存在常数

M>0,对任意的n∈N*,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+?+
|u2-u1|≤M,则称数列{un}为B-数列. (1)首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是否为B-数列?

请说明理由;

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(2)设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组论断: A组:①数列{xn}是B-数列,②数列{xn}不是B-数列; B组:③数列{Sn}是B-数列,④数列{Sn}不是B-数 列. 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个 论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假,并证明

你的结论;
(3)若数列{an},{bn}都是B-数列,证明:数列{anbn} 也是B-数列.

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[分析] 本题的第(1)问是探究首项为1,公比为q(|q| <1)的等比数列是否为B-数列,解题的方向是将B- 数列定义中绝对值的和转化成等比数列的和,并使其和不 大于一个正的常数.第(2)问可先取特殊数列进行判断,然 后给出命题,证明命题结论.第(3)问需要利用绝对值不等 式的性质,从B-数列的定义出发,进行合理放缩.

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[解] (1)设满足题设的等比数列为{an},则 an=qn-1. 于是|an-an-1|=|qn-1-qn-2|=|q|n-2|q-1|,n≥2. 因此|an+ 1-an|+|an-an -1|+?+|a2-a1|=|q-1|(1+ |q|+|q|2+?+|q|n-1). 1-|q|n 因 为 |q|<1, 所 以 1+ |q|+ |q|2 + ?+ |q|n - 1 = 1-|q| |q-1| 1 < .即|an+1-an|+|an-an-1|+?+|a2-a1|< . 1-|q| 1-|q|
故首项为1,公比为q(|q|<1)的等比数列是B-数列.

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(2)命题1:若数列{xn}是B-数列,则数列{Sn}是B-数 列. 此命题为假命题. 事 实 上 , 设 xn = 1 , n∈N* , 易 知 数 列 {xn} 是 B - 数 列.但Sn=n,|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+?+|S2-S1|=n. 由n的任意性知,数列{Sn}不是B-数列.

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(3)若数列{an},{bn}是B-数列,则存在正数M1 ,M2 , 对任意的n∈N*,有|an+1-an|+|an-an-1|+?+|a2-a1|≤M1; |bn+1-bn|+|bn-bn-1|+?+|b2-b1|≤M2. 注意到|an|=|an-an-1+an-1-an-2+?+a2-a1+a1|≤ |an-an-1|+|an-1-an-2|+?+|a2-a1|+|a1|≤M1+|a1|. 同理,|bn|≤M2+|b1|.

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记K1=M1+|a1|,K2=M2+|b1|,则有|an+1bn+1-anbn| =|an+1bn+1-anbn+1+anbn+1-anbn|≤|bn+1||an+1-an|+ |an| |bn+1-bn|≤K2|an+1-an|+K1|bn+1-bn|. 因此|an+1bn+1 -anbn|+|anbn -an-1bn-1|+?+|a2b2 - a1b1|≤K2(|an+1-an|+|an-an-1|+?+|a2-a1|)+K1

(|bn+1-bn|+|bn-bn-1|+?+|b2-b1|)≤K2M1+K1M2.
故数列{anbn}是B-数列.

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[拓展提升]

本题设计成给出一个关系式来定义一个

新的数列,即B-数列,这种命题方式源于课本,教材中等 差数列、等比数列都是这样给出的定义.这种命题方式也 是近年来高考命题的热点,如北京2006年的高考卷理科20 题就定义了一个“绝对差数列”.这种考查考生探究性学 习能力的命题方式,较好地体现了新课标的理念.

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(2009·北京高考)已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1

=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=________;a2014=________.
解析:由题设条件,得a2009 =a503×4 - 3 =1,a2014 = a1007×2=a1007=a252×4-1=0.

答案:1 0

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1.数列的通项公式并非唯一,也并非每一个数列都 可以写出通项公式. 2.已知Sn求an.已知数列的前n项和公式,求数列的通 项公式,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2).这里常常因为忽略了 条件n≥2而出错,即由an =Sn -Sn-1 求得an 时的n是从2开始 的自然数,否则会出现当n=1时,Sn-1=S0而与前n项和的

定义矛盾.可见由此求得的an不一定就是它的通项公式,必
须验证n=1时是否也成立,因此通项公式只能用分段函数

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3.能利用叠加、累乘、周期性等知识求通项公式,

即:
(1)an-an-1=f(n)满足一定规律时,可有an=(an-an-1) +(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1.

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an (2) = g(n) 满 足 一 定 条 件 时 , 可 以 有 an = an-1 an an-1 a2 · · ?· ·1. a a1 an-1 an-2 (3){an}为周期数列,则周期为 T(T 为正整数)时,an= an+T,可将 an 转化为 a1,a2,?,aT 处理. 上述方法可归纳为观察法、递推法、前 n 项和法、转 化法(转化为等差、等比数列)、逐差求和、逐商求积、周期 性、待定系数等.

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