www.2279h.com:高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第7节 直线与平面垂直的判定与性质

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第 7 节 直线与平面垂直的判定与性质 【基础知识】 直线与平面垂直 定义: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直, 那么称这条直线和这个平面 垂直. 定理: 文字语言 如果一条直线和一个平 判定 定理 面内的两条相交直线都 垂直,那么该直线与此平 面垂直. 如果两条直线同垂直于 一个平面,那么这两条直 线平行. 图形语言 符号语言

? ? l⊥a ??l⊥α l⊥b ? a∩b=A?
a?α b?α a⊥α ? ?
? b⊥α ? ??a∥b

性质 定理

【规律技巧】 证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是 平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).解题时,注 意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关 系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对 的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、 直角梯形等等.
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【典例讲解】 【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,

∵PA⊥底面 ABCD, CD?平面 ABCD,∴PA⊥CD, ∵AC⊥CD,且 PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.而 AE?平面 PAC, ∴CD⊥AE.

规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①线面垂直的定义;②判定定理;③ 垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α ?b⊥α );④面面平行的性质(a⊥α ,α ∥β ?a⊥β ); ⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面 垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【变式探究】 (2014·山东卷)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, AP⊥平面 PCD, AD∥BC, 1 AB=BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. 2

求证:(1)AP∥平面 BEF; (2)BE⊥平面 PAC.

(2)由题意知 ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 因此 BE∥CD.又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,因此 AP⊥BE.

因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.

【针对训练】 1、设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面 α 内,则“l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】当 l⊥α 时,l⊥m 且 l⊥n. 但当 l⊥m,l⊥n 时,若 m、n 不是相交直线,则得不到 l⊥α . 即 l⊥α 是 l⊥m 且 l⊥n 的充分不必要条件.故选 A. 2、已知 m,n 分别是两条不重合的直线,a,b 分别垂直于两不重合的平面 α ,β ,有以下 四个命题:①若 m⊥a,n∥b,且 α ⊥β ,则 m∥n;②若 m∥a,n∥b,且 α ⊥β ,则 m⊥n; ③若 m∥a,n⊥b,且 α ∥β ,则 m⊥n;④若 m⊥a,n⊥b,且 α ⊥β ,则 m∥n.其中真命题 的序号是( A.①② C.①④ [答案] D ) B.③④ D.②③ B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3、设 α ,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从“①m⊥

n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为
正确的一个命题:________(用代号表示). 【答案】①③④?②(或②③④?①) 【解析】逐一判断.若①②③成立,则 m 与 α 的位置关系不确定,故①②③?④错误;同 理①②④?③也错误;①③④?②与②③④?①均正确. 4、已知 a,b,l,表示三条不同的直线,α ,β ,γ 表示三个不同的平面,有下列四个命 题: ①若 α ∩β =a,β ∩γ =b,则 a∥b,则 α ∥γ ; ②若 a,b 相交,且都在 α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β ,则 α ∥β ; ③若 α ⊥β ,α ∩β =a,b?β ,a⊥b,则 b⊥α ; ④若 a?α ,b?α ,l⊥α ,l⊥b,则 l⊥α . 其中正确的是( A.①② ) B.①④

C.②③ [答案] C

D.③④

[解析] ∵a 与 b 相交, ∴a、 b 确定一个平面 γ , ∵a∥α , b∥α , ∴γ ∥α , 同理 γ ∥β , α ∥β ,∴②正确.由面面垂直的性质知③正确,故选 C.

5、如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点.(1)证明:BD⊥EC1; (2)如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长.

[解析]

(1)证明:连接 AC,A1C1.

由底面是正方形知,BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC=A,所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1?平面 AA1C1C 知,BD⊥EC1. (2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2, 故 OE2=( 2)2+( 2)2=4. 在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2,A1C1=2 2, 故 EC2 2)2+(2 2)2. 1=(h-
2 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,OC2 2)2. 1=h +( 2 因为 OE⊥EC1,所以 OE2+EC2 1=OC1,

即 4+(h- 2) +(2 2) =h +( 2) , 解得 h=3 2,所以 AA1 的长为 3 2.

2

2

2

2

6、PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 2PA=AD,E,F,G,H 分别是线段 PA,PD,

CD,BC 的中点.

(1)求证:BC∥平面 EFG; (2)求证:DH⊥平面 AEG; (3)求三棱锥 E-AFG 与四棱锥 P-ABCD 的体积比. [解析] (1)证明:∵E,F 分别为 PA,PD 的中点, ∴AD∥EF. ∵BC∥AD,∴BC∥EF. ∵BC?平面 EFG,EF?平面 EFG,∴BC∥平面 EFG. (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD,DH?平面 ABCD, ∴PA⊥DH,即 AE⊥DH.

G,H 分别为 DC,BC 中点,四边形 ABCD 为正方形,
∴△ADG≌△DCH, ∴∠HDC=∠DAG.∵∠AGD+∠DAG=90°, ∴∠AGD+∠HDC=90°,∴DH⊥AG. 又∵AE∩AG=A,∴DH⊥平面 AEG.

7、如图,在△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E,F 分别 是 AC,AD 上的动点,且 = =λ (0<λ <1).

AE AF AC AD

(1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明; (2)是否存在 λ ,使得平面 BEF⊥平面 ACD,如果存在,求出 λ 的值;如果不存在,说明理 由. [解析] (1)EF⊥平面 ABC. 因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD=90°,所以 BC⊥CD, 又 AB∩BC=B,所以 CD⊥平面 ABC. 又在△ACD 中,E,F 分别是 AC,AD 上的动点, 且 = =λ (0<λ <1),∴EF∥CD. ∴EF⊥平面 ABC. 【练习巩固】 1.已知平面 α⊥平面 β,α ∩β =l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m ∥α,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β ( )

AE AF AC AD

解析 如图所示,

AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?AC⊥m;AB∥l?AB∥β,只有 D 不一定成立,故选 D. 答案 D

2.设 a 是空间中的一条直线,α 是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( A.过 a 一定存在平面 β,使得 β∥α B.过 a 一定存在平面 β,使得 β⊥α C.在平面 α 内一定不存在直线 b,使得 a⊥b D.在平面 α 内一定不存在直线 b,使得 a∥b

)

3.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( )

A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 解析 ∵M 为 AB 的中点,△ACB 为直角三角形, ∴BM=AM=CM,又 PM⊥平面 ABC, ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 故 PA=PB=PC. 答案 C 4.设 a,b 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是 ( A.a⊥α ,b∥β ,α ⊥β C.a?α ,b⊥β ,α ∥β B.a⊥α ,b⊥β ,α ∥β D.a?α ,b∥β ,α ⊥β )


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