83408.com:红对勾理科数学课时作业21

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课时作业 21 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数
时间:45 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) π π 1.要得到函数 y=sin(x-6)的图象可将函数 y=sin(x+6)的图象 上的所有点( ) π B.向左平移6个长度单位 π D.向左平移3个长度单位

π A.向右平移6个长度单位 π C.向右平移3个长度单位

π π π 解析:由 y=sin[(x-3)+6]=sin(x-6)知选 C. 答案:C 2.函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分图象如图所示,那么 f(0)=( )

1 A.-2

B.-1

3 C.- 2

D.- 3

π 解析:由图象知 A=2,图象过点(3,2), π ∴2sin(3×2+φ)=2, 2π π ∴ 3 +φ=2+2kπ,k∈Z, π ∴φ=-6+2kπ,k∈Z, π π ∴φ=-6,∴f(0)=2sin(-6)=-1. 答案:B
? π 5π? 3.下图是函数 y=sin(ωx+φ)(x∈R)在区间?-6, 6 ?上的图象, ? ?

为了得到这个函数的图象,只要将 y = sinx(x ∈ R) 的图象上所有点 ( )

π A.向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来 1 的2倍,纵坐标不变 π B.向左平移3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍,纵坐标不变 π C.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来

1 的2倍,纵坐标不变 π D.向左平移6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍,纵坐标不变 π? ? π 解析:由题图不难求得 ω=2,φ=3,∴y=sin?2x+3?.只需将 y
? ?

π 1 =sinx 先向左平移3个单位,再纵坐标不变,横坐标缩短为原来的2, 选 A. 答案:A 4.(2013· 湖北卷)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值 是( ) π A.12 π C.3 π B.6 5π D. 6

π 解析:y= 3cosx+sinx=2sin(x+3)的图象向左平移 m 个单位后 π π π 得 y=2sin(x+m+3),而此时图象关于 y 轴对称得 m+3=2+kπ(k∈ π π Z)即 m=6+kπ(k∈Z).又 m>0,则 m 的最小值为6.故选 B. 答案:B π? ? π 5. 若将函数 y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位长度后,
? ?

π? ? 与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合,则 ω 的最小值为(
? ?

)

1 A.6

1 B.4

1 C.3
? ?

1 D.2

π? ? π 解析:将函数 y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移6个单位长度 π ωπ? π? ? ? 后, 其图象的函数是 y=tan?ωx+4- 6 ?, 且图象与函数 y=tan?ωx+6?
? ? ? ?

π ωπ π 1 的图象重合,所以 ωx+4- 6 =ωx+6+kπ(k∈Z),∴ω=2-6k(k∈ 1 Z),∵ω>0,∴当 k=0 时,ω 取得最小值2,选 D. 答案:D 6.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 和 x=-1 处分别 取 得 最 大 值 和 最 小 值 , 且 对 于 ? x1 , x2 ∈ [ - 1,1](x1≠x2) 都 有 f?x1?-f?x2? >0 成立,则( x1-x2 )

A.函数 y=f(x+1)一定是周期为 2 的偶函数 B.函数 y=f(x+1)一定是周期为 2 的奇函数 C.函数 y=f(x+1)一定是周期为 4 的奇函数 D.函数 y=f(x+1)一定是周期为 4 的偶函数 f?x1?-f?x2? 解析:?x1,x2∈[-1,1](x1≠x2)都有 >0,∴函数在[- x1-x2 1,1]上单调递增,又函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 和 x= T -1 处分别取得最大值和最小值,∴2=1-(-1)=2,∴T=4,即 T
?π ? ?π ? 2π π π π = ω =4,ω=2.又 f(1)=Asin?2+φ?=A,即 sin?2+φ?=1,即2+φ=2 ? ? ? ? ?π ? +2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ,k∈Z,∴f(x)=Asin?2x?为奇函数,∴y=f(x ? ? ?π ? ?π ? +1)=Asin?2?x+1??=Acos?2x?为偶函数. ? ? ? ?

答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0)在闭区间[- π,0]上的图象如下图所示,则 ω=________.

3 2 2π 解析:由图象可以看出2T=π,∴T=3π= ω , 因此 ω=3. 答案:3 π? ?π 8 .设函数 y = sin ?2x+3? ,若对任意 x ∈ R ,存在 x1 , x2 使
? ?

f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是________. 解析:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2)为最 大值,|x1-x2|的最小值为半个周期. 答案:2

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分 图象如图所示,下列结论: ①最小正周期为 π;

π ②将 f(x)的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f(0)=1;
?12π? ?14π? ④f? 11 ?<f? 3 ?; ? ? ? ? ?5π ? ⑤f(x)=-f? 3 -x?. ? ?

其中正确的是________. T 7 π π 7 解析:由图可知:A=2,4=12π-3=4?T=π,∴ω=2,2×12π 3π π +φ=2kπ+ 2 ,φ=2kπ+3,k∈Z. π? π? ? ? f(x)=2sin?2x+3??f(0)= 3,f?x+6?
? ? ? ?

π π? 2π? ? ? =2sin?2x+3+3?=2sin?2x+ 3 ?,
? ? ? ? ?π? ?π π? π f?4?=2sin?2+3?=2cos3=1, ? ? ? ? ?5π ? kπ π 对称轴为直线 x= 2 +12,k∈Z,一个对称中心为? 6 ,0?,所以 ? ?

13π ②、③不正确;因为 f(x)的图象关于直线 x= 12 对称,且 f(x)的最大
?13π? 12π 13π π 13π 14π π 值为 f ? 12 ? , 11 - 12 = > 12 - 13 = ,所以 ? ? 11×12 13×12 ? ? ? ? ?12π? f ? 11 ? ? ?

π? ?14π? ? <f? 13 ?,即④正确;设(x,f(x))为函数 f(x)=2sin?2x+3?图象上任意一
?5π ? ?5π ? 点,其关于对称中心? 6 ,0?的对称点? 3 -x,-f?x??还在函数 f(x)= ? ? ? ?

π? ? ?5π ? ?5π ? 2sin?2x+3?图象上,即 f? 3 -x?=-f(x)?f(x)=-f? 3 -x?,
? ? ? ? ? ?

故⑤正确,综上所述,①④⑤正确. 答案:①④⑤

三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) π 10.(15 分)(2013· 安徽卷)设函数 f(x)=sinx+sin(x+3). (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样 的变化得到. 1 3 3 3 解:(1)因为 f(x)=sinx+2sinx+ 2 cosx=2sinx+ 2 cosx= 3sin(x π π π 2π +6),所以当 x+6=2kπ-2,即 x=2kπ- 3 (k∈Z)时,f(x)取最小值 - 3. 2π 此时 x 的取值集合为{x|x=2kπ- 3 ,k∈Z}, (2)先将 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横 坐标不变),得 y= 3sinx 的图象;再将 y= 3sinx 的图象上所有的点 π 向左平移6个单位,得 y=f(x)的图象. π? ? 11.(20 分)已知函数 f(x)=2cosxsin?x+3?- 3sin2x+sinxcosx.
? ?

(1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向向右平移 m 个单位后的图象关于 π 直线 x=2对称,求 m 的最小正值.
?1 ? 3 解:(1)f(x)=2cosx? sinx+ cosx?- 3sin2x+sinxcosx 2 ?2 ?

=sinxcosx+ 3cos2x- 3sin2x+sinxcosx π? ? =sin2x+ 3cos2x=2sin?2x+3?,
? ?

π π 3 由2+2kπ≤2x+3≤2kπ+2π,k∈Z, π 7 得 kπ+12≤x≤kπ+12π,k∈Z. 故函数 f(x)的单调递减区间为 π 7π? ? ?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12? ? π? ? ?m,0? (2)y=2sin?2x+3?a= ――→
? ?

π π ? ? ? ? π y=2sin?2x+3-2m?, ∵y=2sin?2x+3-2m?的图象关于直线 x=2
? ? ? ?

π π π 1 π 对称,∴2· + - 2 m = k π + ( k ∈ Z ) ,∴ m =- ( k - 1)π - 2 3 2 2 12(k∈Z), 5 当 k=0 时,m 的最小正值为12π. ——创新应用—— π π 12.(20 分)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ),x∈R,A>0,0<φ<2,y= A f(x)的部分图象如右图所示,点 R(0, 2 )是该图象上的一点,P,Q 分 →· →= 别为该图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点,且PR PQ 1.

(1)求 φ 和 A 的值;

3α 6 π (2)若 f( π )=5,求 cos(2α+3)的值. A π 解:(1)因为点 R(0, 2 )在函数 f(x)=Asin(3x+φ)的图象上,所以 A 1 f(0)=Asinφ= 2 ,解得 sinφ=2. π π 又 0<φ<2,所以 φ=6. π 设点 P 的坐标为(x1,A),点 Q 的坐标为(x2,-A),由题意得3x1 π π π π 3π +6=2,3x2+6= 2 ,解得 x1=1,x2=4. → =(-1, 所以点 P,Q 的坐标分别为 P(1,A),Q(4,-A),故PR A → →· → =(-1)×3+(-A)×(-2A)=-3 - 2 ),PQ =(3,-2A),所以PR PQ 2 +A2=1. 又 A>0,所以 A=2. π π 所以 f(x)=2sin(3x+6). 3α 6 π 3α π π 6 (2)因为 f( π )=5,即 2sin(3× π +6)=2sin(α+6)=5,解得 sin(α π 3 π π π 3 +6)=5,所以 cos(2α+3)=cos2(α+6)=1-2sin2(α+6)=1-2×(5)2 7 =25.


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