高中数学同步多媒体教学课件:3.3.2指数函数及其性质应用(北师大版必修1)_图文

第2课时 指数函数及其性质应用 1.进一步巩固指数函数的图像及其性质的知识;(重点) 2.能利用指数函数的性质分析解决有关问题.(重点、难点) 指数函数的图像和性质 a>1 6 0<a<1 6 5 4 图 像 1 -4 2 5 4 3 3 2 2 1 1 -4 -2 1 0 -1 2 4 6 0 -1 2 4 6 1.定义域:(??, ??) 性 2.值域: (0, ??) 质 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增函数 4.在R上是 减函数 例 1.求下列函数的定义域 1 y?( ) (1) 2 1 3 x ?1 x y ? 2 ?1 (2) 1 1 解: (1)由 有意义,得 x ? , 3x ? 1 3 1? ? 即函数的定义域为 ? x x ? ? 3? ? x (2)由 2 x ? 1 ? 0 ,得 2 ? 1 ,所以 x ? 0 , 即函数的定义域为 x x ? 0 ? ? 求解函数的定义域一般要从以下几个方面考虑: 1.分母不能为零; 2.偶次方根的被开方数大于或等于零. 3.指数函数,对数函数的底数要满足大于零且不等于1. 例 2 (1)求使不等式 4 x ? 32 成立的 x 的集合; (2)已知 a ? a 4 5 2 ,求数 a 的取值范围. 解: (1) 4 ? 32, 即 2 x x 2x ? 25 . 5 因为 y=2 是 R 上的增函数,所以 2x>5,即 x ? 2 5 x 满足 4 ? 32 的 x 的集合是 ( , ??) ; 化为同底 2 4 的指数幂 x (2)由于 ? 2 ,则 y ? a 是减函数, 5 所以 0 ? a ? 1 . 例3 1 x ( ) 在同一坐标系中画出指数函数 y ? 2 与 y ? 2 x 的图像,说出其自变量、函数值及其图像间的关系? 解:在同一坐标系中 y 1 x 指数函数 y ? 2 与 y ? ( ) 2 x y=(1 )x 2 y=2x 的图像如图: 0 x 1 x 可以看出,当函数 y ? 2 与函数 y ? ( ) 的自变量 2 x 的取值互为相反数时,其函数值是相等的,因而两 个函数的图像关于 y 轴对称 观察下面几个函数图像,你能得出什么规律? 1 x 1 x y? () y? () 3 5 y ? 5x y ? 3x 1 x y? ( ) 2 y ? 2x 小结: 1 x ?x 指数函数 y ? a 与指数函数 y ? ( ) = a 的图像 a 关于 y 轴对称. x 画出函数 y ? 2 x , y ? 5x , y ? 3x 的图像,你能发现什么性质? y ? 5x y ? 3 x y ? 2x 总结提升: 一般地, a >b>1 时, (1)①当 x <0 时,总有 0< a ? b ? 1 ; x x ②当 x =0 时,总有 a ? b ? 1 x x x x ③当 x >0 时,总有 a ? b ? 1 (2)当 x >0 时,指数函数的底数 a 越大, 其函数值增长越快,即图像越在上方。 1 x 1 x 1 x 画出函数 y ? ( ) , y ? ( ) , y ? ( ) 的图像, 你能发现什么性质? 2 3 5 1 x 1 y ? ( )x y ? ( ) 5 3 1 y ? ( )x 2 总结提升: 一般地,0< a <b<1 时, (1)①当 x <0 时,总有 a x ? b x ? 1 ; ②当 x =0 时,总有 a x ? b x ? 1 ③当 x >0 时,总有 0 ? a x ? b x ? 1 (2)当 x >0 时,指数函数的底数 a 越大, 图像越在上方。 y ? a x , y ? bx , y ? cx , y ? dx 如图, 设 a,b,c,d 均大于 0 且不等于 1, 在同一坐标系中的图像如图, 则 a,b,c,d 的大小顺序为 ( C ) A. a ? b ? c ? d B. a ? b ? d ? c C. b ? a ? d ? c D. b ? a ? c ? d 例4 比较下列各题中两个数的大小 0.6 (1) 1.8 , 0.8 1.6 ; 3 ? 1 ?2 (2) ( ) 3 , 2 5 . 3 解:方法一 直接用科学计算器计算各数的值,再对 两个数值进行大小比较 (1) 因为 1.8 0.6 ? 1.422 864, 0.81.6 ? 0.699 752, ,所以 1.80.6 ? 0.81.6 ; 1 ?2 3 ( ) ? 2.080 084 (2)因为 3 1 ?2 ( ) 3 3 >2 ? 3 5 ,2 ? 3 5 ? 0.659 754 ,所以 方法二 利用指数函数的性质对两个数值进 行大小比较 (1) 由指数函数性质知 1.8 0.6 >1.8 =1,0.8 <0.8 =1, 0.6 0 1.6 0 所以 1.8 >0.8 1.6 (2) 由指数函数的性质知 1 ( ) 3 ? 2 3 >1,0< 2 <1, ? 3 5 3 ? 1 ?2 所以 ( ) 3 > 2 5 3 提升总结 比较两个指数幂大小常用方法有以下几种: ①利用指数函数的单调性比较; ②寻找与中间数 1 的大小关系进行比较; ③利用计算器计算(一般不用). 例5 已知-1< x <0,比较 3? x , 0.5? x 的大小, 并说明理由. 解: 因为-1< x <0 ,所以 0< ? x <1 与1比较 而 3>1,因此有 3? x >1 又 0<0.5 <1,因而有 0< 0.5? x <1 故 3? x > 0.5? x 3x ?1 ?2x y ? a y ? a 设 1 , 2

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